改變歷史進程的17個方程式- PanSci 泛科學

數學圍繞在我們四周，它在許多方面型塑(shaped)我們對這個世界的理解。

作者｜ANDY KIERSZ 編譯｜蘇俊鴻2013年，身為數學家，也是科普作者的伊恩． 0 0 0 文字 分享 友善列印 繁| 简 0 0 0 專欄 透視科學 改變歷史進程的17個方程式 ntucase ・2014/05/15 ・3391字 ・閱讀時間約7分鐘 ・SR值593 ・九年級 ＋追蹤 相關標籤： 改變世界的十七個方程式(2) 數學(194) 方程式(3) 經濟學(22) 熱門標籤： 量子力學(46) CT值(8) 後遺症(3) 快篩(7) 時間(37) 宇宙(81) 數學圍繞在我們四周，它在許多方面型塑(shaped)我們對這個世界的理解。

作者｜ANDYKIERSZ 編譯｜蘇俊鴻 2013年，身為數學家，也是科普作者的伊恩．史都華(IanStewart)出版了《改變世界的17個方程式》(The17EquationsthatChangedtheWorld)一書。

近來，我們在Dr.PaulCoxon的Twitter(由數學輔導老師，也是部落客的LarryPhillips所註冊)上發現這個他摘錄書中方程式所成的簡便表格： 對於這些塑造數學及人類歷史的美妙方程式，下面有更多的介紹： 1)畢氏定理： 這個定理是我們理解幾何的基礎。

