替代公理- 維基百科，自由的百科全書

替代公理聲稱，給定一個集合A，我們可以找到一個集合B，它的成員完全是F 在A 的成員上的值。

注意對於每個這樣的謂詞P 都有一個相對應的公理；所以，這是一個公理模式。

在 ... 替代公理 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 在公理化集合論和使用它的邏輯、數學和計算機科學分支中，替代公理模式是Zermelo-Fraenkel集合論的一個公理模式，它本質上斷言一個集合在一個映射（泛函謂詞）下的像也是一個集合。

它對於構造特定的大集合是必需的。

目次 1陳述 2應用例子 3歷史和哲學 4引用 陳述[編輯] 假定P是一個雙變量謂詞，對於任何集合x有一個唯一的集合y使P(x,y)成立。

接著我們可以形成一個單變量的泛函謂詞F，使得F(x)=y若且唯若P(x,y)。

替代公理聲稱，給定一個集合A，我們可以找到一個集合B，它的成員完全是F在A的成員上的值。

注意對於每個這樣的謂詞P都有一個相對應的公理；所以，這是一個公理模式。

在Zermelo-Fraenkel公理的形式語言中，這個公理模式讀做： ( ∀ x , ∃ ! y : P ( x , y ) ) → ∀ A , ∃ B , ∀ y : y ∈ B ⟺ ∃ x ∈ A : P ( x , y ) {\displaystyle(\forallx,\exists!\,y:P(x,y))\rightarrow\forallA,\existsB,\forally:y\inB\iff\existsx\inA:P(x,y)} 換句話說， 如果給定任何集合x，有一個唯一的集合y使得P對x和y成立，那麼給定任何集合A，有著一個集合B使得，給定任何集合y，y是B的一個成員，若且唯若有是A的成員的一個集合x使得P對於x和y成立。

如果允許在公理模式中使用導出的泛函謂詞，則這個公理模式可以寫為： ∀ A , ∃ B , ∀ y : y ∈ B ⟺ ∃ x ∈ A : y = F ( x ) {\displaystyle\forallA,\existsB,\forally:y\inB\iff\existsx\inA:y=F(x)} 對於每個導出的單變量的泛函謂詞F； 換句話說： 給定任何集合A，有一個集合B使得，給定任何集合y，y是B的成員，若且唯若有是A的成員的一個集合x使得y等於F在x上的值。

通過外延公理可知這個集合B是唯一的。

我們稱這個集合B為A在F下的像，並指示它為F(A)或（使用集合建構式符號形式）{F(x):x∈A}。

有時引用這個公理不帶唯一性要求： ∀ A ( ∀ x ∈ A , ∃ y : P ( x , y ) ) → ∃ B , ∀ x ∈ A , ∃ y ∈ B : P ( x , y ) {\displaystyle\forallA(\forallx\inA,\existsy:P(x,y))\rightarrow\existsB,\forallx\inA,\existsy\inB:P(x,y)} 就是說，謂詞P不被限制為泛函的：要應用它於一個集合A，只需存在至少一個元素y對應於A的每個元素x就可以了；y對每個x是唯一的不是必需的。

在這種情況下，被斷言存在的像集合B將為A的每個x包含至少一個這樣的y，不保證只包含唯一的一個。

有時陳述這個公理不對謂詞加任何限制： ∀ A , ∃ B , ∀ x ∈ A : ( ( ∃ y : P ( x , y ) ) → ∃ y ∈ B : P ( x , y ) ) {\displaystyle\forallA,\existsB,\forallx\inA:((\existsy:P(x,y))\rightarrow\existsy\inB:P(x,y))} 就是說，根本不要求P把集合A的一個元素映射到任何對象。

但是如果對於A的一個元素x有至少一個y對應於它，則像集合B將包含至少一個這樣的y。

這個不對謂詞作限制的公理，也叫做有界公理或搜集公理，看似比原先的替代公理更強，但是這兩個版本都可以從替代公理推導出來。

另一方面，任何泛函謂詞都是謂詞，所以有界公理也蘊涵替代公理，因此兩個公理是等價的（在給定了其他Zermelo-Fraenkel公理的情況下）。

應用例子[編輯] 序數ω·2=ω+ω（使用馮·諾伊曼的現代定義）是第一個不使用替代公理就不能構造的序數。

無窮公理斷言無限序列ω={0,1,2,...}的存在，也只斷言了這個序列。

我們希望定義ω·2為序列{ω,ω+1,ω+2,...}，但是一般的序數的類不一定是集合（例如，所有序數的類不是集合）。

替代公理允許你把在ω中每個有限數n替代為對應的ω+n，並保證替代所得的類是集合。

注意你可以輕易地構造序同構於ω·2的良序集合而不需用到替代公理：取ω的兩個復件的不交並，然後設第二個復件大於第一個便可。

但這樣所得的集合並不是一個序數，因為它在屬於關係下不是一個全序。

顯然，若要確保可以指派一個序數給任意的良序集合，也要用到替代公理。

類似地，若要確保可以指派一個基數給任意集合（馮·諾伊曼基數指派），我們也需要替代公理，以及選擇公理。

所有的可數的極限序數的構造也要求替代公理，就像ω·2的構造那樣。

較大的序數則不那麼直接地依賴於替代公理。

例如ω1是第一個不可數序數，可以構造如下：由全體可數良序組成的集合，會是℘(N×N)的一個子集，這點通過分離公理和冪集公理可知（在A上的關係是A×A的一個子集，因此是冪集℘(A×A)的一個元素。

