如何读懂费曼图？ - 知乎

具体计算的时候，把每一个完整费曼图的所有部分所代表的式子乘起来，在有spinor的理论里，propagator是个矩阵（里面有各种\not{p} )，这个时候要逆着用来标记particle ... 物理学量子场论费曼图如何读懂费曼图？关注者254被浏览113,032关注问题​写回答​邀请回答​好问题9​添加评论​分享​9个回答默认排序激动的鳄鱼​​牛津大学数学物理与理论物理硕士​关注160人赞同了该回答费曼图是个工具，对应着拉格朗日量里面的项，把要求的interaction翻译成图，再读图写出所求amplitude的表达式。

读图这一步确实有些微妙的地方，课本不屑于专门说，大佬们估计也觉得太简单不至于专门去提，我最开始学的时候稍微总结了一些小技巧，在这随便写写，只谈机械化的操作，不谈背后的理论。

Propagator的推导教科书上一般都会详细写，具体使用的时候背下来就可以了，这里主要介绍怎么写vertex，像scalarfield就很简单，比如-\lambda\frac{\phi^{3}}{3!}这项，对应的图是那么用以下步骤写这个vertex1）把field扔掉，留下其他系数2）把identicalfields做permutation3）乘上i第一步得到-\frac{\lambda}{6},第二步得到-\lambda,第三步也就是最后得到-i\lambda。

同样的步骤运用在Yang-MillsTheory里面就需要多写几步：比如这个三个gluon的interactionvertex：这个图是从拉格朗日量里的-gf^{abc}(\partial_{\mu}A^{a}_{\nu})A^{b,\mu}A^{c,\nu}这一项画出来的，这里面罗马字母表示gluonindices，希腊字母表示Lorentzindices，f^{abc}是这个理论对应李群的structureconstant。

要执行第一步，所谓的把field扔掉留下系数，首先要把所有的Lorentzcontraction给explicitly的写开。

因为根据图示我们的fields其实是A^{a}_{\mu},A^{b}_{\nu}和A^{c}_{\rho},原来的式子看不到这三个的分别存在。

我们写成-gf^{abc}(\partial_{\mu}A^{a}_{\nu})A^{b,\mu}A^{c,\nu}=-gf^{abc}g^{\kappa\nu}g^{\mu\rho}(\partial_{\kappa}A^{a}_{\mu})A^{b}_{\nu}A^{c}_{\rho}扔掉fields之前还要对偏微分进行处理，规则是如果把动量指向vertex定义为正，那么在momentumspaceFeynmanRule里可以把偏微分变成动量，再乘上-i。

也就是说这里的\partial_{\kappa}应该变成-ik_{\kappa},之所以是k这个动量，是因为k是和\mu,a相关的动量，而偏微分正好作用在A^{a}_{\mu}上因此我们可以扔掉fields，也就是把所有的A扔掉，留下剩下的系数，再直接在这一步把第三步的乘以i做了，就可以把vertex写成-igf^{abc}g^{\kappa\nu}g^{\mu\rho}(-ik_{\kappa})=-gf^{abc}g^{\mu\rho}k^{\nu}这就得到了上述正确答案的第六项。

那还有五项呢？这就需要第二步，因为三个都是gluonfields，需要做permutation。

但与scalar的\phi^{3}不同，因为存在indices的原因，不能直接简单的乘以6就完事了，需要把indices不同的另外5项加起来。

用f^{abc}indices之间的antisymmetry，箭头表示扔掉fields，上面这个拉格郎日量的项可以写成\begin{align}\begin{split}-gf^{abc}(\partial_{\mu}A^{a}_{\nu})A^{b,\mu}A^{c,\nu}&=-gf^{abc}(\partial_{\mu}A^{a}_{\nu})A^{c,\nu}A^{b,\mu}\\&=-gf^{acb}(\partial_{\mu}A^{a}_{\nu})A^{b,\nu}A^{c,\mu}\\&=gf^{abc}g^{\kappa\rho}g^{\mu\nu}(\partial_{\kappa}A^{a}_{\mu})A^{b}_{\nu}A^{c}_{\rho}\\&\longrightarrowigf^{abc}g^{\mu\nu}(-i)k^{\rho}\\&=gf^{abc}g^{\mu\nu}k^{\rho}\end{split}\end{align}这是答案里的第一项。

