餘式定理- 维基百科，自由的百科全书

多項式餘式定理（英語：Polynomial remainder theorem）是指一個多項式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} P(x) 除以一線性多項式 x − a {\displaystyle x-a} ... 餘式定理 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 此條目需要擴充。

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多項式餘式定理（英語：Polynomialremaindertheorem）是指一個多項式 P ( x ) {\displaystyleP(x)} 除以一線性多項式 x − a {\displaystylex-a} 的餘式是 P ( a ) {\displaystyleP(a)} 。

定義[编辑] 我們可以一般化多項式餘式定理。

如果 P ( x ) M ( x ) {\displaystyle{\frac{P(x)}{M(x)}}} 的商式是 Q ( x ) {\displaystyleQ(x)} 、餘式是 R ( x ) {\displaystyleR(x)} ，那麼 P ( x ) = M ( x ) Q ( x ) + R ( x ) {\displaystyleP(x)=M(x)Q(x)+R(x)} 。

其中 R ( x ) {\displaystyleR(x)} 的次數會小於 M ( x ) {\displaystyleM(x)} 的次數。

例如， 5 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 1 x − 3 {\displaystyle{\frac{5x^{3}+4x^{2}-12x+1}{x-3}}} 的餘式是 5 ⋅ 3 3 + 4 ⋅ 3 2 − 12 ⋅ 3 + 1 = 136 {\displaystyle5\cdot3^{3}+4\cdot3^{2}-12\cdot3+1=136} 。

又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。

至於除式為2次以上時，可將n次除式的 n {\displaystylen} 根 a , b , c , ⋯ {\displaystylea,b,c,\cdots} 列出聯立方程： P ( a ) = R ( a ) , P ( b ) = R ( b ) , P ( c ) = R ( c ) , ⋯ {\displaystyleP(a)=R(a),P(b)=R(b),P(c)=R(c),\cdots} 其中 P {\displaystyleP} 是被除式， R {\displaystyleR} 是餘式。

此方法只可用在除式不是任一多項式的 n {\displaystylen} 次方。

推导[编辑] 多項式餘式定理可由多項式除法的定義導出.根据多項式除法的定義，设被除式為 f ( x ) {\displaystylef(x)} ，除式为 g ( x ) {\displaystyleg(x)} ，商式为 q ( x ) {\displaystyleq(x)} ，余式为 r ( x ) {\displaystyler(x)} ，则有： f ( x ) = g ( x ) ⋅ q ( x ) + r ( x ) {\displaystylef(x)=g(x)\cdotq(x)+r(x)} 如果 g ( x ) {\displaystyleg(x)} 是一次式 x − a {\displaystylex-a} ，则 r ( x ) {\displaystyler(x)} 的次数小于一，因此， r ( x ) {\displaystyler(x)} 只能为常数，这时，余式也叫余数，记为 r {\displaystyler} ，即有： f ( x ) = ( x − a ) ⋅ q ( x ) + r {\displaystylef(x)=(x-a)\cdotq(x)+r} 根据上式，当 x = a {\displaystylex=a} 时，有： f ( a ) = ( a − a ) ⋅ q ( a ) + r = r {\displaystylef(a)=(a-a)\cdotq(a)+r=r} 因此，我们得到了余式定理：多项式 f ( x ) {\displaystylef(x)} 除以 x − a {\displaystylex-a} 所得的余式等于 f ( a ) {\displaystylef(a)} 。

參見[编辑] 数学主题 中国剩余定理 这是一篇關於代数的小作品。

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查论编 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=餘式定理&oldid=68541457” 分类：​代数小作品多項式代数定理隐藏分类：​自2013年11月扩充中的条目自2013年11月缺少来源的条目含有英語的條目全部小作品 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 其他语言 AzərbaycancaБеларускаяবাংলাEnglishEsperantoEspañolفارسیGalegoעבריתहिन्दीMagyarՀայերենItaliano日本語Қазақша한국어КыргызчаLatviešuPolskiPortuguêsРусскийSimpleEnglishதமிழ்ไทยУкраїнськаTiếngViệt 编辑链接