它描述平面上一個直角三角形三邊之間的關係：兩個短邊(a和b)平方相加，可以得到長邊(c)的平方。

在某些方面，這個關係確實將我們熟知的平面歐氏幾何和曲面的非歐幾何分開來。

例如，畫在球面上的直角三角形就不用遵守畢氏定理。

2)對數： 對數(函數)是指數函數的反函數。

一個特定底數的對數，告訴你用這個底數來表示這個數所需要的指數(power)。

譬如10°=1，所以底數為10的1之對數log1=0；10¹=10，所以log10=1；10²=100，所以log100=2。

方程式logab=loga+logb，展示對數最有用的應用：將乘法變成加法。

一直到計算機發展之前，這是快速進行大數字相乘最常用的方法，大大地加快在物理、天文，以及工程上的計算。

3)微積分： 這裏給的公式是微積分上導數的定義，導數是衡量兩個量之間變化關係的比率。

比方說，我們考慮速度，這是位置對時間的導數。

假如你每小時用3英里的速度行走，表示你以每個小時3英里改變你的位置。

一般而言，多數科學家有興趣的是瞭解事物如何改變，導數和積分，微積分另一個基礎，正是數學家與科學家理解變化的關鍵。

4)萬有引力定律： 牛頓的萬有引力定律描述兩個物體間的吸引力F，由常數G、兩物體的質量m1和m2，以及兩物體之間的距離r而決定。

牛頓的定律是科學史非常出色的部份，它幾乎完美地解釋行星為何依照他們所遵循的方式移動。

同樣出色的是它的普遍性，不只是適用於地球上的重力如何作用，或是在我們的太陽系，也包括宇宙的任何角落。

牛頓的引力有效維持了200年，直到被愛因斯坦的廣義相對論取代為止。

5)-1的平方根： 數學家總是在擴展數字到底是什麼的概念，從自然數，到負數、分數、和實數。

-1的平方根(經常被寫作i)，完成這個過程，並且引出複數。

在數學上，複數是非常優雅的。

代數能完美依循我們所要的方式運作，任何方程式都有複數解，不一定有實數解：像x²+4=0沒有實數解，但它有兩個複數的解：±2i。

微積分可以擴展到複數，經由這麼做，我們發現這些數字一些驚人的對稱性和性質，這些性質使得複數在電路和信號處理上變得不可或缺。

6)歐拉的多面體公式： 多面體是多邊形三維的版本，像立方體就是其中一個例子。

多面體的角落就稱為頂點，連接頂點的線段稱為邊，覆蓋它的多邊形就稱為面。

一個立方體有8個頂點，12條邊，和6個面。

倘若將頂點數和面數加起來，再減去邊數，得到8+6-12=2。

歐拉的公式指出，只要你的多面體是良態的(wellbehaved)，將頂點數和面數相加，再減去邊數，你總會得到2。

無論你的多面體有4、8、12、20或是任意面數，都將為真。

歐拉的發現是現在被稱為拓樸不變量的最初例子之一，同類形狀所共享的某些數字和性質彼此都相似。

良態的多面體都有V+F-1=2。

這個發現，連同歐拉哥尼斯堡七橋問題(theBridgesofKonigsburgProblem)的解法，一起為現代物理學不可或缺的數學分支拓樸學的發展鋪好道路。

7)常態分布： 有著熟知鐘形曲線圖形的常態機率分布，在統計學中無處不在。

物理、生物以及社會科學上經常運用常態分布來模式化各種性質，原因之一是常態曲線可以用來描述大量獨立過程(independentprocesses)的行為。

常態分佈 8)波動方程式： 這是一個微分方程，規範波函數對時間與空間變數的二次微分的方程式，其中 C 代表波的傳遞速率。

波動方程式可描述波的行為，如振動的吉他弦，石塊丟出後池塘產生的漣漪，白熾燈泡產生的光等。

波動方程式雖然只是一個微分方程式，解決這個方程所發展出的技巧開啟了理解其他微分方程的大門。

9)傅立葉變換： 想要理解複雜的波動結構，像是人的說話，傅立葉變換是不可缺少的。

給定一個複雜、凌亂的波動結構，例如人的談話錄音，傅立葉變換允許我們將這凌亂的結構分解成一些簡單波的合成，大大地簡化分析的工作。

傅立葉變換是現代信號處理和分析，以及數據壓縮的核心。

10)納維-斯托克斯方程式： 和波動方程式相同，這也是一個微分方程。

納維-斯托克斯方程式描述流體的行為，水在管道的流動，空氣流過機翼，或是煙從點燃的香煙上升起。

儘管利用電腦模擬流體運動，我們可以得到納維-斯托克斯方程式極佳的近似解，但能否構造出這個方程式數學的精確解，仍然是待解的問題(有百萬美元獎金)。

11)馬克士威方程組： 這是由四個描述電(E)與磁(H)的行為和關係之微分方程所組成的方程組。

馬克士威方程組之於古典電磁學，如同牛頓的運動定律和萬有引力定律之於古典力學，他們是我們解釋電磁學在日常尺度下如何作用的基礎。

如要推廣到原子的尺度，就有賴量子力學的修正，這門學問稱為量子電動力學。

清楚的是，這些優美的馬克士威方程式是在人類尺度下，電磁學以及光學─光即電磁波─能夠被良好描述的近似方程組。

12)熱力學第二定律： 在一個封閉的系統中，熵(S)總是保持穩定或逐漸增加，而波茲曼寫下的方程式更賦予了熵統計的意義。

簡單地說，熱力學的熵是度量一個系統的紊亂程度。

一個開始時有序，但不平衡的系統，例如，靠近寒冷區域的熱點區域，總是趨向平衡的紊亂狀態，熱會從熱區流向冷區，直到均勻分佈為止。

大多數的物理過程都是不可逆的，亦即宇宙的熵會一直變大，這隱含了時間是有方向性的。

例如我們將冰塊放入一杯熱咖啡中，我們總是看到冰塊融化，卻未曾見過一杯咖啡生出冰塊而咖啡自己變熱。

13) 相對論： 愛因斯坦用狹義和廣義相對論從根本上改變了物理的進程，經典的方程式E=mc² 說明質量與能量的轉換關係。

狹義相對論引進光在真空中的速度是固定不變的，以及不同速度移動的人對時間流逝及空間距離感受並不相同的概念。

廣義相對論則認為重力是時間與空間本身的彎曲和摺疊，自牛頓的定律以來，這是我們對重力的理解首次巨大的改變，對於我們了解宇宙的起源、構造，和最終結局，廣義相對論是不可或缺的。

愛因斯坦 14) 薛丁格方程式： 這是在量子力學上最主要的方程式，如同廣義相對論在最大尺度上說明我們的宇宙，這個方程則是支配原子和次原子粒子的行為。

現代量子力學是歷史上非常成功的科學理論所有我們做的實驗結果都和量子力學的預測完全一致。

最現代的技術也需要量子力學，舉凡核能、肇基於半導體的電腦，以及雷射等都建立在量子現象上。

15) 資訊理論： 這裏給出的方程式是為了夏農資訊熵(Shannoninformationentropy)。

如同前述，熱力學的熵是對紊亂的一種度量，這裏指的是對訊息資訊量的度量，一本書，一張網路上寄送的JPEG圖片，或是任何可用符號表示的事物。

訊息的夏農熵說的是在不漏失內容的情形下，訊息可以被壓縮多少的下限。

夏農的熵度量引起資訊理論的數學研究，他的成果是今日我們如何在網路上溝通的核心。

16) 混沌理論： 這個方程式是梅的二次多項式映射(May’slogisticmap)，它描述一種通過時間演變的過程─x的下一個時間世代xτ+1─由方程式的右邊給出，依賴x目前的世代xτ。

k是一個選擇的常數，對於某些k值，映射會顯示混沌的行為：如果從某些特殊的初始值x開始，過程將演化出一種結果，如果由其他的初始值開始，甚至非常非常靠近第一個值，過程將演化出完全不同的結果。

我們所見的混沌行為，對初始條件非常敏感，在許多領域都是如此。

天氣是個典型的例子，大氣條件的一個微小改變可以導致幾天後完全不同的天氣系統，這個概念最常提及的說法就是「蝴蝶效應」。

17) 布萊克-休斯方程式： 另一個微分方程，布萊克-休斯方程式描述金融專家和商人如何找到衍生性商品的價格。

衍生性商品，基於某些潛在資產的金融商品，例如股票，一個現代金融體系的主要部份。

布萊克-休斯方程式允許金融專家利用衍生性商品的特性和潛在資產來計算這些金融商品的價值。

這些是芝加哥期交所標準普爾500指數的交易員，你不會發現有人沒聽過布萊克-休斯方程式。

— 資料來源：The17EquationsThatChangedTheCourseOfHistory 譯者：蘇俊鴻現為北一女教師。

責任編輯：臺大物理系王名儒教授   原刊載於台大科教中心CASEpress 發表意見 文章難易度 剛好 太難 所有討論 0 登入與大家一起討論 ntucase 30篇文章 ・ 559位粉絲 ＋追蹤 CASE的全名是CenterfortheAdvancementofScienceEducation，也就是台灣大學科學教育發展中心。

創立於2008年10月，成立的宗旨是透過台大的自然科學學術資源，奠立全國基礎科學教育的優質文化與環境。

TRENDING 熱門討論 即時 熱門 熱帶雨林如何自食其力？——《熱帶雨林：多樣、美麗而稀少的熱帶生命》 2 2小時前 別跟電腦玩德州撲克 1 4小時前 亞馬遜雨林裡上演著動物生存競賽——《熱帶雨林：多樣、美麗而稀少的熱帶生命》 1 6小時前 歐洲人克服乳糖不耐，少拉肚子就是達爾文贏家？ 1 6小時前 鑑識故事系列：被植入的性侵記憶 5 1天前 你認為閱讀只需要用眼嗎？先聽懂，才能讀懂！ 5 2022/09/01 不用數學就可以解釋——相對論的著名想像實驗「雙胞胎悖論」 4 2022/09/02 全球熱浪災情頻傳！臺灣熱成這樣，竟然不符合「熱浪」的定義？ 3 4天前 RELATED 相關文章 相輔相成的數學與科學，誰才真的是「科學的起點」？或許，它們都不是最好的答案——《教出科學探究力》 計算機先驅：巴貝奇與他的小型差分計算機——《資訊大歷史》 逼近上帝視角——用「統計學」探討因果關係 一生最重要的數學教育：小學數學——《數學，這樣看才精采》 莫比烏斯把紙帶轉了幾圈——《數學，這樣看才精采》 1 1 1 文字 分享 友善列印 1 1 1 相輔相成的數學與科學，誰才真的是「科學的起點」？或許，它們都不是最好的答案——《教出科學探究力》 親子天下 ・2022/08/12 ・3626字 ・閱讀時間約7分鐘 ＋追蹤 相關標籤： 孩子(2) 學生(5) 教出科學探究力(3) 教學(8) 教案(1) 數學(194) 數學教育(3) 科學(134) 科學家(47) 科學教育(31) 科學生(391) 熱門標籤： 量子力學(46) CT值(8) 後遺症(3) 快篩(7) 時間(37) 宇宙(81) 國小高年級科普文，素養閱讀就從今天就開始!! 數學絕對是科學上非常重要的工具，當科學面對重大疑難雜症時，往往確實是由數學來解決問題。

