數學史與數學教學：以一元二次方程式為例 - 科學Online

數學史與數學教學：以一元二次方程式為例(History of Mathematics and Mathematics Teaching: A Case Study of quadratic equations) Monday19thSeptember2022 19-Sep-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 數學史與數學教學：以一元二次方程式為例(History ofMathematicsandMathematicsTeaching:ACaseStudyofquadraticequations) 台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯 摘要:本文以一元二次方程式為例，探討數學史與數學教學。

如果被要求解出一元二次方程式$$x^2+10x=39$$，常見的的作法是： $$x^2+10x=39\Rightarrowx^2+10x-39=0\Rightarrow(x+13)(x-3)=0\Rightarrowx=-13,~3$$ 一旦無法因式分解時，便是「公式解」派上場的時機。

通常它是用「配方法」的作法推導出來 $$\begin{array}{ll}ax^2+bx+c=0&\Rightarrowa(x^2+\frac{b}{a}x)=-c\\&\Rightarrowa(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}\\&\Rightarrowx+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&\Rightarrowx=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$$ 仔細想想，就解題的觀點，有了「公式解」這個萬能的工具，無論任何係數的二次方程式便能輕鬆解決。

同時，它也引導我們觀察解的形態之條件。

無怪乎符號代數發展之後，數學家便想找出各種次方方程式的公式解。

可惜的是，到了五次方程式的時候就被迫停了下來。

不過，這已經是另一段故事，不在本文所討論的範圍。

事實上，二次方程式的出現非常的早，只要涉及畢氏定理的問題，就常常會導出二次方程式。

同時，它的解法(本質上就是公式解)也完整的被提出。

不過，古代數學家是以幾何概念來理解與處理二次方程式的問題。

此處只對於二次方程式的解法，分享古代阿拉伯數學家的想法。

阿拉伯數學家繼承了巴比倫、印度和希臘等文明的數學思想，並且在代數研究上開創出豐盛成果。

由於受到希臘數學深刻的影響，對他們而言，賦予巴比倫人解二次方程的演算程序之幾何意義是個重要課題。

阿爾花拉子模（Mohammedibn Musaal-Khowarizmi, 約780-850年）在《代數學》（Al-kitabal-muhtasarfihisab al-jabrwa-l-muqabala，約在820年）書中，將二次方程分為六類，亦即「平方等於根」（$$ax^2=bx$$）、「平方等於數」（$$ax^2=c$$）、「根等於數」（$$bx=c$$）、「平方與根等於數」（$$x^2+bx=c$$）、「平方與數等於根」（$$x^2+c=bx$$）以及「根與數等於平方」（$$bx+c=x^2$$）。

其中$$a,b,c$$均為正數，且所稱的數（number）、根（root）與平方（square）分別是我們今日所指的常數、未知數與未知數的平方。

同時，他也是第一位把未知數叫做「根」的數學家。

對於形如$$x^2+bx=c$$的二次方程，除了給出解法$$x=\sqrt{(\frac{1}{2}b)^2+c}-\frac{b}{2}$$，阿爾花拉子模並以$$x^2+10x=39$$為實例提出兩種幾何解釋： 首先，以正方形$$ab$$邊長表示為此方程的根$$x$$，則$$x^2$$代表正方形$$ab$$的面積（見圖1）； 接著，再把長$$x$$、寬$$10/4$$的四個矩形（$$c$$、$$d$$、$$e$$、$$f$$）加到正方形$$ab$$的四個邊上（見圖2）， 此圖形面積和即為$$x^2+10x$$，亦即等於$$39$$； 最後，將邊長為$$10/4$$的小正方形補到圖形的四個角落，成為邊長為$$x+2\times10/4$$的大正方形$$GH$$（見圖3），面積就是$$39+4\times(10/4)^2=64$$， 因此，正方形的邊長，$$x+2\times10/4$$應該等於$$64$$的（正）平方根$$8$$， 最後，就可以求出此方程的一解$$x=3$$。

另外，阿爾花拉子模也提供了相當於今日所使用的「配方法」的幾何解釋： $$3$$就表示正方形$$ab$$的一個邊，即所求未知數平方的一個跟。

且未知數的平方是$$9$$。

因此，我們取$$10$$的一半，將其自乘。

當我們把這一乘積加上$$39$$時，大正方形$$GH$$就可以畫成了（見圖4） 也就是說， 其相對應求解方程$$x^2+10x=39$$的演算程序為$$x^2+10x+(10/2)^2=39+(10/2)^2$$， 即$$(x+5)^2=64$$，得$$x+5=8$$，可知$$x=3$$。

這種藉助幾何論證來說明方程數值解法的方式，正是阿拉伯數學的一大特色。

在今日代數教學上所帶來的啟發，的確值得我們注意：阿爾花拉子模針對二次方程$$x^2+bx=c$$所提供的幾何解釋，正是可以作為「配方法」－配成完全平方－ 的可行詮釋。

讓學生除了透過抽象化與演繹性的演算學習代數課程之外，還可以藉由具體且可操作的幾何圖形，幫助理解與學習。

參考文獻： 李文林主編(2000)，《數學珍寶》，台北：九章出版社。

陳鳳珠(2002)，〈阿拉伯代數在數學教學的應用：以一元二次方程解法為例〉，《HPM通訊》第四卷第十一期。

Tags:一元二次方程式,數學史與數學教學,配方法,阿拉伯數學 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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