\begin{align}\begin{split}-gf^{abc}(\partial_{\mu}A^{a}_{\nu})A^{b,\mu}A^{c,\nu}&=-gf^{bac}(\partial_{\mu}A^{b}_{\nu})A^{a,\mu}A^{c,\nu}\\&=gf^{abc}g^{\kappa\mu}g^{\nu\rho}(\partial_{\kappa}A^{b}_{\nu})A^{a}_{\mu}A^{c}_{\rho}\\&\longrightarrowgf^{abc}g^{\nu\rho}p^{\mu}\end{split}\end{align}动量是p因为偏微分作用在b,\nu上，这是答案里的第三项。

\begin{align}\begin{split}-gf^{abc}(\partial_{\mu}A^{a}_{\nu})A^{b,\mu}A^{c,\nu}&=-gf^{bac}(\partial_{\mu}A^{b}_{\nu})A^{a,\mu}A^{c,\nu}\\&=-gf^{bca}(\partial_{\mu}A^{b}_{\nu})A^{c,\mu}A^{a,\nu}\\&=-gf^{abc}g^{\kappa\rho}g^{\mu\nu}g(\partial_{\kappa}A^{b}_{\nu})A^{c}_{\rho}A^{a}_{\mu}\\&\longrightarrow-gf^{abc}g^{\mu\nu}p^{\rho}\end{split}\end{align}这是答案里的第二项。

\begin{align}\begin{split}-gf^{abc}(\partial_{\mu}A^{a}_{\nu})A^{b,\mu}A^{c,\nu}&=-gf^{cba}(\partial_{\mu}A^{c}_{\nu})A^{b,\mu}A^{a,\nu}\\&=gf^{abc}g^{\kappa\nu}g^{\mu\rho}(\partial_{\kappa}A^{c}_{\rho})A^{b}_{\nu}A^{a}_{\mu}\\&\longrightarrowgf^{abc}g^{\mu\rho}q^{\nu}\end{split}\end{align}这是答案里的第五项。

\begin{align}\begin{split}-gf^{abc}(\partial_{\mu}A^{a}_{\nu})A^{b,\mu}A^{c,\nu}&=-gf^{cba}(\partial_{\mu}A^{c}_{\nu})A^{b,\mu}A^{a,\nu}\\&=-gf^{cab}(\partial_{\mu}A^{c}_{\nu})A^{a,\mu}A^{b,\nu}\\&=-gf^{abc}g^{\kappa\mu}g^{\nu\rho}(\partial_{\kappa}A^{c}_{\rho})A^{a}_{\mu}A^{b}_{\nu}\\&\longrightarrow-gf^{abc}g^{\nu\rho}q^{\mu}\end{split}\end{align}这是正确答案里的第四项。

以上就把3!=6个可能情况permute完毕了，把它们加起来就可以得到这个vertex的最终表达式。

gf^{abc}[g^{\mu\nu}(k-p)^{\rho}+g^{\nu\rho}(p-q)^{\mu}+g^{\rho\mu}(q-k)^{\nu}]用同样的办法可以算出QCD里的4-gluonvertex以及Electro-weaktheory里的许多vertex，长得都是类似上面的形式。

具体计算的时候，把每一个完整费曼图的所有部分所代表的式子乘起来，在有spinor的理论里，propagator是个矩阵（里面有各种\not{p})，这个时候要逆着用来标记particle和antiparticle的箭头来写所有的term，才能保证矩阵乘法符合规则。

编辑于2020-03-0515:24​赞同160​​2条评论​分享​收藏​喜欢收起​球裤使者​普渡大学物理学博士在读​关注115人赞同了该回答量子场论中，费曼图可以从路径积分定义，也可以从微扰展开定义，本质一样。

下面我以最简单的\phi^4理论作为例子来详细讲解微扰展开的方式是如何定义Feymann图的。

先写出其拉格朗日量密度，\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4.其中，前两项为自由场的部分，最后一项为相互作用部分。