關係的集合因此是℘(A×A)的子集）。

把每個良序集合替代為它的序數。

這是可數序數ω1的集合，它自身可以被證明是不可數的。

這個構造使用了替代公理兩次；第一次確保對每個良序集合的一個序數指派，第二次把良序集合替代為其對應的序數。

這是哈特格斯引理的特殊情況，而一般情況可以類似證明。

不帶替代公理但帶選擇公理的ZC集合論不足以證明博雷爾集是確定的；為此你需要替代公理。

歷史和哲學[編輯] 多數可以應用替代公理的應用實際上不需要它。

例如，假設f是從集合S到集合T的函數。

接著我們可以構造一個泛函謂詞F使得在x是S的成員的時候有F(x)=f(x)，在其他時候隨意設F(x)為某個對象（這裡的指派方式不要緊）。

然後，給定S的一個子集A，應用替代公理模式於F，構造子集A在函數f下的像f(A)為 { F ( x ) : x ∈ A } {\displaystyle\{F(x):x\inA\}} （或表示為F(A)）。

但是這裡實際上不需要替代公理，因為f(A)是T的子集，所以我們可以使用分類公理模式來構造這個像為集合 { y ∈ T : ∃ x ∈ A , y = f ( x ) } {\displaystyle\{y\inT:\existsx\inA,y=f(x)\}} 。

一般的說，當F在A的成員上的值都屬於某個預先構造的集合T時，使用分類公理就足夠了；只在不能獲得這樣的T的時候，才需要替代公理，比如定義在真類的子集上的運算。

按某些哲學家的說法，在上述例子中最好應用分類公理於集合T，因為分類公理在邏輯上弱於替代公理。

實際上，在普通數學中不需要替代公理，只是需要它作為特定公理化集合論的特徵。

例如，你需要替代公理來從ω·2向上構造馮·諾伊曼序數，而馮·諾伊曼序數對特定集合論的結果是必需的。

在良序集合的理論就足夠應用的情況下，你不需要用替代公理構造這些序數。

對於某些鑽研數學基礎的數學家，特別是那些專注於類型論而非集合論的人，他們或認為這個公理在各種意義上都是不需要的，因此在其工作中不包括這個公理（以及其相對應的類型論版本）。

通常在基於拓撲斯理論建造的基礎理論上，都難以表達出替代公理，所以一般不包括它。

然而，替代公理的爭論不在於有人認為它的推論必然是假的（如選擇公理的爭論）；只是有部分人認為它是沒有必要的。

替代公理模式不是恩斯特·策梅洛在1908年所公理化的集合論（Z）的一部分；它由亞伯拉罕·弗蘭克爾（英語：AbrahamFraenkel）在1922年引入，從而得到了現代的Zermelo-Fraenkel集合論(ZF)。

陶拉爾夫·斯科倫（英語：ThoralfSkolem）在同一年晚些時候獨立的發現了這個公理，實際上我們今天使用的公理列表是Skolem的最終版本--通常不提及他的貢獻是因為每個單獨的公理都是Zermelo或Fraenkel早先發現的。

從證明論的觀點看，增加替代公理形成了很大的差異；把這個公理模式加進Zermelo公理使系統在邏輯上更強，允許你證明更多的陳述。

特別是，在ZF中你可以通過構造馮·諾伊曼全集Vω2為模型，證明Z的相容性。

（當然，哥德爾第二不完備定理表明這兩個理論都不能證明自身的相容性，如果它自身是相容的。

） 引用[編輯] PaulHalmos,Naivesettheory.Princeton,NJ:D.VanNostrandCompany,1960.ReprintedbySpringer-Verlag,NewYork,1974.ISBN0-387-90092-6(Springer-Verlagedition). Jech,Thomas,2003.SetTheory:TheThirdMillenniumEdition,RevisedandExpanded.Springer.ISBN3-540-44085-2. Kunen,Kenneth,1980.SetTheory:AnIntroductiontoIndependenceProofs.Elsevier.ISBN0-444-86839-9. 閱論編集合論公理 選擇 可數 依賴 外延 無窮 配對 冪集 正則性 併集 馬丁公理（英語：Martin'saxiom） 公理模式 替代 分類 運算 笛卡兒積 德摩根定律 交集 冪集 補集 對稱差 併集 概念方法 勢 基數（大基數） 類 可構造全集（英語：Constructibleuniverse） 連續統假設 對角論證法 元素 有序對 多元組 集合族 力迫 一一對應 序數 超限歸納法 文氏圖 集合類型 可數集 空集 有限集合（繼承有限集合） 模糊集 無限集合 遞歸集合 子集 傳遞集合 不可數集 泛集（英語：Universalset） 理論 可替代的集合論 集合論 樸素集合論 康托爾定理 策梅洛 廣義（英語：Generalsettheory） 《數學原理》 新基礎 策梅洛-弗蘭克 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾 Morse–Kelley（英語：Morse–Kelleysettheory） 克里普克–普拉特克（英語：Kripke–Plateksettheory） 塔斯基–格羅滕迪克（英語：Tarski–Grothendiecksettheory） 悖論（英語：Paradoxesofsettheory）問題 羅素悖論 蘇斯林問題 ZFC系統無法確定的命題列表 集合論者 亞伯拉罕·弗蘭克爾 伯特蘭·羅素 恩斯特·策梅洛 格奧爾格·康托爾 約翰·馮·諾伊曼 庫爾特·哥德爾 盧菲特·澤德 保爾·貝爾奈斯（英語：PaulBernays） 保羅·寇恩 理察·戴德金 托馬斯·耶赫（英語：ThomasJech） 威拉德·蒯因 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=替代公理&oldid=72912246」 分類：​集合論公理隱藏分類：​使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 ČeštinaDeutschEnglishEspañolفارسیFrançaisעבריתItaliano日本語PolskiPortuguêsРусскийSvenskaУкраїнська 編輯連結