歷史上有很多例子，可以用來說明科學家遇到科學問題時，發明數學工具來解決問題。

例如我們知道，一個物體如果維持每秒鐘30公尺的速度前進，那麼100秒之後，它會前進3,000公尺。

但如果這個物體的速度是會穩定減少，平均每一秒鐘還會穩定的減少每秒10公尺，也就是一秒後它的速度就變成20m/s、兩秒之後變成10m/s，以此類推。

這樣的話，我們知道它3秒之後會停下來，但你能知道它前進的距離總共有多少嗎？ 為了解決這個問題，牛頓發明「微積分」這個數學工具。

現代微積分是由牛頓與萊布尼茲所發展而成的重要工具。

圖／Pixabay 先有雞還是先有蛋？先有科學還是先有數學？ 物理學家為了要處理像是「位移」、「力」、「速度」這類問題，也發明「向量」這樣的數學工具來幫助物理學家解決問題。

這樣看起來，好像應該說「科學是數學之母」才對？ 也有的時候，科學家為了精準簡潔的描述自然界規則，運用數學語言來作為描述的方式。

例如我們知道，兩物體之間永遠存在一個互相吸引的萬有引力，萬有引力的大小和兩物體的質量大小乘積成正比，和兩物體的距離平方成反比。

這麼一大段落落長的描述，如果用數學符號來表達，就會變成： \(F=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\) 這樣的表達既簡潔又精準，當然是很不錯的描述方式，很受科學人的喜愛。

數學是科學中重要的工具，可以幫助科學解決很多問題。

在學習科學或發展科學的某些階段，數學更是不可或缺的工具，沒有數學便跨越不了某些門檻。

即便如此，數學好像也說不上是「科學之母」。

科學始於好奇心，每個孩子都是天生的科學家 我總覺得「科學之母」的意思，應該是科學的產生者。

那什麼才是科學的產生者？我認為是「觀察」。

觀察與好奇心促成科學的動機觀察的意思不是觀看，不是說用眼睛看到些什麼東西就是觀察。

觀察是會產生疑問的，會勾起你的好奇心。

看到一些「怪怪的」、好像跟平常不一樣的事物時，你可能會留心的多看個兩眼，腦袋裡想著：「昨天跟今天看到的太陽升起位置，是不是有什麼不一樣？」、「上次釀的酒跟這一次喝起來好像不一樣？」 察覺這些差異之後，你的好奇心可能就會接手，開始思考如何解釋這樣的差異。

如果你認真一點的話，可能會對現象進行系統化的描述記錄，將那些雜亂的事物根據相同處、相異處進行比較並分類，有時候或許能從中發現一些現象的規律性或者因果性。

例如我們的祖先們長期觀看著海，把每天看的海水高度做了記錄，時間一長就慢慢看出一些規律性，發現每天海水高度變化跟月亮的位置有關：滿月的那天，當潮水最高的時候就是在正中午。

我們的祖先們長期觀看著海，把每天看的海水高度做了記錄，時間一長就慢慢看出一些規律性。

圖／Pexels 進而發現不同的月相和漲退潮的時間，有某種特定的關係。

等蒐集到夠多的事實之後，很可能就可以發現規律性。

察覺這些規律性、相同處、相異處之後，有些人會興起強烈的好奇心，想要一探這些現象背後的完整詳細規則，或是探詢造成這些規則背後的原因，這時，科學的動機就出現了。

自文明誕生以來，有很長一段時間，人們只是用神話的方式來解釋自然，直到近幾百年才發展出有系統的科學方法，以極端嚴謹的態度來檢視心中的答案。

雖然科學是近代產物，但產生科學的動機卻是每個人都天生具備的，那就是「觀察」和「好奇心」。

每個孩子天生就很愛問問題，這也是為什麼許多科學家會說：「每個孩子都是天生的科學家」，不過這句話的下一句是：「直到XX歲為止」。

為什麼等到我們長大以後，就不會提問了呢？ 身為老師的我們都曾發現，學生到了國中之後，似乎就變得很不愛問問題。

我相信造成這個結果的原因有很多，例如我們的科學教材教法往往是去情境化、去脈絡化的；我們的考題有許多是脫離現實的；我們的課程也經常不是以學生親身觀察而產生的探究問題作為出發點。

此外，大量意義不明的數學練習，恐怕也是重要的原因之一。

天生的科學家們為什麼長大後就不發問了呢？造成這個結果的原因有很多。

圖／Pexels 既然數學題目難以避免，我們該怎麼讓這些練習對學生而言，變得更有意義、更具有科學教育的價值呢？ 數學在科學課堂上扮演的角色在科學的學習中，數學作為一種工具，其存在是必要且適當的。

但我們應該注意的是：工具的使用必有其特定的使用動機和情境。

如何讓學生知道自己在幹嘛？以燃素說、氧化說為例 例如拉瓦節（AntoineLavoisier）並不是一開始就在實驗室裡面計算數學，因而發現燃燒的本質是物質的氧化。

