一元二次方程式- 維基百科，自由的百科全書

公式解的證明 一元二次方程式 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 一元二次方程式式是只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是二次的多項式方程式。

例如， x 2 − 3 x + 2 = 2 {\displaystylex^{2}-3x+2=2} ， ( 3 − 2 i ) x 2 + 23 − 6 i π x − sin ⁡ 2 = 0 {\displaystyle\left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi}]{23-6i}}x-\sin2=0} ， t 2 − 3 = 0 {\displaystylet^{2}-3=0} 等都是一元二次方程式。

一元二次方程式式的一般形式是： a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\qquad\left(a\neq0\right)} 其中， a x 2 {\displaystyleax^{2}} 是二次項， b x {\displaystylebx} 是一次項， c {\displaystylec} 是常數項。

a ≠ 0 {\displaystylea\neq0} 是一個重要條件，否則就不能保證該方程式未知數的最高次數是二次。

當然，在強調了是一元二次方程式之後， a ≠ 0 {\displaystylea\neq0} 也可以省略不寫。

當然，一元二次方程式式有時會出現虛數根。

目次 1歷史 2解法 2.1因式分解法 2.2公式解法 2.2.1公式解的證明 2.2.2一般化 2.2.3根的判別式 2.3非實係數一元二次方程 2.4根與係數 2.5圖像解法 2.6計算機法 3相關連結 4外部連結 歷史[編輯] 古巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前2000年（2000BC）古巴比倫的數學家就能解一元二次方程式了。

在大約公元前480年，中國人已經使用配方法求得了二次方程式的正根。

公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程式。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程式的正數解。

亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liberembadorum中，首次將完整的一元二次方程式解法傳入歐洲。

據說施里德哈勒是最早給出二次方程式的普適解法的數學家之一。

但這一點在他的時代存在著爭議。

這個求解規則是（引自婆什迦羅第二）： 在方程式的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍；在方程式的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方；然後在方程式的兩邊同時開二次方根。

將其轉化為數學語言：解關於 x {\displaystylex} 的方程式 a x 2 + b x = − c {\displaystyleax^{2}+bx=-c} 　　在方程式的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍，即 4 a {\displaystyle4a} ，得 4 a 2 x 2 + 4 a b x = − 4 a c {\displaystyle4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac} 　　在方程式的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方，即 b 2 {\displaystyleb^{2}} ，得 4 a 2 x 2 + 4 a b x + b 2 = − 4 a c + b 2 {\displaystyle4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}} 　　然後在方程式的兩邊同時開二次方根，得 2 a x + b = ± − 4 a c + b 2 2 {\displaystyle2ax+b=\pm{\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}} [1] 解法[編輯] 阿貝爾指出，任意一元二次方程式都可以根據 a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 、 c {\displaystylec} 三個係數，通過初等代數運算來求解。

求得的解也被稱為方程式的根。

一般來說，一元二次方程式有兩個解，答案需提供兩個不同的數值，只要符合 a ≠ 0 {\displaystylea\neq0} 的原則就可以了。

因式分解法[編輯] 把一個一元二次方程式變形成一般形式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 後，如果 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積，則一般用因式分解來解這個一元二次方程式。

將方程式左邊分解成兩個一次因式的乘積後（一般可用十字相乘法），分別令每一個因式等於零，可以得到兩個一元一次方程式。

解這兩個一元一次方程式，得到的兩個解都是原方程式的解。

如果一元二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 存在兩個實根 x 1 , x 2 {\displaystylex_{1},x_{2}} ，那麼它可以因式分解為 a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0 {\displaystylea(x-x_{1})(x-x_{2})=0} 。

