高中物理(二上): Chap 2-5 相對運動 - 科學園

註：以前使用「座標」，現今教材已改用「坐標」。

2. 絕對量：物體對靜止坐標系的各種物理量：如絕對位置、絕對位移、絕對速度、絕對加速度等 ... 高中物理(二上) 登入 科學園->高中物理(二上)->Chap2-5相對運動   Chap2-5相對運動 一、基本概念 1.物體運動狀況的描述，依觀察者的位置、地位、或所處運動狀態而異，即依觀察者選定的坐標而異。

註：以前使用「座標」，現今教材已改用「坐標」。

2.絕對量：物體對靜止坐標系的各種物理量：如絕對位置、絕對位移、絕對速度、絕對加速度等，習慣上常常省略「絕對」二字。

3.相對量：物體對運動坐標系的各種物理量：如相對位置、相對位移、相對速度、相對加速度等。

4.相對位置：$\vec{r\,}_{AB}\;=\;\vec{r\,}_{A}\;-\;\vec{r\,}_{B}$        5.相對位移：$\Delta\,\vec{r\,}_{AB}\;+\;\Delta\,\vec{r\,}_{BC}\;=\;\Delta\,\vec{r\,}_{AC}$　　　　　　$\Delta\,\vec{r\,}_{AB}\;=\;\Delta\,\vec{r\,}_{AC}\;-\;\Delta\,\vec{r\,}_{BC}=\;\Delta\,\vec{r\,}_{A}\;-\;\Delta\,\vec{r\,}_{B}$6.相對速度：$\vec{v\,}_{AB}\;+\;\vec{v\,}_{BC}\;=\;\vec{v\,}_{AC}$　　　　　　$\vec{v\,}_{AB}\;=\;\vec{v\,}_{AC}\;-\;\vec{v\,}_{BC}\;=\;\vec{v\,}_{A}\;-\;\vec{v\,}_{B}$7.相對加速度：$\vec{a\,}_{AB}\;+\;\vec{a\,}_{BC}\;=\;\vec{a\,}_{AC}$　　　　　　　$\vec{a\,}_{AB}\;=\;\vec{a\,}_{AC}\;-\;\vec{a\,}_{BC}\;=\;\vec{a\,}_{A}\;-\;\vec{a\,}_{B}$ 二、導航問題 1.船的速度： 　(1)流速=河水流速、或洋流的流速：即水(water)對地(ground)的相對速度$\vec{v\,}_{wg}$或$\vec{v\,}$水地　(2)航速=靜水的船速：即船(boat)對水的相對速度$\vec{v\,}_{bw}$或$\vec{v\,}$船水　(3)船對地的速度：$\vec{v\,}_{bw}\;+\;\vec{v\,}_{wg}\;=\;\vec{v\,}_{bg}$或$\vec{v\,}$船水$+\;\vec{v\,}$水地$=\;\vec{v\,}$船地 2.船垂直於河岸航行：        (1)船的航向：垂直於河岸。

(2)船對地的運動方向：垂直於河岸，偏向下游$\theta\;=\;\tan\,^{-1}\,\frac{v\,_{wg}}{v\,_{bw}}$(3)不能抵達正對岸B點，偏向下游的距離$x\;=\;v\,_{wg}\,t\;=\;d\,\tan\,\theta\;=\;\frac{d\,v\,_{wg}}{v\,_{bw}}$(4)渡河時間最短：$t\;=\;\frac{s}{v\,_{bg}}\;=\;\frac{d}{v\,_{bw}}$ 3.欲抵達正對岸：        (1)條件：航速需大於流速才有可能抵達正對岸。

