條件機率

在上述條件機率的定義中, 成為新的樣本空間: 。

... 條件機率也可用來求非條件下的機率。

... 某生參加考試, 題目均為選擇題, 每題有5個選擇, 其中70%的題目該生.          在數學裡給定某個數是2,它就一直是2。

但在機率裡, 某事件的機率是有可能因情況 而變。

這本來是不奇怪的,但因大部分的人受數學的薰陶較久,而數學裡通常是處理"不變" 的問題,所以在學習機率時,看到機率值居然會改變,便不易理解。

如假設生男生女的機率 各為0.5。

則隨機抽取一個學生會是男或女的機率也就大約是0.5。

但若知此學生是高雄女中 的學生,則會是女生的機率就是1了,因高雄女中沒有收男學生。

由於獲得資訊, 機率隨之而 變,其實是合理的,否則就失去收集資訊的目的。

      若, 為樣本空間中二事件, 且。

則在給定發生之下, 之條件機 率,以表之, 定義為                         。

  ----------------------------(1) 在上述條件機率的定義中,成為新的樣本空間: 。

也就是原先的樣本空間 修正為。

所有事件發生之機率, 都要先將其針對與的關係做修正。

例如,若與為互斥 事件,且,則因,故;若亦為正, 則此時亦有 。

        條件機率也可用來求非條件下的機率。

由(1)式得                        。

-------------------------(2) 故若知道及。

則可得到。

當然亦有                       , --------------------------(3)   只要。

結合(2)式與(3)式, 得                      。

-----------------------------(4) 今後即使不特別聲明,上式要成立就隱含著及皆為正。

(4)式為貝氏定理(Baye's Rule)之一特例,這是英國牧師貝斯(Bayes, 1702-1761)所首先提出,因 而命名。

不過也有人認為法國的大數學家拉普拉士(Laplace, 1749-1827)才是第一位明確給出此 定理者,所以應稱為拉普拉士公式(Laplace's Formula)。

　 我們已知道, 若樣本空間中,還有一個事件,那 會有什麼樣的形式? 看看底下的推導:                  。

似乎有點規律。

若樣本空間中, 再加一個事件,不難看出有下列形式          。

事實上,我們可以給出更一般的形式,設為樣本空間中的個事件, 且 ,則        此即條件機率的乘法性質。

除此之外, 條件機率還有一些基本性質,我們分別列於下:   設,,為樣本空間中的任意三事件, 且設,則有 (1),  ,  (2), (3), (4), (5)若, 則。

　 先前我們已給出貝氏定理之一特例, 現在我們給出一般的形式:  設為樣本空間中之一分割(所謂分割就是 ,,  且)。

則對任意及任一事件, 只要,                。

例如,, 為樣本空間中之一分割, 在給定一事件, 且, 則        。

                 生活中的實例1  假設生男生女的機率相等。

某家庭有兩個小孩, 試問 (1)已知老大為男孩,求老二為男孩的機率;  (2)已知有一男孩之下,求兩個小孩均為男孩的機率。

[解]:令表老大是男孩的事件, 表老二是男孩的事件,所以                    表兩個小孩都是男孩的機率,                    表至少有一小孩為男孩的機率,   故         , ,         。

因此   (1) 已知老大為男孩,老二為男孩的機率為            。

   (2)已知有一男孩之下, 兩個小孩均為男孩的機率為           。

　 隨堂練習1 投擲一公正的硬幣四次,令表第一次為正面的事件, 表四次中至少出現三次正面的事件, 試求及。

[解]:=0.5,=0.8。

　 生活中的實例2 將排成一列,令表排末的事件,表兩個相鄰的事件,試求。

[解]:      , 因表兩個相鄰且排末的事件,所以     ,  故      隨堂練習2 承實例2,試求之值。

[解]:0.4。

生活中的實例3 甲生打算投擲一公正的銅板來決定要選修的課,若出現正面則選修日文課, 若出 現反面則選修德文課。

從過去之資料得知選日文課有0.6的機率會得到90分以上,  而選德文課只有0.4的機率會得到90分以上。

試求甲生選修日文課會得到90分以 上的機率為何? [解]: 令              表示選修日文課的事件,             表示所選的課得到90分以上的事件,所以           表選日文課得到90分以上的事件,   故      =0.6×0.5=0.3。

 因此甲生選修日文課會得到90分以上的機率為0.3。

　 隨堂練習3 承實例3,試求甲生選修德文課會得到90分以上的機率為何? [解]:0.2。

　 生活中的實例4 袋中有紅球5個,白球3個, 袋中有紅球3個,白球2個, 先隨機地選出一袋, 再自選出的 袋中取出一球, 試求取出白球的機率。

[解]: 令W表取出白球,則 隨堂練習4 承實例4,求取出的白球為來自袋的條件機率。

[解]:15/31。

衛生局至某大學免費檢驗某疾病,此檢驗之可靠度為90%。

即若真有病, 則有0.9之機率 呈正反應(假設檢驗只有正負反應); 若無病亦有0.05的機率呈正反應。

過去的資料顯示 平均每100人有一人會有此病。

此檢驗迅速且無害, 若檢驗呈正反應,則"須"至醫院住院 一週做進一步檢查。

試問你是否願意接受此檢驗? 　 設甲,乙二人在賭博, 甲投擲二公正銅板且不讓乙看到結果。

此時丙從旁經過, 忍不住說      他看見有一銅板朝上。

甲聞言對丙說:你破壞了我們的賭局, 我的朋友乙正要猜兩個銅板      朝上的面是相同還是相異。

試問丙提供的資訊是否對乙有幫助?     [解]:  1.不願意。

2.有幫助。

　 擲出兩顆骰子,出現點數和為6時,求其中一顆骰子為2點的機率 1-9號的卡片各一張,從中任取2張發現點數和為偶數, 求此2張均為奇數的機率。

設,為樣本空間中的二事件,若 , , ,試求之值。

某生參加考試,題目均為選擇題,每題有5個選擇, 其中70%的題目該生 會做答,而對於不會的題目,該生會任選一個答案 (1)求任一題目答對的機率。

(2)某一題答對,求此題是猜中的機率。

投擲一公正的銅板10次,且得到5個正面,求下述二條件機率 (1)第一次得到正面。

(2)首五次恰得到3個正面。

[解答部分] 1. 。

   2. 。

    3. 。

    4. (1) ,(2) 。

    5. (1) ,(2) 。