例如，解一元二次方程式 x 2 − 3 x + 2 = 0 {\displaystylex^{2}-3x+2=0} 時，可將原方程式左邊分解成 ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 {\displaystyle\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0} 所以 x − 1 = 0 x − 2 = 0 {\displaystylex-1=0\quadx-2=0} 可解得 x 1 = 1 x 2 = 2 {\displaystylex_{1}=1\quadx_{2}=2} 公式解法[編輯] 對於 a x 2 + b x + c = 0   ( a ≠ 0 ) {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\(a\neq0)} ，它的根可以表示為： x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystylex_{1,2}={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}} 當 c ≠ 0 {\displaystylec\neq0} 時也寫成 x 1 , 2 = 2 c − b ± b 2 − 4 a c   {\displaystylex_{1,2}={\frac{2c}{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}}} 公式解的證明[編輯] 公式解可以由配法得出。

首先先將一元二次方程式的一般形式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 除以 a {\displaystylea} （ a {\displaystylea} 在一元二次方程式中不為零），將會得到 x 2 + b a x + c a = 0 {\displaystylex^{2}+{\frac{b}{a}}x+{\frac{c}{a}}=0} 即 x 2 + b a x = − c a {\displaystylex^{2}+{\frac{b}{a}}x=-{\frac{c}{a}}} 現在可以開始配方了。

為了配方，必須要加上一個常數（在這個例子裡，它是指一個不隨 x {\displaystylex} 而變的量）到等式的左邊，使等式左邊有完全平方 x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystylex^{2}+2xy+y^{2}} 的樣子。

當 2 x y = b a x {\displaystyle2xy={\frac{b}{a}}x} 時得到 y = b 2 a {\displaystyley={\frac{b}{2a}}} 亦即當式子的兩邊加上 y 2 = b 2 4 a 2 {\displaystyley^{2}={\frac{b^{2}}{4a^{2}}}} 將得到： x 2 + b a x + b 2 4 a 2 = − c a + b 2 4 a 2 {\displaystylex^{2}+{\frac{b}{a}}x+{\frac{b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac{c}{a}}+{\frac{b^{2}}{4a^{2}}}} 式子的左邊變成了一個完全平方了。

並且可以看出是 ( x + b 2 a ) {\displaystyle\left(x+{\tfrac{b}{2a}}\right)} 的平方。

式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了： ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle\left(x+{\frac{b}{2a}}\right)^{2}={\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}} 接下來，對式子的兩邊開根號： | x + b 2 a | = b 2 − 4 a c   | 2 a | ⇔ x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle\left|x+{\frac{b}{2a}}\right|={\frac{\sqrt{b^{2}-4ac\}}{|2a|}}\Leftrightarrowx+{\frac{b}{2a}}=\pm{\frac{\sqrt{b^{2}-4ac\}}{2a}}} 最後，式子兩邊同時減去 b 2 a {\displaystyle{\frac{b}{2a}}} 公式解終於出現了： x = − b 2 a ± b 2 − 4 a c   2 a = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystylex=-{\frac{b}{2a}}\pm{\frac{\sqrt{b^{2}-4ac\}}{2a}}={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}} 一般化[編輯] 一元二次方程式的求根公式在方程式的係數為有理數、實數、複數或是任意數體中適用。

一元二次方程式中的判別式 b 2 − 4 a c {\displaystyle{\sqrt{b^{2}-4ac}}} 應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為 b 2 − 4 a c {\displaystyleb^{2}-4ac} 的數當中任何一個」。

在某些數體中，有些數值沒有平方根。

根的判別式[編輯] 對於實係數一元二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\left(a\neq0\right)} ， Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle\Delta=b^{2}-4ac} 稱作一元二次方程式根的判別式。

根據判別式，一元二次方程式的根有三種可能的情況： 如果 Δ > 0 {\displaystyle\Delta>0} ，則這個一元二次方程式有兩個不同的實數根。

如果係數都為有理數，且 Δ {\displaystyle\Delta} 是一個完全平方數，則這兩個根都是有理數，否則這兩個根至少有一個是無理數。

如果 Δ = 0 {\displaystyle\Delta=0} ，則這個一元二次方程式有兩個相等的實數根。

而且這兩個根皆為 x = − b 2 a {\displaystylex=-{\frac{b}{2a}}} 如果 Δ < 0 {\displaystyle\Delta<0} ，則這個一元二次方程式有兩個不同的複數根，兩根互為共軛複數。

