事件(概率论) - 维基百科，自由的百科全书

在概率論中，隨機事件（或簡稱事件）指的是一個被賦與機率的事物集合，也就是樣本空間中的一個子集。

簡單來說，在一次隨機試驗中，某個特定事件可能出現也有可能不 ... 事件(概率论) 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 统计学系列条目概率論 概率 概率公理 決定論 非決定論 随机性 概率空間 样本空间 随机试验 伯努利試驗 事件 互補事件 互斥 基本事件（英语：Elementary_event） 结果 单元素 概率分布 概率测度 随机变量 伯努利过程 马尔可夫链 期望值 隨機漫步 随机过程 对立事件 联合分布 边缘分布 條件概率 統計獨立性 條件獨立 全概率公式 大数定律 贝叶斯定理 布尔不等式 文氏图 樹形圖 查论编 在概率論中，隨機事件（或簡稱事件）指的是一個被賦與機率的事物集合，也就是樣本空間中的一個子集。

簡單來說，在一次隨機試驗中，某個特定事件可能出現也有可能不出現；但當試驗次數增多，我們可以觀察到某種規律性的結果，就是隨機事件。

基本上，只要樣本空間是有限的，則在樣本空間內的任何一個子集合，都可以被稱為是一個事件。

然而，當樣本空間是無限的時候，特別是不可數之時，就常常不能定義所有的子集為隨機事件了。

因此，爲了定義一個概率空間，常常需要去掉樣本空間的某些子集，規定他們不能成為事件。

目录 1例子 2事件與概率空間 2.1一個反例 3事件之間的關係 3.1獨立事件 4事件的運算 5參見 6參考來源 例子[编辑] 假設我們有一堆52張的撲克牌，并閉著眼睛在這堆牌中抽取一張牌，那麼用概率論的術語來說，我們實際上是在做一個隨機試驗。

這時，我們的樣本空間是一個有著52個元素的集合，因為任意一張牌都是一個可能的結果。

而一個隨機事件，則是這個樣本空間的任意一個子集（这个任意子集包括空集，一个元素的集合及多个元素的集合）。

運用組合知識可以知道，隨機事件一共有 2 52 {\displaystyle2^{52}} 種。

當這個事件僅僅包括樣本空間的一個元素（或者說它是一個單元素集合）的時候，稱這個事件為一個基本事件。

比如說事件“抽到的牌是黑桃7”。

當事件是空集時，稱這個事件為不可能事件。

當事件是全集時，則稱事件是必然事件。

其它還有各種各樣的事件，比如： “抽到的牌是鬼牌”（也是不可能事件） “抽到的牌是紅桃3”（基本事件） “抽到的牌數字是9”（包含4個元素） “抽到的牌是方塊”（包含13個元素） “抽到的牌是紅顏色的並且數字小於等於10”（包含20個元素） “抽到的牌不是紅桃3”（包含51個元素） 由於事件是樣本空間的子集，所以也可以寫成集合的形式。

有時候寫成集合的形式可能會很困難。

有時候也可以用文氏圖來表示事件，這時可以用事件所代表圖形的面積來按比例顯示事件的概率。

事件與概率空間[编辑] 當樣本空間有限，试验中每个基本事件发生的可能性相同的時候，稱為古典概型。

這時可以（也是一般用到的）取樣本空間的所有的子集作為事件。

然而，當樣本空間不是有限的時候，特別是當樣本空間是實數的時候，就不能取所有的子集作為事件了。

其中的根本原因在於概率的定義。

一般來說，當研究一個隨機事件的時候，我們希望知道它發生的概率。

事件發生的概率是一個介於0和1之間的數。

當樣本空間是不可數的時候，如果我們取樣本空間所有的子集，那麼概率論的公理系統會產生數學上的矛盾，也就是說，會有一些子集無法被定義概率。

具體地說，概率論的公理系統是由三個部份 ( Σ , F , P ) {\displaystyle(\Sigma,{\mathcal{F}},\mathbb{P})} 組成的，又稱為概率空間。