他是因為用定性分析方式無法成功反駁當時主流的「燃素說」，才進一步使用量化實驗、測量精準的數據，得到足以駁倒「燃素說」的證據。

讓學生具備動機和情境後，在適當的難度下，引進必要的數學就會覺得理所當然。

如果學生知道自己正在處理什麼問題，也知道為什麼需要運用這個工具的情況下，那麼在自然科裡面學習數學是沒有問題的。

需要透過有設計的教學，才可以激發學生思考、知道自己在處理什麼問題。

圖／Pixabay 於是我在燃燒的單元中，設計了讓學生閱讀並比較史塔爾（GeorgErnstStahl）提出的「燃素說」和拉瓦節的「氧化說」。

兩個學說都是在描述學生熟悉的燃燒現象，但卻有著截然不同的解釋方式。

史塔爾的「燃素說」認為： 因為物質燃燒時，物質裡面的可燃成分（燃素），會從物質內逃逸出來與空氣結合，從而發光發熱，這就是火。

並且因為燃素從物質中釋放出來，重量就變輕了，釋放燃素的物質只剩下灰。

但有些物質，像是金屬，它們內部的空隙就像容器一樣，裡面充滿燃素。

燃素與金屬分離後，空出來的容器會被空氣填滿，容器裝著比燃素重的空氣，重量自然就變重了。

而且物質在加熱時，燃素並不能自動分解出來，必須藉空氣來吸收燃素，才能將燃素釋放出來，而且愈好的空氣吸收燃素的效果愈好。

拉瓦節的「氧化說」則主張： 物質燃燒時，不是物質內部的燃素釋放出來，而是物質和空氣中的氧氣結合。

結合的過程中會發光發熱。

結合之後的物質，稱為氧化物。

氧化物如果是氣體或者變成飛灰離開了物體本身，質量就會變小，就像紙張燃燒一樣。

如果物質氧化物和物質是依附在一起的，那就會看到質量變重，就像金屬的燃燒一樣。

你會發現兩者的說法看起來都能完美的解釋燃燒現象，如果只是觀察各種燃燒的現象，並不足以判別誰說的才對。

這時，用量化方式精準測量燃燒過程中各階段物質的質量變化，就變成判別是非的關鍵所在。

量化實驗當然是比定性實驗更加困難，但當我們對於某個事件產生興趣時，這些困難就會瞬間變成讓人興致高昂、願意去挑戰和克服的關卡。

「燃素說」和「氧化說」的說法看起來都能完美的解釋燃燒現象，這時便需要科學的力量。

圖／Pexels 數學的工具也是如此，所以我在運動學的課程設計中，利用交通安全宣導影片中常出現的「未維持安全距離」下產生的交通事故，讓學生感受到危險，並且產生「安全距離是怎麼計算出來的」的疑惑，激發學生解決問題的動機。

動機產生之後，我們就可以把待解問題轉化為比較嚴謹的文字敘述：「車子以108km/hr的速度行駛在高速公路上，因前方發生事故而緊急煞車。

若車子能在X秒鐘之內停下來，我們的煞車距離有多少？」這就變成大家熟悉的考題了。

此時不管是使用公式也好，圖形法也好，學習起來就會比較自然而然、順理成章。

在課堂上營造動機與脈絡，讓解決這些數學問題變成必要的過程，就是我們在課程設計上可以努力的方向。

——本文摘自《教出科學探究力》，2021年8月，親子天下 ，未經同意請勿轉載。

發表意見 所有討論 1 登入與大家一起討論 #1 狐禪 2022/08/12 回覆 數學只是把對自然現象的描述，用有嚴格邏輯結構的語言翻譯出來。

所以最根本的起源還是觀察現象，看出不同因素間的關係後，再做翻譯。

親子天下 24篇文章 ・ 20位粉絲 ＋追蹤 【親子天下】起源於雜誌媒體和書籍出版，進而擴大成為華文圈影響力最大的教育教養品牌，也是最值得信賴的親子社群平台：www.parenting.com.tw。

我們希望，從線上（online）到實體（offline），分齡分眾供應華人地區親子家庭和學校最合身體貼的優質內容、活動、產品與服務。

TRENDING 熱門討論 即時 熱門 熱帶雨林如何自食其力？——《熱帶雨林：多樣、美麗而稀少的熱帶生命》 2 2小時前 別跟電腦玩德州撲克 1 4小時前 亞馬遜雨林裡上演著動物生存競賽——《熱帶雨林：多樣、美麗而稀少的熱帶生命》 1 6小時前 歐洲人克服乳糖不耐，少拉肚子就是達爾文贏家？ 1 6小時前 鑑識故事系列：被植入的性侵記憶 5 1天前 你認為閱讀只需要用眼嗎？先聽懂，才能讀懂！ 5 2022/09/01 不用數學就可以解釋——相對論的著名想像實驗「雙胞胎悖論」 4 2022/09/02 全球熱浪災情頻傳！臺灣熱成這樣，竟然不符合「熱浪」的定義？ 3 4天前 RELATED 相關文章 凡事都想知道「為什麼」，是踏入科學探究的第一步——《教出科學探究力》 不要過度指導！如何兼顧規矩與探索，才不會扼殺孩子的與生俱來的探究之心？——《教出科學探究力》 肉眼可見的「微生物」！科學家發現有史以來的最大細菌，平均長度大於0.9公分 「故事力」加上「科普力」，半導體素養也能很有趣——《掀起晶片革命的天才怪咖：蕭克利與八叛徒》 計算機先驅：巴貝奇與他的小型差分計算機——《資訊大歷史》 0 1 0 文字 分享 友善列印 0 1 0 計算機先驅：巴貝奇與他的小型差分計算機——《資訊大歷史》 azothbooks ・2022/07/01 ・3045字 ・閱讀時間約6分鐘 ＋追蹤 相關標籤： 工業革命(7) 差分機(5) 巴貝奇(7) 微積分(10) 數學(194) 物理(78) 計算機(17) 熱門標籤： 量子力學(46) CT值(8) 後遺症(3) 快篩(7) 時間(37) 宇宙(81) 國小高年級科普文，素養閱讀就從今天就開始!! 查爾斯．巴貝奇 查爾斯．巴貝奇（CharlesBabbage），1792至1871年。