這時根為 x = − b 2 a + i 4 a c − b 2 2 a x = − b 2 a − i 4 a c − b 2 2 a {\displaystyle{\begin{aligned}x&={\frac{-b}{2a}}+i{\frac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}}\\x&={\frac{-b}{2a}}-i{\frac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}}\\\end{aligned}}} 其中 i 2 = − 1 {\displaystyle{\begin{aligned}i^{2}&=-1\end{aligned}}} 非實係數一元二次方程式[編輯] 即係數為非實數時的一元二次方程式，將係數擴展到複數域內，此時要注意根的判別式不適用於非實係數一元二次方程式。

根與係數[編輯] 根據韋達定理可以找出一元二次方程式的根與方程式中係數的關係。

x 1 + x 2 = − b + b 2 − 4 a c   2 a + − b − b 2 − 4 a c   2 a = − 2 b 2 a = − b a {\displaystylex_{1}+x_{2}={\frac{-b+{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}+{\frac{-b-{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}={\frac{-2b}{2a}}=-{\frac{b}{a}}} x 1 ⋅ x 2 = − b + b 2 − 4 a c   2 a ⋅ − b − b 2 − 4 a c   2 a = b 2 − b 2 + 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a {\displaystylex_{1}\cdotx_{2}={\frac{-b+{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}\cdot{\frac{-b-{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}={\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac{4ac}{4a^{2}}}={\frac{c}{a}}} 圖像解法[編輯] Δ > 0 {\displaystyle{\color{Red}{}\Delta>0}} ，則該函數與x軸相交（有兩個交點） Δ = 0 {\displaystyle{\color{Blue}{}\Delta=0}} ，則該函數與x軸相切（有且僅有一個交點） Δ < 0 {\displaystyle{\color{Green}{}\Delta<0}} ，則該函數與x軸相離（沒有交點） 一元二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 的根的幾何意義是二次函數 y = a x 2 + b x + c {\displaystyley=ax^{2}+bx+c} 的圖像（為一條拋物線）與 x {\displaystylex} 軸交點的x坐標。

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 的解是 y = x 2 {\displaystyley=x^{2}} 和 y = − b a x − c a {\displaystyley=-{\begin{matrix}{\frac{b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac{c}{a}}\end{matrix}}} 交點的X座標 另外一種解法是把一元二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 化為 x 2 = − b a x − c a {\displaystylex^{2}=-{\frac{b}{a}}x-{\frac{c}{a}}} 的形式。

則方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 的根，就是函數 y = x 2 {\displaystyley=x^{2}} 和 y = − b a x − c a {\displaystyley=-{\frac{b}{a}}x-{\frac{c}{a}}} 交點的X坐標。

通過作圖，可以得到一元二次方程式根的近似值。

計算機法[編輯] 在使用計算機解一元二次方程式時，跟人手工計算相似，大部分情況下也是根據下面的公式去解 x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystylex_{1,2}={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}} 可以進行符號運算的程序，比如Mathematica，可以給出準確的解析表達式。

而大部分程序則只會給出數值解。

(但亦有部分顯示平方根及虛數) 相關連結[編輯] 方程式 三次方程式 外部連結[編輯] 101usesofaquadraticequation:PartI（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），PartII（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=一元二次方程&oldid=73629110」 分類：​方程初等代數 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 AfrikaansالعربيةAsturianuAzərbaycancaتۆرکجهБашҡортсаБеларускаяБеларуская(тарашкевіца)БългарскиবাংলাBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschΕλληνικάEnglishEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFøroysktFrançaisGaeilgeGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiHornjoserbsceMagyarՀայերենBahasaIndonesiaIdoÍslenskaItaliano日本語ქართულიҚазақшаភាសាខ្មែរ한국어LatinaLinguaFrancaNovaLombardLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംBahasaMelayuNederlandsNorsknynorskNorskbokmålOccitanਪੰਜਾਬੀPolskiPortuguêsRomânăРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaShqipСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ТоҷикӣไทยTürkçeУкраїнськаاردوOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt吴语ייִדיש文言粵語 編輯連結