因式分解二次式 - 数学乐

因式分解二次式. 二次方程 标准型的二次方程 (a、b 和c可以是任何值，但a 不能是零。

） "因式分解" （也叫作"分解因式"）一个二次式是去：. 找什么式的积等于一个已知 ... 因式分解二次式 标准型的二次方程 (a、b和c可以是任何值，但a不能是零。

）   "因式分解"（也叫作"分解因式"）一个二次式是去： 找什么式的积等于一个已知的二次式。

叫"因式分解"是因为我们去找因式（因式是用来相乘的） 例子 x2+3x−4的因式是： (x+4)和(x−1) 为什么？我们把它们相乘来看看： (x+4)(x−1)  =x(x−1)+4(x−1)   =x2−x+4x−4   =x2+3x−4 把(x+4)(x−1)相乘是叫展开。

实际上，展开和分解是彼此相反的： 展开很容易，但分解有时不简单 这有点像找出什么材料使一个蛋糕好吃。

有时这绝对不明显！ 我们来试试一个我们还不知道因式的例子： 公因式 先看看有没有公因式。

例子：6x2−2x=0的因式是什么？ 2是6和2的公因式： 2(3x2−x)=0 x是x2和x的公因式： 2x(3x−1)=0 做好了！因式是2x和3x−1，   现在我们也可以找二次式等于零的根： 当x=0时，2x=0 当x=1/3时，3x−1=0 图如下（留当x=0和x=1/3时，因式的值是零）： 但不是经常都这么容易。

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猜。

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测 也许我们可以猜一个答案？ 例子：2x2+7x+3的因式是什么？ 没有公因式。

我们来猜一个答案，然后测试答案对不对。

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可能我们运气好！   试试(2x+3)(x+1)： (2x+3)(x+1)=2x2+2x+3x+3 =2x2+5x+3（错） 再试这个(2x+7)(x−1)： (2x+7)(x−1)=2x2−2x+7x−7 =2x2+5x−7（还是不行） 这个呢？(2x+9)(x−1)： (2x+9)(x−1)=2x2−2x+9x−9 =2x2+7x−9（拿石头砸自己的脚） 糟了！这样要搞多久才能行？ 乱打乱撞不是好办法。

试试其他的。

简单情况下可用的方法 幸好在简单情况下有一个可用的方法。

当二次方程是这个格式时： 一、找两个积是等于giveac的数（积是a乘c），同时这两个数的和是b。

例子：2x2+7x+3 ac是2×3=6，b是7 所以我们要找两个数，它们的积是6，而它们的和是7 容易！6和1能行（6×1=6，6+1=7） 可是。

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我们怎样找6和1出来？ 我们可以列出ac=6的因数，然后选几对因数加起来试试可不可以得到b=7. 6的因数有1、2、3和6。

哈！1和6的和是7，并且6×1=6。

二、以这对因数重写二次式的中间部分： 把7x重写为6x和1x： 2x2+6x+x+3 三、把前两项与后两项分开来分解： 前两项2x2+6x分解为2x(x+3) 在这例子，后两项x+3不能分解 所以： 2x(x+3)+(x+3) 四、若我们没做错，应该有一个很明显的公因式。

在这例子，显而易见，两项都有(x+3)，所以我们可以这样做： 开始   2x(x+3)+(x+3) 等于：   2x(x+3)+1(x+3) 故此：   (2x+1)(x+3)   检测：(2x+1)(x+3)=2x2+6x+x+3=2x2+7x+3（对了！） 让我们再来很快做第一到第四步，从头到尾，逐步看二次式的变化： 2x2+7x+3 2x2+6x+x+3 2x(x+3)+(x+3) 2x(x+3)+1(x+3) (2x+1)(x+3) 比瞎猜好多了！   再来一个例子： 例子：6x2+5x−6 一、ac是6×(−6)=−36，b是5 列出ac（=36）的正因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 找两个因数，其中一个要是负数，从而把积成为−36。

试了几个后，我找到−4和9： −4×9=−36和−4+9=5   二、重写5x，用−4x和9x： 6x2−4x+9x−6 三、分解头两项和后两项： 2x(3x−2)+3(3x−2) 四、公因式是(3x−2)：: (2x+3)(3x−2)   检测：(2x+3)(3x−2)=6x2−4x+9x−6=6x2+5x−6（对）   找正确的数 最难的一步是找两个因数，要它们的积是ac，同时它们的和是b。

这真的是猜测，所以把所有的因数列出来是很重要的。

又一个例子： 例子：ac=−120和b=7 哪两个数的积是−120，而和是7？ 120的因数是（正与负）： 1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60和120 找几对因数试试（从中间开始！），看看和是不是7: −10x12=−120，但是−10+12=2 （错） −8x15=−120，并且−8+15=7（行了！） 为什么要分解因式？ 因式分解的一个重要用途是用来解二次方程的根（二次式等于零）. 分解因式后，我们只需要看两个因式什么时候等于零 例子：6x2+5x−6的根（零）是什么？ 上面我们已经找到這些因式: (2x+3)(3x−2) 我们可以计算出来, 当x=−3/2时，(2x+3)亦等于零， 并且 当x=2/3时，(3x−2)亦等于零   故此，6x2+5x−6的根是： −3/2和2/3 这是6x2+5x−6的图，看到它在什么地方等于零吗？ 我们可以用算术来检测答案： 当x=-3/2：6(-3/2)2+5(-3/2)-6=6×(9/4)-15/2-6=54/4-15/2-6=6-6=0 当x=2/3：6(2/3)2+5(2/3)-6=6×(4/9)+10/3-6=24/9+10/3-6=6-6=0 画图 我们也可以为二次方程画个图，看看方程在什么地方等于零可以提供一些线索。

例子：（续） 开始：只用6x2+5x−6和这图： 根是大约x=−1.5和x=+0.67，所以我们所以猜方程的根为： −3/2和2/3 由此，我们可以算出因式为2x+3和3x−2 不过，一定要检测！0.67可能不是2/3！ 通用解法 若上面的方法行不通，还有一个通用解法。

这解法用二次公式： 用二次公式来找两个答案x+或x−（一个是"±"里的"+"号的答案，另一个是"−"号的答案），然后把二次式分解为： a(x−x+)(x−x−) 现在我们用上面的例子来试试： 例子：6x2+5x−6的根是什么？ 把a=6,b=5和c=−6代入公式里： x=(−b±√[b2−4ac])/2a x=(−5±√[52−4×6×(−6)])/2×6 =(−5±√[25+144])/12 =(−5±√169)/12 =(−5±13)/12 所以两个根是： x+=(-5+13)/12=8/12=2/3, x−=(-5−13)/12=−18/12=−3/2 （和我们上面得到的答案是相同的）   把这些值代入a(x−x+)(x−x−)： 6(x−2/3)(x+3/2) 重排来简化： 3(x−2/3)×2(x+3/2)=(3x−2)(2x+3) 和上面找到的因式一模一样！     （谢谢"mathsyperson"提供部分内容） 因式分解入门 二次方程式 二次方程式画图 二次方程式画图 二次方程式实例 推导二次方程 二次方程式解算器 代数索引 版权所有©2017MathsIsFun.com