1843年，一位英國數學家提出了分析機原理，這個構思將在一百零三年後由後人付諸實踐，並有了一個為大家熟知的名字——計算機（今日俗稱電腦）。

很遺憾，查理斯．巴貝奇終其一生也沒能實現造出分析機的願望，但他依舊是當之無愧的計算機先驅。

直到今天，許多計算機書籍扉頁裡仍然刊載著他的照片，以表紀念。

巴貝奇發明小型差分計算機 一七九二年，巴貝奇出生於倫敦一個富有的銀行家家庭，十八歲進入著名的劍橋大學三一學院，成為牛頓的校友。

後來他擔任了牛頓擔任過的「盧卡斯數學教授」職務。

在進入大學之前，他就展現出極高的數學天分。

進入大學後，巴貝奇發現，當時英國人普遍接受的牛頓建立在運動基礎之上的微積分，不如萊布尼茨基於符號處理的微積分那樣便於理解和傳播。

為了推廣已被歐洲大陸普遍接受的萊布尼茨的微積分，他和其他人一同創辦了英國的（數學）分析學會。

不過巴貝奇並不是一個安分的學生，他一方面顯現出超凡的智力，另一方面又不按照要求完成學業，為此他不得不轉了一個學院，才能繼續學業。

在學校裡，他還對很多超自然的現象感興趣。

延伸閱讀：巴貝奇誕辰｜科學史上的今天：12/26 如果不是趕上工業革命，巴貝奇或許會尋找某個傳統的數學領域或者自然哲學領域做一輩子研究，並且留下一個巴貝奇定律或者巴貝奇定理。

但是，工業革命的大背景，讓他把畢生精力和金錢都投入研究一種能夠處理資訊的機械中。

這也不奇怪，因為工業革命為資訊處理提供了思想上的依據、技術上的條件和廣闊的市場。

工業革命是人類歷史上最偉大的事件。

它不僅第一次讓人類從此進入可持續發展的時代，也改變了人們的思想。

人類從相信神，到今天開始變得自信起來，相信這個世界是確定的、有規律的，而自己能夠發現世界上所有的規律。

早在牛頓時代，著名物理學家玻意耳（RobertBoyle）在總結牛頓等人的科學成就之後，就提出了「機械論」，也被稱為「機械思維」。

提出「機械論」的玻意耳（RobertBoyle）。

圖／Wikipedia 玻意耳等人（包括牛頓、哈雷等）認為，世間萬物的規律都可以用機械運動的規律來描述，包括蒸汽機和火車在內的工業革命中那些最重要的發明，都受益於機械思維。

人們熱衷於用機械的方法解決問題，從精密的航海導航，到能夠奏樂的音樂盒，再到能織出各種圖案的紡織機。

既然能想到的所有規律都可以用運動規律來描述，那麼就很容易想到讓具有特殊結構的齒輪組運動來完成計算，這便是設計機械計算機的思想基礎。

其實，這種想法早在十七世紀就有人嘗試過。

法國數學家帕斯卡（BlaisePascal）發明了一種手搖計算器——雖然有時人們將它稱為最早的機械計算機，但實際上它和我們今天理解的電腦概念沒有太多相似之處，稱之為「計算器」更為恰當。

帕斯卡計算器從外觀上看有上下兩排旋鈕，每個旋鈕上都刻著○至九這十個數字。

在做加減法時，只要將參加運算的兩個數字分別撥到相應的位置，然後轉動手柄，計算器裡的一組組齒輪就會轉動，完成計算。

帕斯卡計算器。

圖／Wikipedia 帕斯卡計算器最初只能做加法，後來經過改良，可以做減法和乘法，但做不了除法。

在帕斯卡之後，萊布尼茨改良了計算器。

他發明了一種以他名字命名的轉輪「萊布尼茨輪」，方便實現四則運算中的進位和借位。

到了十九世紀初，經過近兩個世紀的改進，機械計算器已經能夠完成四則運算，但是計算速度很慢，精度也不夠高，而且設備造價昂貴。

不過，這種計算器更大的缺陷在於，對於複雜的運算（比如對數運算和三角函數運算）都做不到。

十九世紀機械工業的發展需要進行大量的複雜計算，比如三角函數的計算、指數和對數的計算等。

在微積分出現之前，完成這些函數的計算是幾乎不可能的事。

十八世紀之後，歐洲數學家用微積分找到了很多計算上述函數的近似方法，不過這些方法的計算量極大，需要很長的時間，而且當時除了數學家，一般人是完成不了那些計算的。

為了便於工程師在工程中和設計時完成各種計算，數學家設計了數學用表，如此一來工程師就可以從表中直接查出計算的結果。

不過，那個時代的數學用表錯誤百出，為生產和科學研究帶來了很多麻煩。

而這個問題很難避免，因為手算很難保證完全不出錯。

如果很多數學家分別獨立計算，還可以比對結果發現錯誤。

但是巴貝奇發現，那些不同版本的數學用表都是抄來抄去，而犯的錯也都一樣。

因此，巴貝奇想設計一種機械來完成微積分的計算，然後用它來計算各種函數值，得到一份可靠的數學用表。

當時他只有二十二歲。

延伸閱讀：兩艘軍艦換不到兩噸重的計算機？巴貝奇與差分機｜《電腦簡史》齒輪時代（十八） 在隨後的十年裡，巴貝奇造出來一台有六位精度（巴貝奇最初的目標是達到八位精度）的小型差分計算機。

