平面內直角座標系中座標旋轉變換公式 - 台部落
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平面內直角座標系中座標旋轉變換公式 · 1.設A點旋轉前的角度爲δ,則旋轉(逆時針)到C點后角度爲δ+β · 2.求A,B兩點的距離:dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ) · 3.
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正文
平面內直角座標系中座標旋轉變換公式
原創
Eric_Wangyz
2018-08-2203:56
首先上公式:
逆時針(如下圖):
x1=xcos(β)-ysin(β);
y1=ycos(β)+xsin(β);
順時針(圖未給出):
x1=xcos(β)+ysin(β);
y1=ycos(β)-xsin(β);
其中x,y表示物體相對於旋轉點旋轉β的角度之前的座標,x1,y1表示物體旋轉β後相對於旋轉點的座標。
此公式僅爲在下圖座標中的變換公式,座標系的選取不同可能會有不同的結果,但是推導方式一樣,請大家注意。
下面是推導過程:
從數學上來說,此公式可以用來計算某個點繞另外一點旋轉一定角度後的座標,例如:A(x,y)繞B(a,b)旋轉β度後的位置爲C(c,d),則x,y,a,b,β,c,d有如下關係式:
1.設A點旋轉前的角度爲δ,則旋轉(逆時針)到C點后角度爲δ+β
2.求A,B兩點的距離:dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)
3.求C,B兩點的距離:dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)
4.顯然dist1=dist2,設dist1=r所以:
r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)
5.由三角函數兩角和差公式知:
sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)
cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)
所以得出:
c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)
d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)
即旋轉後的座標c,d只與旋轉前的座標x,y及旋轉的角度β有關
從圖中可以很容易理解出A點旋轉後的C點總是在圓周上運動,圓周的半徑爲|AB|,利用這點就可以使物體繞圓周運動,即旋轉物體。
另外,順時針旋轉可以理解爲逆時針一個負角度,根據sin(),cos()的奇偶性,即sin(-β)=-sin(β),cos(-β)=cos(β),可得順時針旋轉的變換公式:
x1=xcos(β)+ysin(β);
y1=ycos(β)-xsin(β);
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