没有最后一项的时候，我们很容易根据欧拉-拉格朗日公式推导出其运动方程为Klein-Gordon方程。

然后将体系量子化成一堆谐振子，也可以得到<0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0>，也就是Feynman传播子，具体表达式如下\Delta_F(x-y)\equiv<0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0>=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{i}{k^2-m^2+i\epsilon}e^{-ik(x-y)}\equiv\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\Delta_F(k)e^{-ik(x-y)}.其中\Delta_{F}(k)=i/(k^2-m^2+i\epsilon)为动量空间的费曼传播子，\epsilon是将原来的三维的动量空间的积分写成一个四维的动量空间的积分时候用留数定理的时候需要增加的条件，其中\epsilon\to0^{+}。

围绕的做法是将上述对应的哈密顿量写成H=H_0+V，其中H_0为自由场哈密顿量，而V为微扰哈密顿量，在这里V=\frac{\lambda}{4!}\intd^3z\\phi^4(z)我们一般使用相互作用表象的微扰哈密顿量，也就是\begin{align}&V_I=e^{iH_0t}Ve^{-iH_0t}\\=&\frac{\lambda}{4!}\intd^3z\e^{iH_0t}\phi(z)e^{-iH_0t}e^{iH_0t}\phi(z)e^{-iH_0t}e^{iH_0t}\phi(z)e^{-iH_0t}e^{iH_0t}\phi(z)e^{-iH_0t}e^{iH_0t}\phi(z)e^{-iH_0t}\\=&\frac{\lambda}{4!}\intd^3z\\phi_{I}^4(z).\end{align}其中\phi_{I}(z)=e^{iH_0t}\phi(z)e^{-iH_0t}，为相互作用表象下的场算符。

如果我们要计算相互作用的多点函数，可以通过在自由场上的微扰来计算，也就是[1]=\frac{<0|T\{\phi_I(x_1)\cdots\phi_I(x_n)\exp[-i\int_{-\infty}^{\infty}V_I(t')dt']\}|0>}{<0|T\{\exp[-i\int_{-\infty}^{\infty}V_I(t')dt']\}|0>}这里的|\Omega>是整个体系的基态，而|0>是自由场的基态。

我们以传播子（两点函数）为例子，先计算上述表达式的分子\lambda的一阶项，-i\frac{\lambda}{4!}\intd^4z<0|T\{\phi(x)\phi(y)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\phi(z)]\}|0>根据Wick定理，我们可以将上述多点函数分解成多个两点函数之积，然后把所有可能的情况加起来，也就是<0|T\{\phi(x)\phi(y)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\}|0>\\=3<0|T\{\phi(x)\phi(y)|0><0|T\{\phi(z)\phi(z)\}|0><0|T\{\phi(z)\phi(z)\}|0>\\+12<0|T\{\phi(x)\phi(z)|0><0|T\{\phi(y)\phi(z)\}|0><0|T\{\phi(z)\phi(z)\}|0>\\=3\Delta_F(x-y)\Delta^2_F(0)+12\Delta_F(x-z)\Delta_F(y-z)\Delta_F(0).其中上面传播子前面的系数为组合数，比如第二项的组合数就是x和z在一起，y和z在一起，z和z在一起的所有可能情况的数目。

我先给x找一个z，有4种，再给y找一个z，有三种（剩下三个里面找），然后剩下的两个z只能在一起了。

所以一共是4x3=12种可能，这便是我们前面的系数。

第二项的实空间费曼图为，这里的图的意义就是将上面的\intd^4z\\Delta_F(x-z)\Delta_F(y-z)\Delta_F(0)表示出来，两点相连代表一个传播子。

第一项也可以画出对应的图，可以参考Peskinp92，但是这种图叫做disconnected图，peskin书上p97写到，这些图会被提出来当做前面的系数和分母的系数消掉。

所以我们只考虑分子展开的connected图，也就比如上面这个图。

好奇的话也可以计算下分母，可以参考下面我们来看看\intd^4z\\Delta_F(x-z)\Delta_F(y-z)\Delta_F(0)这一项是分子的\lambda的一阶展开式用wick定理写出来的第二种缩并方式。

