相对论质量公式是怎么推导出来的呢？ - 知乎

嗯，@解放说的是一种简单的推法，但是依赖于特例。

一种有“格调”的推法是：. 考虑到光速不变，狭义相对论需要基于自然满足洛伦兹变换的四维闵可夫斯基空间（洛伦兹变换 ... 物理学相对论质量公式是怎么推导出来的呢？关注者150被浏览111,178关注问题​写回答​邀请回答​好问题2​2条评论​分享​11个回答默认排序匿名用户65人赞同了该回答嗯，@解放说的是一种简单的推法，但是依赖于特例。

一种有“格调”的推法是：考虑到光速不变，狭义相对论需要基于自然满足洛伦兹变换的四维闵可夫斯基空间（洛伦兹变换实际上是空间在t-x平面的“旋转”）来描述事件。

这时候时间不是不变量，但不变距离：（注意在任意惯性系，粒子速度的定义为v=\frac{\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}{dt}）ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=c^2dt^2(1-\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{c^2dt^2})=c^2dt^2(1-\frac{v^2}{c^2})ds=c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt是不变量。

作用量应该是个坐标系变换下不变的标量，所以必须是一阶微分的积分。

但对于单粒子，能构造出的唯一的标量是不变距离的积分，所以作用量应该正比于不变距离的积分：S=-\alpha\int_a^bds其中\alpha是待定常数使得作用量的量纲为能量*时间，负号是因为粒子的本征时沿世界线取最大，而最小作用量原理要求对无穷小路径取极小。

由于作用量应当是拉格朗日量对时间的积分：S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt=-\alphac\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt得到L=-\alphac\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx-\alphac+\frac{\alphav^2}{2c}由于常数项对拉格朗日量没有影响，c\to\infty时展开的最低项应该还原回牛顿力学L=\frac{mv^2}{2}，所以\alpha=mc，单粒子的拉格朗日量显为：L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}这个不显含时间的拉式量必然有一个称为“能量”的守恒量，就是E=\bm{p}\cdot\bm{v}-L=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}对于静止不动的物体，就有了E=mc^2以上基本抄自参考文献：Landau,TheClassicalTheoryofFields,Chapter2,Section1-2因为我们算的是单粒子（或粒子系）的作用量，应该不用取4维积分，只需要对时间积分就可以。

如果是算场的作用量，则要用拉格朗日密度\mathcal{L}(\Phi^i,\partial_\mu\Phi^i)对整个时空积分\intd^4x\mathcal{L}(\Phi^i,\partial_\mu\Phi^i)来构造作用量。

应该是这样的吧……参考：Carroll,SpacetimeandGeometry编辑于2013-06-2111:03​赞同65​​11条评论​分享​收藏​喜欢收起​知乎用户28人赞同了该回答题主已经看到，利用四维不变量可以很容易地得到这类等式。

不过很多人可能不知道，Einstein本人在1905年左右发表过另外一种非常有趣的推导方法。

我在这里给出一个稍微简化的推导。

假设静系S中存在静止物体，能量为E_0，动系S'沿x正向相对S系运动，速度为v，物体在S‘中能量为H_0。

设某时刻物体向x与-x方向同时发出能量为l=dm/2的辐射，这时物体速度在两系中都不变，但由于向外辐射能量，自身能量在S中变为E_1，在S'中变为H_1。

显然辐射前后物体在S'系中的动能为E_{K1}=H_1-E_1,E_{K0}=H_0-E_0。

同时利用相对论性多普勒频移公式，在S'系中左右方向传播的辐射能量分别为l'=l\frac{1\pm\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}，因此我们知道H_1-H_0=l'_{left}+l'_{right}=\frac{2l}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},E_1-E_0=2l,利用这两个表达式求S'系中动能之差，我们得到E_{K1}-E_{K0}=2l(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1)\simeq\frac{1}{2}\frac{(2l)v^2}{c^2}=\frac{1}{2}\frac{(dm)v^2}{c^2}由此可以看出即便是以低速运动的物体，在辐射出dm的能量时，即便速度保持不变，动能也会相应减少，而减少量则对应于质量减少了dm/c^2如果题主对Einstein的原文感兴趣，可以在谷歌学术中搜索DoestheInertiaofaBodyDependUponItsEnergy-Content?推导的关键一步使用了相对论多普勒效应公式，从中我们也可以看出，质能等效本质上来源于相对论的时空效应。

这里主要是尺缩，但从另一个方面来说，我们可以从钟慢效应推出质量（惯性）随速度增加而增加的公式，在低速下做近似也可以得到质能等效方程。

发布于2013-12-0805:53​赞同28​​7条评论​分享​收藏​喜欢收起​