隨後巴貝奇用它算出了好幾種函數表，用於解決航海、機械和天文方面的計算問題。

值得指出的是，巴貝奇的這次成功受益於工業革命的成就——當時機械加工的精度比瓦特時代已經高出了很多，這讓巴貝奇能夠加工出各種尺寸獨特的齒輪。

但是，當時並沒有二十世紀的精密加工技術，製造小批量特製齒輪和機械部件的成本高、難度大，這給巴貝奇後來的工作帶來了諸多不便。

巴貝奇小型差分計算機的部分模組。

圖／Wikipedia 不過，首次成功還是讓巴貝奇獲得了英國政府的資助，用以打造一台精度高達二十位的計算機。

幾年後，他又獲得了劍橋大學盧卡斯數學教授的職位，讓他有了穩定的收入。

在此之前，他一直在花自己繼承的十萬英鎊遺產。

勝利女神似乎正向他招手，但接下來的時日，他在計算機研究方面一籌莫展。

從表面上看，巴貝奇遇到的困難是因為那台差分機太複雜了，裡面有包括上萬個齒輪的二點五萬個零件，當時的加工水準根本無法製造。

但更本質的原因是，巴貝奇並不真正理解計算的原理。

他不懂得對於複雜的計算來說，不是要把機器做得更複雜，而是要用簡單的計算單元來實現複雜的計算。

當然，在那個年代沒有人瞭解這些。

作為現代計算機基礎理論的布林代數要再等十幾年才會被提出來，而且要再過近一個世紀，才會被應用到計算技術中。

後人根據巴貝奇的設計打造而成的差分機。

圖／Wikipedia ——本文摘自《資訊大歷史：人類如何消除對未知的不確定》，2022年6月，漫遊者文化，未經同意請勿轉載。

發表意見 所有討論 0 登入與大家一起討論 azothbooks 38篇文章 ・ 12位粉絲 ＋追蹤 漫遊也許有原因，卻沒有目的。

漫遊者的原因就是自由。

文學、人文、藝術、商業、學習、生活雜學，以及問題解決的實用學，這些都是「漫遊者」的範疇，「漫遊者」希望在其中找到未來的閱讀形式，尋找新的面貌，為出版文化找尋新風景。

TRENDING 熱門討論 即時 熱門 熱帶雨林如何自食其力？——《熱帶雨林：多樣、美麗而稀少的熱帶生命》 2 2小時前 別跟電腦玩德州撲克 1 4小時前 亞馬遜雨林裡上演著動物生存競賽——《熱帶雨林：多樣、美麗而稀少的熱帶生命》 1 6小時前 歐洲人克服乳糖不耐，少拉肚子就是達爾文贏家？ 1 6小時前 鑑識故事系列：被植入的性侵記憶 5 1天前 你認為閱讀只需要用眼嗎？先聽懂，才能讀懂！ 5 2022/09/01 不用數學就可以解釋——相對論的著名想像實驗「雙胞胎悖論」 4 2022/09/02 全球熱浪災情頻傳！臺灣熱成這樣，竟然不符合「熱浪」的定義？ 3 4天前 RELATED 相關文章 學測該怎麼出題？——點評高中數學教育與111年數學學測 科學啟蒙了社會然後呢？它可以走自己的路嗎？——《一生必修的科學思辨課》 搞懂「通用圖靈機」的第一站——康托爾的「無限樂園」│《電腦簡史》數位時代（十二） 現代電腦從此展開——馮紐曼與馮紐曼架構│《電腦簡史》數位時代（十一） 第一台通用型電子計算機——專利糾葛、優劣並存的ENIAC│《電腦簡史》數位時代（十） 2 2 4 文字 分享 友善列印 2 2 4 逼近上帝視角——用「統計學」探討因果關係 研之有物│中央研究院 ・2022/06/15 ・4930字 ・閱讀時間約10分鐘 ＋追蹤 相關標籤： 因果關係(9) 數學(194) 統計學(10) 熱門標籤： 量子力學(46) CT值(8) 後遺症(3) 快篩(7) 時間(37) 宇宙(81) 本文轉載自中央研究院研之有物，泛科學為宣傳推廣執行單位。

採訪撰文／郭雅欣、簡克志美術設計／蔡宛潔 因果關係怎麼研究？ 在日常生活的經驗裡，我們往往習慣以主觀的角度來認定因果關係的存在，但在數理統計的協助下，因果關係可以擁有科學定義，並且可以驗證。

中央研究院「研之有物」專訪院內統計科學研究所黃彥棕研究員，他的主要研究便是以數理統計的方式來探討因果關係（例如生物體的複雜機轉）。

有了統計方法，人類也能接近上帝視角，找出因果關係的存在。

中研院統計所研究員黃彥棕，擅長以數理統計的方式來思考因果關係。

圖／研之有物 以數理統計驗證因果關係 我們絕大多數人相信「凡事必有因果」這句話，例如今天腹瀉，是因為昨天晚餐吃壞肚子；考試沒考好，是因為書念得不夠。

但是仔細想想，造成今天拉肚子的原因，除了昨天的晚餐之外，還有沒有別的可能？影響考試成績的因素，除了書念得夠不夠之外，考試環境、考題難易度也都會影響。

所以，我們究竟該如何確定兩件事有因果關係？有沒有什麼科學方法，可以讓我們帶著十足的把握，說出「X就是造成Y結果的原因」這樣的話語？ 中研院統計所研究員黃彥棕，擅長以數理統計的方式來思考因果關係，除此之外他更進一步在數學上探討「X透過何種機制造成Y」，也就是所謂的「因果中介效應」。

有興趣的讀者，可以參考「研之有物」之前專訪黃彥棕老師的文章〈喝酒臉紅易罹癌？小時候家裡窮會胖？統計學家黃彥棕來解答〉。

回到因果關係，黃彥棕說到：「因果關係是屬於上帝視角。

」也就是說，兩件事之間究竟有無因果關係，理論上只有全知者才知道，而我們能做的，是以數理統計的方式，「從人類視角盡可能地逼近上帝視角，來判斷因果關係是否存在。

」 何謂因果關係？ 為什麼說「因果存在與否只有上帝才知道」？因果關係建立在「反事實」，如果有一個事實是「打疫苗，就不容易感染COVID-19」，則我們必須驗證是否「不打疫苗，就容易感染COVID-19」，這就是反事實。

有了事實與反事實的比對，我們才能說「打疫苗」與「不易感染COVID-19」有因果關係。

不過，除非有時光機或平行宇宙，否則我們不可能讓全世界的人打疫苗，並觀察感染情況；然後又讓全世界的人都不打疫苗，並再次觀察染病狀況。

只有全知者才能同時觀察這兩個平行宇宙，得知因果關係。

黃彥棕說，身處現實世界的我們，只能盡可能地逼近這個結果。

用數學語言來描述因果關係，最被廣泛使用的架構是由美國統計學家DonaldRubin提出的反事實結果（counterfactualoutcome）或潛在結果（potentialoutcome）。