這個空間包括：樣本空間 Σ {\displaystyle\Sigma} 、事件集合 F {\displaystyle{\mathcal{F}}} （又稱為事件體）以及定義在這上面的一個取概率的運算： P {\displaystyle\mathbb{P}} 。

其中的事件集合 F {\displaystyle{\mathcal{F}}} 是一個σ-代數，而取概率的運算 P {\displaystyle\mathbb{P}} 需要滿足概率的加法公理（σ-Additive）： 如果一系列事件 A 1 , A 2 , ⋯ {\displaystyleA_{1},A_{2},\cdots} 兩兩互斥（也就是說對任意的 i , j {\displaystylei,j} ， A i ∩ A j {\displaystyleA_{i}\capA_{j}} 都是空集。

此亦稱為pairwisedisjoint）那麼就有： P ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) {\displaystyle\mathbb{P}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{i})} 這個公理是符合一般人的直覺的：如果幾件事情互相之間相互排斥，那麼“它們幾個中有一個發生”的概率應該等於其中每一個發生的概率的和。

然而，對於不可數的樣本空間，如果選全部的子集作為事件的話，會有一些子集，無論怎樣為他們定義概率，都會違反加法公理。

[1] 一個反例[编辑] 假設小明和小華玩一個遊戲，讓小華隨意說一個0到1之間的實數。

小明爲了研究概率，選擇了所有[0,1]的子集作為概率集合。

他將所有的0到1之間的有理數取出來。

由於0到1之間的有理數是可數集合，所以可以做標號： q 1 , q 2 , ⋯ {\displaystyleq_{1},q_{2},\cdots} 。

對於每一個0到1之間的實數 a {\displaystylea} ，小明將 a + q 1 , a + q 2 , ⋯ {\displaystylea+q_{1},a+q_{2},\cdots} 作為一個集合，如果其中有大於1的，就減去1。

這個集合是由可數個數構成的，小明把它記作 S a {\displaystyleS_{a}} 。

构造多个这样的集合 S a {\displaystyleS_{a}} 满足其並集是區間[0,1]，且它們之間兩兩不相交。

然後將每個 S a {\displaystyleS_{a}} 寫成： S a = s a , 1 , s a , 2 , ⋯ {\displaystyleS_{a}=s_{a,1},s_{a,2},\cdots} 再令： T 1 = {\displaystyleT_{1}=} 遍歷所有 S a {\displaystyleS_{a}} 集合中的 s a , 1 {\displaystyles_{a,1}} 所構成的集合。

T 2 = {\displaystyleT_{2}=} 遍歷所有 S a {\displaystyleS_{a}} 集合中的 s a , 2 {\displaystyles_{a,2}} 所構成的集合。

如此等等， 那麼所得到的事件（也就是集合） T 1 , T 2 , ⋯ {\displaystyleT_{1},T_{2},\cdots} 的並集也是區間[0,1]，而且它們之間兩兩不相交。

由於這些事件之間地位相等，所以它們的概率 P ( T n ) {\displaystyle\mathbb{P}(T_{n})} 都是一樣的。

如果 P ( T n ) > 0 {\displaystyle\mathbb{P}(T_{n})>0} ，那麼根據加法原則， 1 = P ( [ 0 , 1 ] ) = P ( ⋃ i = 1 ∞ T i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( T i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( T 1 ) = + ∞ {\displaystyle1=\mathbb{P}([0,1])=\mathbb{P}(\bigcup_{i=1}^{\infty}T_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}(T_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}(T_{1})=+\infty} 而如果 P ( T n ) = 0 {\displaystyle\mathbb{P}(T_{n})=0} ，那麼根據加法原則，仍然有： 1 = P ( [ 0 , 1 ] ) = P ( ⋃ i = 1 ∞ T i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( T i ) = 0 + 0 + ⋯ = 0 {\displaystyle1=\mathbb{P}([0,1])=\mathbb{P}(\bigcup_{i=1}^{\infty}T_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}(T_{i})=0+0+\cdots=0} 因此無論如何，都會導致矛盾。

