從單表到雙表——重差術的方法論研究 - 數學知識
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3、歷史的合理重建需要用經驗的(社會-心理的)「外在歷史」加以充實。
這裡所謂的「方法論」,當然不是十七、八世紀所暸解的方法論,那種類似機械條款的法則手冊,只要 ...
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.原載於《中國科技史論文集》,聯經,台北,1995,pp.85-105
.作者任職於中央研究院數學研究所
‧註釋
從單表到雙表——重差術的方法論研究
李國偉
方法論的選擇
重差術的淵源
單表的方法論基礎
雙表的率
重差的變化
斜面重差
由天上回到地面
結語
方法論的選擇
拉卡托斯(ImreLakatos)在〈科學史及其合理重建〉註1
一文中曾模仿康德的口吻說:「沒有科學史的科學哲學是空洞的,沒有科學哲學的科學史是盲目的。
」至於如何把科學史與科學哲學關聯起來,以便削減兩者的空洞性與盲目性,他有如下的建議:
1、科學哲學提供了各種規範性的方法論,使得科學史家可用以重建「內在歷史」,並對客觀知識的增長加以合理的解釋。
2、(規範性解釋過的)歷史可協助評價彼此有競爭性的方法論。
3、歷史的合理重建需要用經驗的(社會-心理的)「外在歷史」加以充實。
這裡所謂的「方法論」,當然不是十七、八世紀所暸解的方法論,那種類似機械條款的法則手冊,只要嚴謹的遵循,問題便可迎刃而解。
現代的方法論,或稱之為「發現的邏輯」(logicsofdiscovery),通常只是一些約略關聯起來的原則,用以品評既存的理論。
對於一般的科學拉卡托斯檢討了四種方法論:歸納主義(inductivism),約定主義(conventionalism),方法論的證偽主義(methodologicalfalsficationism),科學研究綱領方法論(methodologyofscientificresearchprogrammes)。
其中第四種是拉卡托斯自己主張的方法論。
在數學史方面,拉卡托斯的名著《ProofsandRefutations-thelogicofmathematicaldiscovery》註2
利用合理重建Descartes-Euler「多面體公式」的過程,展現了非形式化,半經驗性的數學,是由推測與批判的過程中成長起來。
而不是像形式主義認為數學裡不容置疑的真理,是經由一組公理及一系列以邏輯緊密串聯起來的定理導來的。
放棄了形式主義乾癟方法論,才能從數學史的活動經歷中,看出既非機械性、又非全無理性的情境邏輯(situationallogic),而能更正確的掌握數學發展的動態。
近代在形式主義導引下的數學史觀主流,固然是受二十世紀邏輯學的發達,而在元數學(metamathematics)上取得豐碩成果的影響。
但其思想的根源卻深植在對數學哲學一種教條性的信念中,也就是把歐幾里得用演繹組織幾何知識的方法奉為圭臬。
任何方法論既然免不了要品評既存的理論,也就自然夾帶了價值的標準。
因此以形式主義影響較重的角度來觀察中國的傳統數學,多半評價不會很好。
更不幸的是有些人未曾警惕到方法論並非唯一的,方法論間的競爭其實應求助於合理重建的歷史,反而到中國傳統數學中勉強尋找近乎演繹證明的痕跡,好像想拿來救贖中國古代數學家知性的墮落,其結果往往更加深中國傳統數學沒有邏輯的印象。
這種方法論選擇不當的情形,一直到最近才有了另謀生路的跡象。
有趣的是改弦更張的動因卻來自資訊科學,計算機理論的突飛猛進與輝煌成就,提供人們賴以思考的另一類模式。
例如李迪討論了〈中國傳統數學的程序性〉註3
,林力娜(KarineChemla)質問〈ShouldtheyreadFortranasifitwereEnglish?〉註4
。
而本人在〈初探「重差」的內在理路〉註5
中,也強調若以計算機程序的理論架構考量傳統數學,就會發現演算法則設計的精良,會使其正確性的證明變成極其顯然,而不必見諸明文。
利用程序性的方法論,來暸解與品評中國傳統數學成果,也有它的局限性。
對於一組特定的「法」或「術」,這是相當順手的工具。
但是對於圍繞某些核心問題,經過長時間與不同數學家逐步發展演化出的一系列「法」與「術」,只用演算法則的程序性是不足以捕捉概念增減流變間的細緻圖像。
拉卡托斯處理非形式數學成長的方法論,也就是證明與反駁交叉運用的方式,可化約為四個自我循環的階段:原始推測,初步思想實驗或論證,發現貌似全盤性的反例,弱化反例重建推測。
在這種周而復始的歷程中,數學知識的成長便可相當正確的描述出來。
但是這種方法論能運用自如的一個先決條件是,做為對象的歷史階段必須文獻充足。
中國古代的數學所留下的只是屈指可數的幾本教科書,以及若干傑出數學家可貴的注文,即使他們當初的思想經歷過類似的往復交戰,但是今日已無法追索兵馬的足跡。
因此在評估古代數學成長的方法論上,我們不得不採取比拉卡托斯更溫和靜態的手段。
我們用現代的眼光與理論基礎,找出「術」與「術」之間邏輯上的關聯,以及它們所依賴的若干假設,衡量它們消長的因素,希望清理出一條或數條與史實相容而真實性又高的理路。
當理路多於一條時,我們的任務不在於勉強判定哪一條是歷史上真正發生的。
我們注意的是概念內在的一致性,哪一條理路更能自圓其說,更能經由它的導向獲致豐富的知識發展景觀。
本文正是拿重差術作為這種內在理路清理方法的實驗對象,而獲致的初步報告。
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編輯:李文威
最後修改日期:3/27/2004
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