值得一提的是，過去Rubin也曾與2021年諾貝爾經濟學獎得主JoshuaAngrist和GuidoImbens共同發表重要論文〈使用工具變量確認因果效應〉。

以下我們就以疫苗和傳染病為例，以反事實架構來說明「X導致Y」的群體因果效應。

先假設X為民眾施打疫苗與否（0：不打疫苗，1：打疫苗），而Y為得傳染病與否（0：不染病，1：染病），並使用期望值E來描述群體平均效應，詳細如下圖。

為了要取得因果關係，我們必須有兩個獨立的平行世界，分別是X＝1和X＝0，再去比較這兩個世界中X如何導致Y的發生。

圖／研之有物（資料來源｜黃彥棕） 如果我們觀察到E［Y（X＝1）］＝0.1，也就是有打疫苗的人染病機率是10%。

那麼在反事實因果推論的基礎上，我們必須檢驗E［Y（X＝0）］等於多少，也就是不打疫苗的染病機率。

只要E［Y（X＝1）］≠E［Y（X＝0）］，就代表X和Y之間具有因果關係。

然而，實務上打完疫苗的人不可能再回復到沒打疫苗的狀態，因此我們沒有辦法再次對同一群母體樣本做實驗來驗證因果關係，僅能退而求其次，「盡量貼近」因果關係。

那麼，要怎麼做呢？ 有反事實的對照，才有因果關係。

逼近神的因果視角 如果我們把全世界的人分成兩半，其中一半打疫苗、另一半不打疫苗，然後用打疫苗的那一半代表一個宇宙（事實），不打疫苗的代表另一個宇宙（反事實），不就創造出兩個平行宇宙了嗎？ 這是一種很直觀的逼近方法，但若要讓一半的人能夠代表一整個宇宙，則有一個重要的前提：這兩個宇宙裡的人是隨機分配的，也就是這兩群人在各個層面都很相似，例如年齡、性別、健康狀況甚至政治傾向等，以專業術語來說就是必須具有可互換性（exchangeability）。

藥廠在做疫苗人體實驗時，就必須以非常嚴謹的方式讓受試者盡可能達到隨機分配，才能得到「疫苗是否有效」的科學結果。

不過，在大多數狀況下，我們很難做到隨機分配。

舉例來說，臺灣開放施打COVID-19疫苗後，截至2021年10月29日為止，有將近1700萬人施打第一劑疫苗，但我們不能把這1700萬人視為有打疫苗的宇宙，而另一群沒打疫苗的600萬人視為沒打疫苗的宇宙，因為打不打疫苗是人民自由選擇的結果，有很多因素會影響個人選擇，例如比較有健康意識，或是比較年輕、不擔心副作用的人，可能就比較傾向打疫苗。

即使統計結果顯示出打疫苗的人，感染COVID-19的比例真的比較低，我們也很難分辨是因為打疫苗，還是他們本來就比較年輕？或本來就比較健康？「這是所謂的『觀察型研究』，容易出現因果推論謬誤的原因。

」黃彥棕說。

然而，我們可以用數理統計的方式逼近真實的因果效應，例如控制年齡、健康狀況——兩方都取50～60歲的年齡層，並且都是沒有心血管疾病的人等。

黃彥棕說：「我們依據自己的背景知識，知道有哪些因素會影響隨機性，然後使用統計的方式，把它們抓出來做控制。

」 理論上統計學家可以把所有可能造成偏誤的因子都舉出來，透過一層層地篩選、限縮，最後得出許多個小小的族群，讓隨機性成立。

之後，透過每一組小小的隨機族群（例如年齡50～60歲、沒有心血管疾病、男性、具健康意識……等，統稱為C），讓Y的發生和特定條件C之下的X群體無關，我們就可以得到逼近兩個平行宇宙的資料（有打疫苗、沒打疫苗），最後再把各族群的結果加權平均回來。

就可以貼近上帝視角的因果效應。

以數學語言來說，就是讓條件期望值（E［Y｜X＝x,C＝c）］）的計算透過加權平均等同於反事實結果之期望值（E［Y（X＝x）］）的效果。

我們沒有時光機，無法透過事實／反事實結果之期望值檢驗全體打疫苗和不打疫苗的因果關係（E［Y（X＝1）］≠E［Y（X＝0）］嗎？）；但是我們可以透過各種條件的篩選和限縮，去計算每個具備可互換性小群體的條件期望值，最後加權平均回來，檢視打疫苗與得病與否的因果關係（∑c E［Y｜X＝1,C＝c］＊P（C＝c）≠∑c E［Y｜X＝0,C＝c］＊P（C＝c）嗎？），這才是實務上的作法。

問題來了，要怎麼知道我們是否窮舉了所有可能造成偏誤的因子？我們的確不知道，只有上帝知道，這是個假設，而且是個很難驗證的假設。

實務上，我們不可能同時觀察X＝1和X＝0的世界，只能分別獲得X和Y的相關性。

要如何從相關性去檢視因果關係呢？透過統計學上的篩選和限制，我們如果可以讓X＝1vs.X＝0的隨機性成立，就可以進一步驗證X和Y的因果關係。

為方便說明，圖片的數學式為簡單條件期望值計算，不考慮加權平均。

圖／研之有物（資料來源｜黃彥棕） 「在控制了年齡、性別、健康狀況等條件的情況下，我們希望可以讓隨機性成立。

」 黃彥棕的研究讓因果關係在嚴謹的數學架構下，得以辨證、溝通，而不是只仰賴直觀的思考。

因果的存在變得更加科學化，而這也使因果的探討可以進入更深的層次。

被競爭結果和時間擾亂的因果關係 更進階的因果探討層次，是將時間因素考慮進來。

黃彥棕以「B型肝炎」造成「肝癌」，然後導致「死亡」為例，若想探討這三者間的因果關係時，會發生一個問題，那就是有B型肝炎的人，有可能容易因猛爆性肝炎而直接死亡，而這樣的個案在統計上，因為他並沒有得到肝癌，而對「肝癌」這個中介因子造成了「保護」的效果。

