1.1機率空間 - 國立高雄大學統計學研究所

機率空間. 一隨機試驗(random experiment), 其所有可能的結果(outcome)之集合, 稱為樣本空間(sample space), 通常以希臘字母 $\Omega$ 表之。

機率空間中的一個元素, ... 機 率空間　        一隨機試驗(random experiment),其所有可能的結果(outcome)之集合,稱為樣本空間(sample space), 通常以希臘字母表之。

機率空間中的一個元素, 便稱為一個樣本,通常以的小寫表之。

       依照樣本空間元素的個數,可將其分為可數的(countable)及不可數的(uncountable)兩類。

樣本空間為一集合,任一非空的集合, 皆可視為一樣本空間。

樣本空間中的每一元素稱為一樣本點(sample point)。

      樣本空間決定了, 便可以考慮事件(event)。

所謂事件就是試驗之一些可能的結果之集合。

亦即樣本空間的任一子集合皆為事件。

空集合以及本身, 皆為事件。

　     對二集合,讀做包含於,即若,則。

即 再定義聯集(union)、交集(intersection)、餘集(complement)及差集 (difference)如下: 其中``''表不屬於。

可看出 　 例1.投擲一骰子一次,則 。

令事件表得到偶數之事件,表得到點數不超過3之事件, 表得到奇數之事件。

則，，的樣本空間為何？與和的聯集與交集各為何？ 　    定理1.設為定義於某樣本空間的三事件。

則下述各性質成立: (i)交換律     , ; (ii)結合律     , ; (iii)分配律     , ; (iv)棣莫根法則     , . 再給可數個事件的聯集及交集之運算。

設 為定義於某樣本空間的事件。

則           對事件 ,      例2.設,。

則 　        兩個事件,若滿足 ,便稱為互斥(disjoint,又稱mutuallyexclusive);         事件 (有限個亦可),若滿足 , ,便稱為每對互斥(pairwisedisjoint)。

      若 (有限個亦可)為每對互斥, 且 , 則 便形成之一分割(partition)。

     例3.取, ,. 則可看出,,為每對互斥,且 .故,,形成之一分割。

       假設有一樣本空間,對每一事件,稱做之機率, 並以表之。

  定義1.之一些(至少一個)子集合,所形成的集合,若滿足下述條件,便稱為一-體(-field,又稱-algebra,或Borelfield): (i)若 ,則 ; (ii)若 ,,則 .         由定義1立即得到及皆屬於。

又若條件(i)及(ii)成立,由棣莫根法則知,若 ,,導致 。

另外, 若 , 則有 ,此因只要將 皆取為即可。

對可數個事件成立的結果,導致對有限個事件亦成立, 只要適當地選取, 。

-體中的每一元素亦皆為集合。

例4.設 ,則可產生那些-體? 例5.設 。

           (i)已知一-體中有一元素, 試寫出最小的這種-體。

         (ii)試求一包含及之最小的-體。

      對一有限集合, 其所形成之任一-體, 其元素個數皆為2的次方。

例6.設 , 令 表包含實數上所有開區間之最小的-體。

此最小的-體 是如何產生? 只要取所有這種-體之交集, 此交集仍為一-體,而當然就是最小的。

任一集合 ,稱為一波瑞爾集合(Borelset)。

亦包含諸如,及,, 等區間。

　   定義2.設為一樣本空間, 為之一些子集合所形成之一-體。

則以為定義域,且滿足下述條件的函數,便稱為一機率函數(probabilityfunction): (i) ,; (ii); (iii)若 ,且為每對互斥,則 (1.1)         便構成一機率空間(probability space)。

               若樣本空間為可數的, 且未特別聲明, 則-體就是取成之所有子集合所形成之集合。

對於不可數的集合,如實數集合,-體則取成包含所有開區間(open interval)之最小的-體。

　 例7.令 為一可數的集合, 為一定義在上的實函數,滿足 ‧ 令為之所有子集合所形成之集合。

再令 則 即構成一離散型的機率空間。

例8.設為實數上之一區間, 為上之一實函數,滿足 ‧ 令為包含上所有開區間之最小的-體。

再令 ‧ 則 即構成一連續型的機率空間。

  定理2.設 為一機率空間。

則 (i) ; (ii), ; (iii), . 　   定理3.為一機率函數,為二事件。

則 (i) ; (ii) ; (iii)若,則 ,且.         因 ,故由上述定理,即得一關於交集的不等式, 稱做邦弗朗尼不等式(Bonferroni'sinequality): (1.2) 當二事件之交集的機率不易求時, 可藉此不等式給出該機率之一下限。

　   定理3.為一機率函數,為二事件。

則 (i) ; (ii) ; (iii)若,則 ,且. 　   定理4.設有一機率空間 。

(i)設事件 構成之一分割,則 (1.3) (ii)對任意事件 , (1.4) (1.4)式即為波爾不等式。

        例9.在一副52張的撲克牌(poker)之梭哈遊戲中,在所分到的5張牌,試分別求拿到四條, 一對與三條,兩對,三條,一對,同花,順,同花順之機率。

在此所謂一對,指拿到兩張一樣點數的牌, 外加三張不同點數的牌,餘類推。

 自一集合中取個相異元素, 所形成的一有序列 , 稱為之一個元素的排列。

而之一個相異元素的子集 , 則稱為之一個元素的組合。

若中有個元素,且, 則之個元素的排列有 種, 之個元素的組合有 種,其中 通常採用記號 稱為二項係數(binomialcoefficient)。

又對非負整數 ,,且滿足 , (1.5) 稱為多項係數(multinomial coefficient)。

由(1.5)式得 進一步閱讀資料：黃文璋(2003).基本概念。

數理統計講義第一章。

國立高雄大學應用數學系。