1.2條件機率與獨立性 - 國立高雄大學統計學研究所

這就是所謂條件機率(conditional probability)。

... 在條件機率的定義中, $B$ ... 對 , 事件 , 若滿足 與 獨立, , 則為每對獨立, 或稱兩兩獨立(pairwise independent) ... 條件機率與獨立性                有時得到一些資訊, 則根據所獲得的資訊,要修訂樣本空間,因而機率空間可能也會改變。

這就是所謂條件機率(conditional probability)。

        定義1.設為樣本空間中二事件,且。

則在給定發生之下,之條件機率,以表之,定義為 (2.1)       在條件機率的定義中,成為新的樣本空間:。

所有事件發生之機率, 都要先將其針對與的關係做修正。

例1.在梭哈遊戲裡,要拿到四條的機率很低。

但若發了三張牌,皆拿到,則此時會拿到四條之機率為何?       由(2.1)式得 (2.2) 故若知道及,則可得到。

當然亦有 (2.3) 只要。

結合(2.2)與(2.3)式,得 (2.4) (2.4)式為貝氏定理(Bayes'Rule)之一特例。

  　   定理1.設 為某樣本空間之一分割.則對任一事件, (2.5)        定理2.貝氏定理.設 為樣本空間之一分割, 則對任意及任一事件,只要, (2.6) 例2.有甲、乙、丙三囚犯,國王以抽籤決定釋放其中一位, 處決另兩位。

然後他告訴獄卒那一位將被釋放, 但要求獄卒不可先透露。

甲先是要求獄卒告訴他那一位會被釋放, 遭到拒絕後,改為問獄卒,乙,丙中那一位會被處決。

獄卒經過一番思考, 遂告訴甲,乙會遭處決。

他認為這樣做並未違反國王的規定, 原因為:        乙、丙二人,至少有一會遭處決, 因此他並未提供甲有關甲是否會被釋放的有用資訊。

       甲聽到獄卒說乙會被處決後很高興。

原先他只知道自己有的機會遭釋放,現因只剩他與丙了, 所以他會被釋放的機會提高至。

        究竟獄卒與甲誰的分析,何者才是正確的呢?                       定義2.二事件,稱為相互獨立(mutuallyindependent,簡稱獨立), 若滿足 (2.7)        在討論條件機率時,有時事件之發生, 對事件之發生的機率沒有影響。

即 　 (2.8) 又由(2.4)式得 (2.9) 在(2.8)及(2.9)二式中, 分別要有,及與為正的條件。

不過(2.7)式對或為0仍成立。

以(2.7)式當做獨立的條件。

         當事件與獨立時,由之發生,對事件得不到任何推論(inference)。

因此直觀上與獨立, 會導致與獨立。

    定理3.設與獨立,則與,與, 與皆獨立。

例3.投擲一公正的骰子兩次,則樣本空間為   共包含36個元素,其中表第一次出現點數, 第二次出現點數。

取-體為包含所有子集合之集合(共有個元素)。

令表兩次投擲出現的點數相同,表兩次投擲點數和介於7與10間, 表兩次投擲點數和為2,7或8。

因此,,與是否相互獨立? 　   定義3.對 ,事件 ,若滿足 與 獨立, ,則為每對獨立,或稱兩兩獨立(pairwise independent); 若對所有 ,及 ,滿足 則為相互獨立。

　  系理 1.設 為相互獨立,則對所有,及 , 為相互獨立;特別地 為每對獨立。

　      由定義 3,一般而言,n 個事件要相互獨立,就須有 個等式成立。

例4.考慮投擲一銅板三次的試驗。

令``正正反'' 表頭兩次出現正面,第三次出現反面,餘類推。

則樣本空間為={正正正,正正反,正反正,反正正,正反反,反正反,反反正,反反反}。

對每一樣本點給定機率1/8。

又令表第次投擲得到正面之事件。

則 同理 。

試驗證對此機率模型, 事件 為相互獨立。

例5.假設生男與生女的機率均為。

若一家庭中有兩個小孩, 已知其中之一為男孩,試求另一為女孩之機率。

例6.在上例中,若亦知該男孩為老大,試回答同樣的問題。

進一步閱讀資料：黃文璋(2003).基本概念。

數理統計講義第一章。

國立高雄大學應用數學系。