「這就是肝癌和死亡這兩個競爭結果造成的影響，而這個競爭關係又會隨著時間推移而改變。

肝癌、死亡有時間進程關係，一旦B型肝炎患者因猛爆性肝炎死亡了，他就不可能再得肝癌。

」更清楚地說，B型肝炎患者可能還「來不及」得肝癌，就因猛爆性肝炎直接跳到死亡。

在界定B型肝炎與肝癌之間的因果關係時，這樣的結果會造成偏誤。

黃彥棕將時間因素考慮進來的方法，是把整個時程切割成非常多小段，在每個小段創造一個反事實架構，也就是分析每一位在某小段時間活著的B型肝炎患者，把他們分成已得到肝癌及還沒得到肝癌，並考慮這兩組患者在下一個瞬間死亡的可能性，再將這些結果積分起來，得到在隨機過程架構之下的平行宇宙們。

「我等於是在每一個瞬間都製造多個平行宇宙（無B肝／無肝癌、無B肝／有肝癌、有B肝／無肝癌、有B肝／有肝癌）出來，這樣做可以避免前面說的蓋牌效應。

但你可以想像我所得到的平行宇宙數量……嗯，就跟《奇異博士》看到的差不多。

」 「我認為我在這領域的部分貢獻，或許是提出了這樣一個會隨著時間推移的反事實架構。

」黃彥棕說。

他的論文發表出來後不久，也引起了期刊的興趣，邀請了相關領域的許多專家，探討他所提出的因果模型。

研究因果的動機 談起對因果關係研究的動機，黃彥棕說，以前在醫學系實習時，會看到開同樣的藥給病人，有些病人會好，有些人不會。

這種「不確定性」開始讓他覺得好奇。

他說：「我可以接受事情就是會有隨機性，但還是很想搞清楚這樣的不確定性是怎麼來的。

」 最近，黃彥棕也發現許多人會把「預測」和「因果」搞混，尤其是現在人工智慧（AI）發展出的預測模型表現愈來愈好，有些做AI預測模型的人，會誤以為能夠用預測表現良好的模型，來得到因果關係。

舉例來說，一個模型可以透過一個人是否抽菸，來預測他得肺癌的機率，也可以透過一個人身上是否攜帶著打火機，來預測肺癌機率。

「但我們知道抽菸與肺癌有因果關係，而帶打火機與否應該是不會造成任何增加肺癌風險的生物效應的。

」黃彥棕說。

「抽菸」與「帶打火機」都能成為AI模型預測肺癌時採用的因子，但顯然並非代表它們與肺癌都有因果關係。

黃彥棕接著說：「雖然預測未必需要因果關係，但是，決策就需要因果關係的支持。

若要降低肺癌風險，政府較合理的做法是下令禁菸，而不是禁打火機。

但要看到因果是比較困難的，它先天上的限制使它難以驗證，這個挑戰也是因果推論的迷人之處。

」 最後，黃彥棕切身感受到因果關係的重要性，尤其是藥廠研發藥物或是臨床醫學等領域的應用。

而他在反事實架構上考慮時間因素的突破，讓因果推論的知識又更往前推進。

反事實因果推論的數學模型，讓人類能夠有深刻的思考，去檢視深藏在直觀表面之下的因果性與相關性。

延伸閱讀 Huang,Y.T.(2021). Causalmediationofsemicompetingrisks. Biometrics, 77(4),1143–1154.Jaeger,D.A.(2021,October19). Nobeleconomicsprizewinnersshowedeconomistshowtoturntherealworldintotheirlaboratory.TheConversation.RetrievedMay18,2022.黃彥棕（2021）。

〈淺談因果：是宗教，是哲學，也是科學〉，《中研院訊》。

簡鈺璇（2020）。

〈補習有用嗎？反事實分析的發現可能和你想的不一樣〉，《科技大觀園》。

林婷嫻（2019）。

〈喝酒臉紅易罹癌？小時候家裡窮會胖？統計學家黃彥棕來解答〉，《研之有物》。

黃彥棕（2019）。

〈因果中介模型〉，《自然科學簡訊》，31(1):24-28。

發表意見 所有討論 2 登入與大家一起討論 #1 free62286 2022/06/17 回覆 我是一個數學笨蛋 但是我真的很喜歡用科學去討論我們稱之為神的一些事件與研究，這一切都跟數學有關阿！ #2 狐禪 2022/06/17 回覆 能夠顯示因果的邏輯關係，叫「若且唯若」(ifandonlyif)。

也就是在可能肇因與結果之間，沒有其他中介關係。

而在實務上則用「各種可能中介關係的發生機率，統計上都一樣」來模擬。

研之有物│中央研究院 248篇文章 ・ 1994位粉絲 ＋追蹤 研之有物，取諧音自「言之有物」，出處為《周易·家人》：「君子以言有物而行有恆」。

探索具體研究案例、直擊研究員生活，成為串聯您與中研院的橋梁，通往博大精深的知識世界。

網頁：研之有物 臉書：研之有物@Facebook TRENDING 熱門討論 即時 熱門 熱帶雨林如何自食其力？——《熱帶雨林：多樣、美麗而稀少的熱帶生命》 2 2小時前 別跟電腦玩德州撲克 1 4小時前 亞馬遜雨林裡上演著動物生存競賽——《熱帶雨林：多樣、美麗而稀少的熱帶生命》 1 6小時前 歐洲人克服乳糖不耐，少拉肚子就是達爾文贏家？ 1 6小時前 鑑識故事系列：被植入的性侵記憶 5 1天前 你認為閱讀只需要用眼嗎？先聽懂，才能讀懂！ 5 2022/09/01 不用數學就可以解釋——相對論的著名想像實驗「雙胞胎悖論」 4 2022/09/02 全球熱浪災情頻傳！臺灣熱成這樣，竟然不符合「熱浪」的定義？ 3 4天前 RELATED 相關文章 相關、因果，傻傻分不清楚 從什麽時候開始，冬天變得越來越熱——用統計學的「改變點」及「紀錄」探討台北暖冬的異常現象 還在「真相永遠只有一個」？那你就太小看這世界複雜的因果關係了！——《像科學家一樣思考》 醫療檢測的準確度：「偽陰性」、「偽陽性」到底是什麼意思？如何計算準確度？ 身體受傷會發炎，但你知道心智也有可能會發炎嗎？——《終結憂鬱症》 繁 简