(2)船的航向：垂直於河岸，偏向上游$\theta\;=\;\sin\,^{-1}\,\frac{v\,_{wg}}{v\,_{bw}}$(3)渡河時間較長：$t\;=\;\frac{d}{v\,_{bg}}\;=\;\frac{d}{v\,_{bw}\,\cos\,\theta}\;=\;\frac{d}{\sqrt{v\,^2_{bw}\;-\;v\,^2_{wg}}}$ 4.若航速小於流速，則必不能抵達正對岸；欲抵達對岸時偏向最小：        (1)船的航向：偏向上游，與河岸夾角$\theta\;=\;\cos\,^{-1}\,\frac{v\,_{bw}}{v\,_{wg}}$(2)不能抵達正對岸B點，偏向下游的距離$x\;=\;d\,\tan\,\theta\;=\;\frac{d\,v\,_{bg}}{v\,_{bw}}\;=\;\frac{d\,\sqrt{v\,^2_{wg}\;-\;v\,^2_{bw}}}{v\,_{bw}}$(3)渡河時間較長：$t\;=\;\frac{s}{v\,_{bg}}\;=\;\frac{d\,\sec\,\theta}{v\,_{wg}\,\sin\,\theta}\;=\;\frac{d}{v\,_{wg}\,\sin\,\theta\,\cos\,\theta}\;=\;\frac{2\,d}{v\,_{wg}\,\sin\,2\theta}$ 5.飛機的速度： (1)風速：即空氣(air)對地(ground)的相對速度$\vec{v\,}_{ag}$或$\vec{v\,}$空地(2)航速=無風時的飛機速度：即飛機(airplane)對空氣的相對速度$\vec{v\,}_{pa}$或$\vec{v\,}$機空(3)飛機對地的速度：$\vec{v\,}_{pa}\;+\;\vec{v\,}_{ag}\;=\;\vec{v\,}_{pg}$或$\vec{v\,}$機空$+\;\vec{v\,}$空地$=\;\vec{v\,}$機地(4)運動性質與船的導航相同。

三、觀察到一維的相對運動方向 1.相對距離： 【例題】熱氣球以$v\,_0$等速上升時，從熱氣球底部掉落一包裹。

若經過t秒後包裹落地，則此時熱氣球的高度為＿＿＿＿＿。

【分析】1.自地面靜止坐標觀察：包裹自熱氣球掉落時，因慣性而有向上的初速度，故為鉛直上拋運動；熱氣球為向上等速運動。

　　　　2.自氣球向上等速運動坐標觀察：包裹為自由落下。

【詳解】包裹對熱氣球的相對初速度為0，相對加速度為g，則自氣球向上等速運動的坐標觀察：包裹為自由落體，故後來熱氣球的高度即包裹自由落下的位移，即　　　　$H\;=\;\frac{1}{2}\,g\,t\,^2$ 【另解】由地面靜止坐標觀察：熱氣球高度=熱氣球上升位移+｜包裹鉛直上拋後的位移｜　　　　$H\;=\;d\,_1\;+\;|\,d\,_2\,|\;=\;v\,_0\,t\;+\;|\,v\,_0\,t\;-\;\frac{1}{2}\,g\,t\,^2\,|\;=\;v\,_0\,t\;+\;\frac{1}{2}\,g\,t\,^2\;-\;v\,_0\,t\;=\;\frac{1}{2}\,g\,t\,^2$        2.防撞問題： 【例題】在直線鐵路上，A、B二車以等速$v\,_1$、$v\,_2$運動，$v\,_1\;>\;v\,_2$。

當A車發現B車在前方距離d處時，立即煞車作等減速度行駛，若可使A車不致撞及B車，則此負加速度a的大小至少應為若干？ 【分析】A車為減速行駛，若二車速度相等時還沒有撞到，以後就不可能撞到。

