导出复利公式 - 数学乐

上面是个实例，但我们也可以用字母和符号做一个一般通用的公式：. PV x (1+r)^n = FV. （和上面的计算比较一下：PV = ￥1,000, r = 0.10, n = 5, and FV = ￥1,610.51 ... 导出复利公式 用例子演示怎样导出复利公式！ 复利的计算是先计算第一期的利息，把利息加到本金上，然后用新的本金计算下一期的利息，就这样重复下去： 做个公式 我们先看第一年： ￥1,000.00+（￥1,000.00×10%）=￥1,100.00 可以重排为： 加10%就是乘以1.10 （注意：把利率除以100来转换为小数：10%=10/100=0.10，去这里学习百分比。

） 公式在任何年份都适用： 我们可以这样求下一年的利息：￥1,100×1.10=￥1,210 再下一年：￥1,210×1.10=￥1,331 等等…… 像这样： 这样乘5次，我们就可以直接计算第五年的金额： ￥1,000×1.10×1.10×1.10×1.10×1.10=￥1,610.51 用指数（幂）来写比较简单： 公式 上面是个实例，但我们也可以用字母和符号做一个一般通用的公式： （和上面的计算比较一下：PV=￥1,000,r=0.10,n=5,andFV=￥1,610.51） 如果是年利率，n便是年数 如果是月利率，n便是月数 等等   例子 我们现在来看一些例子…… …… 如果年期是15年呢？……改变"n"的值： ……如果年期是5年，但利率是6%又怎么样？ （注意乘数是1.06，不是1.6） 四个公式 所以复利的基本公式是： FV=PV(1+r)n FV=终值、 PV=现值、 r=利率（以小数表达）、 n=期数 如果已知现值PV、利率r和期数n，我们可以用这个公式来求终值FV 我们可以重排公式来求现值、利率或期数，如果我们已经知道另外三个变量。

这是四个公式： FV=PV(1+r)n   求终值e，如果已知现值、利率和期数。

      PV=FV/(1+r)n   求现值，如果已知终值、利率和期数。

      r=(FV/PV)1/n-1   求利率，如果已知现值、终值和期数。

      n= ln(FV/PV) ln(1+r)   求期数，如果已知现值、终值和利率   这些公式是怎样来的？ 求现值 例子：小山想在5年后有￥2,000，年利率是10%，他一开始需要多少钱？ 这就是说，已知终值，想求现值。

重排基本公式……每边除以(1+r)n： 开始：   FV=PV(1+r)n 换边：   PV(1+r)n=FV 每边除以(1+r)n:   PV= FV (1+r)n 答案： 例子（续）： PV=￥2,000/(1+0.10)5=￥2,000/1.61051=￥1,241.84 所以小山一开始需要￥1,241.84 像这样： 再举个例：你现在需要投资多少钱，才能以8%年利率在10年后得到￥10,000？ PV=￥10,000/(1+0.08)10=￥10,000/2.1589=￥4,631.93 投资￥4,631.93，利率为8%，10年后便会增长到￥10,000 求利率 例子：小山有￥1,000，他想在5年后增长到￥2,000，需要的利率是多少？ 我们再来重排公式： 开始：   FV=PV(1+r)n 换边：   PV(1+r)n=FV 每边除以PV：   (1+r)n= FV PV 每边取n次方根：   1+r=( FV PV )1/n 每边减1：   r=( FV PV )1/n−1 （注意：想了解"取n次方根"，去这里阅读分数指数） 结果是： r=( FV /PV )1/n−1 现在我们只需要"代入"数值来得到答案： 例子（续）： r=（￥2,000/￥1,000）1/5−1 =（2）0.2−1 =1.1487−1 =0.1487 0.1487以百分比来表达是14.87% 所以小山需要14.87%的利率来在5年后把￥1,000变成￥2,000。

再举个例：在20年后把￥1,000变成￥5,000的利率是多少？? r=（￥5,000/￥1,000）)1/20−1=（5）0.05−1=1.0838−1=0.0838 0.0838就是8.38%。

所以8.38%的利率可以在20年后把$1,000变成￥5,000。

求期数 例子：小山投资的年利率是10%，他需要多少年才能得到￥2,000？ 都是一样，重排基本公式。

但这一次我们也需要用自然对数函数ln()。

开始：   FV=PV(1+r)n 换边：   PV(1+r)n=FV 每边除以PV：   (1+r)n= FV /PV 用对数：   ln(1+r)×n=ln( FV /PV ) 每边除以ln(1+r)：   n= ln( FV /PV ) ln(1+r) （注意：想多了解点怎样"用对数"，去这里阅读使用指数与对数）。

"代入"数值： 例子（续）： n=ln(￥2,000/￥1,000)/ln(1+0.10)=ln(2)/ln(1.10)=0.69315/0.09531=7.27 惊艳！要7.27年和10%年利率来把￥1,000变成￥2,000。

小山要等7年多。

  再举个例：年利率是5%，￥1,000要几年才能变成￥10,000？ n=ln(￥10,000/￥1,000)/ln(1+0.05)=ln(10)/ln(1.05)=2.3026/0.04879=47.19 47年！这不稀奇，因为金额大了十倍，而利率只有5%。

总结 了解怎样导出和使用公式，你便会更容易记住公式，并且懂得在不同情况下应用公式。

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