数列――找规律 - 数学乐

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... 数列――找规律. 若我们想找一个在数列里缺失的数，我们先要知道数列的规则 ... 数列――找规律 若我们想找一个在数列里缺失的数，我们先要知道数列的规则 数列的定义 在数列和级数的网页中有详细的解释，但简单地说： 序列是一组顺序排列的东西，若这些东西是数，我们便称之为数列。

数列里的每一个数叫项（也叫"元素"、"元"或"分子"）： 找缺失的数 想找到缺失的数，要先找数列的规则。

有时候一眼便可以看到规律： 例子：1,4,9,16,? 答案：这些是平方数（12=1、22=4、32=9、42=16…… 规则：xn=n2 数列：1，4，9，16，25，36，49…… 看到我们怎样用"x"和"n"来记下这个规则吗？ xn的意思是"第n项"，所以地3项是写为x3 在公式里，我们也用到"n"，所以第3项的公式是32=9。

这可以写成 x3=32=9 找到规则后，我们便可以用它来求任何一项。

例如，要计算第25项的值，我们便把25"代入"公式的n： x25=252=625 再来一个例子： 例子：3，5，8，13，21、？ 在3和5之后，所有的项都是前两下项的和：3+5=8、5+8=13等等（这个数列是斐波那契数列的一部分）： 规则：xn=xn-1+xn-2 数列：3，5，8，13，21，34，55，89…… xn-1是什么意思？意思是"上一项"，因为项数（n）少了1（n-1）。

若n是6，xn=x6（第6项），xn-1=x6-1=x5（第5项） 我们现在用数列的规则来求第6项： x6=x6-1+x6-2 x6=x5+x4 我们已经知道第四项是13，而五项是21，所以第六项是： x6=21+13=34 很简单……把数代入"n"里 很多规则 求数列中"下一项"的其中一个问题是我们可能找到不止一个合适的规则。

这数列的下一项是什么？1，2，4，7，？? 以下是三个答案（可能会有更多答案！）： 答案1：加1、加2，加3、加4…… 这样：1+1=2、2+2=4、4+3=7,7+4=11…… 规则：xn=n(n-1)/2+1 数列：1，2，4，7，11，16，22…… （规则乍看相当复杂，但公式是对的）   答案2：在1和2之后，把前两项相加，再加1： 规则：xn=xn-1+xn-2+1 数列：1，2，4，7，12，20，33……   答案3：在1、2和4后，把前三项相加 规则：xn=xn-1+xn-2+xn-3 数列：1，2，4，7，13，24，44…… 我们有三个合适的答案，但每个答案的数列是不同的（除了头四项之外）. 哪个是对的？全部都对。

还有其他的答案……   ……数列可能是每一个竞赛的第一名的号码……所以下一个数是……任何数！ 最简单的规则 当你有疑问时，选最简单而合理的规则，但也应该提及有其他答案。

计算差 有时候我们可以试试计算两个数的差……这往往会揭示出数列背后的规律。

这是一个简单的例子： 差永远是2，所以答案里应该有"2n"这项。

试试2n： n: 1 2 3 4 5 项(xn): 7 9 11 13 15 2n: 2 4 6 8 10 误差： 5 5 5 5 5 最后一行告诉我们答案永远少了5，所以我们加5就行了：规则：xn=2n+5 在这个例子，我们随便试试就得到"2n+5"这个答案，但我们其实想要一个有规律的方法，给我们在解比较复杂的数列时应用。

二次差 在这数列：{1，2，4，7，11，16，22……}我们需要求数与数之间的差…… ……然后再求这些差之间的差（叫二次差)： 在这例子里，二次差是1。

用二次差时，我们乘以"n2/2"。

在这例子，二次差是1，所以我们试试n2/2： n： 1 2 3 4 5 项(xn)： 1 2 4 7 11             n2: 1 4 9 16 25 n2/2: 0.5 2 4.5 8 12.5 误差： 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 差不多，但误差好像以0.5逐项减少，所以我们可以试试这个：n2/2-n/2 n2/2-n/2： 0 1 3 6 10 误差： 1 1 1 1 1 全部误差都是1，加1就行了： n2/2-n/2+1： 1 2 4 7 11 误差： 0 0 0 0 0 n2/2-n/2+1可以被简化为n(n-1)/2+1 我们用"試誤"来找到一个合适的规则了： 规则：xn=n(n-1)/2+1 数列：1，2，4，7，11，16，22，29，37…… 其他种类的数列 除了在数列和级数这个网页里提到的数列： 等差数列 等比差数列 斐波那契数列 三角数列 之外，你也可以看看： 质数 阶乘数 及任何你在你周围发现的数列！ 这世界有太多的数列了，不能尽录，但若你有一个数列，而且希望我把它放在这个网站，欢迎你告诉我。

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