【詳解】二車的相對初速度為$v\,_1\;-\;v\,_2$，若相對末速度為0時的相對位移$\Delta\,x$小於d，則不會相撞，即　　　　$0\,^2\;=\;(v\,_1\;-\;v\,_2)\,^2\;-\;2\,a\,\Delta\,x$　　　　將$\Delta\,x\;\;\frac{(v\,_1\;-\;v\,_2)\,^2}{2\,d}$　　　　∴$a\,_{min}\;=\;\frac{(v\,_1\;-\;v\,_2)\,^2}{2\,d}$ 【另解】二車最接近時速度相等：$v\,_1'\;=\;v\,_1\;-\;a\,t\;=\;v\,_2\quad\Rightarrow\quadt\;=\;\frac{v\,_1\;-\;v\,_2}{a}$　　　　相對位移$\Delta\,x$為二車位移的差，則二車不致相撞可以列式為$\Delta\,x\;\;\frac{(v\,_1\;-\;v\,_2)\,^2}{2\,d}$        四、觀察到二維的相對運動方向 1.風吹、煙飄：(1)風(wind)速：空氣(air)對地(ground)的速度$\vec{v\,}_{w}\;=\;\vec{v\,}_{ag}$或$\vec{v\,}$風=$\vec{v\,}$空地(2)人覺得風的方向是風(wind)對人(man)的相對速度方向：$\vec{v\,}_{wm}\;=\;\vec{v\,}_{w}\;-\;\vec{v\,}_{m}$或$\vec{v\,}$風人$=\;\vec{v\,}$風$-\;\vec{v\,}$人(3)煙隨風飄，故人看到煙飄的方向是風(wind)對人(man)的相對速度方向：$\vec{v\,}_{wm}\;=\;\vec{v\,}_{w}\;-\;\vec{v\,}_{m}$或$\vec{v\,}$風人$=\;\vec{v\,}$風$-\;\vec{v\,}$人 【例題】某人向北方以速度$v$前進，覺得風自東方以速度$v$吹來，則對靜止的人而言，風的方向是(A)向東　(B)向東北　(C)向東南　(D)向西南　(E)向西北　　　【68年聯考】 【詳解】$\vec{v\,}$風地$=\;\vec{v\,}$風人$+\;\vec{v\,}$人地$=\;(v\;,\;W)\;+\;(v\;,\;N)\;=\;\sqrt{2}\,v\;,\;NW$　　　　故答案選(E) 2.相對距離：(1)以靜止坐標觀察，由配方法或微分法找出二物體距離的極小值。

【例題】甲車自原點O向北，乙車自原點西方距離為$d$處向東，二車同時以速度$v$開始運動，則二車的最接近距離為(A)$d$　(B)$\frac{d}{\,2\,}$　(C)$\frac{d}{\sqrt{2}}$　(D)$\frac{d}{\sqrt{3}}$　(E)$\frac{d}{\,4\,}$　　　【68年聯考】 【分析】利用畢氏定理甲乙二車之間的距離，再用配方法求極小值。

【詳解】設t時刻，二車相距最近，則位移：$d\,_1\;=\;v\,t$；$d\,_2\;=\;v\,t$　　　　∴$x\;=\;d\;-\;d\,_2\;=\;d\;-\;v\,t$；$y\;=\;d\,_1\;=\;v\,t$　　　　則$s\;=\;\sqrt{x\,^2\;+\;y\,^2}\;=\;\sqrt{(d\;-\;v\,t)\,^2\;+\;(v\,t)\,^2}\;=\;\sqrt{d\,^2\;-\;2\,d\,v\,t\;+\;2\,v\,^2\,t\,^2}\;=\;\sqrt{2\,(v\,t\;-\;\frac{d}{\,2\,}\,^2\;+\;\frac{d\,^2}{2}}$　　　　$\Rightarrow\quads\,_{min}\;=\;\sqrt{\frac{d\,^2}{2}}\;=\;\frac{d}{\sqrt{2}}$　　　　故答案選(C)        (2)以某運動坐標觀察，對相對速度方向作垂線即為最接近距離。

【例題】甲車自原點O向北，乙車自原點西方距離為$d$處向東，二車同時以速度$v$開始運動，則二車的最接近距離為(A)$d$　(B)$\frac{d}{\,2\,}$　(C)$\frac{d}{\sqrt{2}}$　(D)$\frac{d}{\sqrt{3}}$　(E)$\frac{d}{\,4\,}$　　　【68年聯考】 【分析】1.以相對速度的觀念求相對最近距離。

　　　　2.點與直線間的最短距離為點到線的垂線長。

【詳解】左圖表示絕對速度；右圖表示以甲為參考原點的相對速度： 　　　　 　　　　$\vec{v\,}$乙甲$=\;\vec{v\,}$乙$-\;\vec{v\,}$甲$=\;(v\;,\;E)\;-\;(v\;,\;N)\;=\;\sqrt{2}\,v\;,\;SE$　　　　∴$\theta\;=\;45^{\circ}\quad\Rightarrow\quads\,_{min}\;=\;d\,\sin\,45^{\circ}\;=\;\frac{d}{\sqrt{2}}$　　　　故答案選(C)0最後修改紀錄:2009/10/09(Fri)11:56:25 尚未登入.(登入) since2011/06/2018:23