也就是說小明無法為事件 T 1 {\displaystyleT_{1}} 定出一個概率。

在一般的測度理論中，這種集合稱為（勒貝格）不可測集合。

[2] 事件之間的關係[编辑] 兩個隨機事件之間可以有各種各樣的關係。

包含關係：通常用符號 ⊂ {\displaystyle\subset} 表示。

一個事件 A {\displaystyleA} 包含另一個事件 B {\displaystyleB} 記作： B ⊂ A {\displaystyleB\subsetA} 。

這時只要事件 B {\displaystyleB} 發生，那麼事件 A {\displaystyleA} 也一定發生。

這個關係其實就是集合論中的包含關係。

舉之前撲克牌的例子來說，假設事件 A {\displaystyleA} 是“抽出的牌上數字是8”，事件 B {\displaystyleB} 是“抽出的牌是梅花8”，那麼事件 A {\displaystyleA} 包含事件 B {\displaystyleB} ：只要抽出的是梅花8，牌上的數字自然就是8。

等價關係：兩個事件對應的子集完全相等，記作 A = B {\displaystyleA=B} 。

例子：事件“抽出的牌花色是黑桃並且數字比3小並且數字是偶數”和事件“抽出的牌是黑桃2”就是等價的。

對立關係：兩個事件只能有一個發生，並且必然有一個發生，則它們是對立關係。

這種關係對應的集合論術語是“補集”。

互斥關係：兩個事件只能有一個發生，但並不必然有一個發生。

這時也稱兩個事件之間是互不相容的。

獨立事件[编辑] 如果兩個事件同時發生的概率等於它們各自發生的概率的乘積，那麼就稱這兩個事件是相互獨立的。

比如說，“抽到的牌是紅桃”和“抽到的牌數字是4”就是相互獨立的，因為兩者同時發生——抽到的牌是紅桃4——的概率是52分之1，而“抽到的牌是紅桃”的概率是4分之1，“抽到的牌數字是4”的概率是13分之1，兩者相乘便是52分之1。

事件的運算[编辑] 事件 A ∪ B {\displaystyleA\cupB} ：是事件 A {\displaystyleA} 和事件 B {\displaystyleB} 的和事件（並事件），指的是事件“事件 A {\displaystyleA} 發生或者事件 B {\displaystyleB} 發生”。

事件 A ∩ B {\displaystyleA\capB} ：是事件 A {\displaystyleA} 和事件 B {\displaystyleB} 的積事件（交事件），指的是事件“事件 A {\displaystyleA} 發生且事件 B {\displaystyleB} 發生”。

事件 A − B {\displaystyleA-B} ：是事件 A {\displaystyleA} 和事件 B {\displaystyleB} 的差事件，指的是事件“事件 A {\displaystyleA} 發生且事件 B {\displaystyleB} 不發生”。

在概率運算時，還有： P ( A ∣ B ) {\displaystyleP(A\midB)} ：指的是“设A与B为样本空间Ω中的两个事件，其中P(B)>0。

那么在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率为：” 參見[编辑] 隨機變量 σ-代數 參考來源[编辑] ^龚光鲁.概率论与数理统计.清华大学出版社.2006.ISBN 978-7-302-12723-9. ，第13頁 ^张育丽.Lebesgue不可测集的存在性及其应用.烟台师范学院学报(自然科学版).2004,20:103-104.  叶俊赵衡秀.《概率论与数理统计》.清華大學出版社.2005.ISBN 9787302095668.  取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=事件_(概率论)&oldid=65217155” 分类：​概率论 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 在其他项目中 维基共享资源 其他语言 العربيةবাংলাCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаCymraegDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisעבריתMagyarÍslenskaItaliano日本語ქართული한국어NederlandsNorskbokmålPolskiPortuguêsРусскийSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ไทยTürkçeУкраїнськаاردوTiếngViệt吴语粵語 编辑链接