根据前面的对实空间Feynman传播子的定义，将积分写到动量空间去\begin{align}&\intd^4z\Delta_F(0)\int\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}\frac{i}{p_1^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip_1(x-z)}\int\frac{d^4p_2}{(2\pi)^4}\frac{i}{p_2^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip_2(y-z)}\\=&\Delta_F(0)\int\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}\frac{i}{p_1^2-m^2+i\epsilon}\int\frac{d^4p_2}{(2\pi)^4}\frac{i}{p_2^2-m^2+i\epsilon}\intd^4z\e^{i(p_1+p_2)z}e^{-ip_1x-ip_2y}\\=&\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\Delta_F(0)\Delta^2_F(p)e^{-ip(x-y)}.\end{align}为了方便表示积分，我们可以将这个积分用图的形式表示出来，也就定义了动量空间的费曼图也就是\Delta(p)对应标有动量p的线，对应动量空间传播子。

而x，y是其左右两边的点，不是中间兼并的点。

分别对应e^{-ipx}和e^{ipy}（不同的书可能x，y前面的符号不一样，但是从一个点出去的动量和从一个点进去的动量肯定相差一个负号）。

\Delta_F(0)就是圈图的部分了。

上图的k叫做未确定的动量，所以需要积分，这个积分暗含在\Delta_F(0)，\Delta_F(0)=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{i}{k^2-m^2+i\epsilon}在圈图计算的时候，一般我们只考虑\Delta_F(0)，因为这里的\Sigma对应的就是\Delta_F(0)，而上述Fyenman图中的\Delta(p)^2被写在了外面，剩下的\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\cdotse^{-ip(x-y)}被忽略了，因为我们只写出傅立叶变换的kernal部分。

实际上\Sigma=12\times(-i\frac{\lambda}{4!})\Delta_{F}(0).其中12是wick定理写出来组合的个数，-i\lambda/4!是对相互作用多点函数的分子的e指数展开的系数，出现在之前的-i\frac{\lambda}{4!}\intd^4z<0|T\{\phi(x)\phi(y)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\phi(z)]\}|0>。

同样，对于相互作用4点函数，分子展开的\lambda的一阶项为-i\frac{\lambda}{4!}\intd^4z<0|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\phi(z)]\}|0>同理，我们只考虑connected图，也就是X\begin{align}&4!\times(-i\frac{\lambda}{4!})\intd^4z\\Delta_F(x_1-z)\Delta_F(x_2-z)\Delta_F(x_3-z)\Delta_F(x_4-z)\\=&-i\lambda\int\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}\int\frac{d^4p_2}{(2\pi)^4}\int\frac{d^4p_3}{(2\pi)^4}\int\frac{d^4p_4}{(2\pi)^4}\intd^4z\e^{i(p_1+p_2+p_3+p_4)z}\\&\times\frac{i}{p_1^2-m^2+i\epsilon}\frac{i}{p_2^2-m^2+i\epsilon}\frac{i}{p_3^2-m^2+i\epsilon}\frac{i}{p_4^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip_1x_1-ip_2x_2-ip_3x_3-ip_4x_4}\\=&-i\lambda\int\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}\int\frac{d^4p_2}{(2\pi)^4}\int\frac{d^4p_3}{(2\pi)^4}e^{-ip_1(x_1-x_4)-ip_2(x_2-x_4)-ip_3(x_3-x_4)}\\&\times\frac{i}{p_1^2-m^2+i\epsilon}\frac{i}{p_2^2-m^2+i\epsilon}\frac{i}{p_3^2-m^2+i\epsilon}\frac{i}{(p_1+p_2+p_3)^2-m^2+i\epsilon}\end{align}所以如果除开X四条线对应的传播子，那么我们可以定义X=-i\lambda，但是这四个传播子对应的动量之和必须等于0，因为上述对z的积分给出(2\pi)^4\delta(p_1+p_2+p_3+p_4)。

最后，建议题主推导推导这部分，基本也就推一两次之后就不用再推导了。

后续的场论可以直接用这些定义好的图来做计算。

但是搞懂这些定义怎么来的也很关键。

参考^Peskin'sQFTSec.4.2发布于2020-03-1704:29​赞同115​​5条评论​分享​收藏​喜欢收起​