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國民小學數學教材原型B 冊國家教育研究院編印國民小學數學教材原型B 冊目次序...vii 編輯大意編輯大意...ix 第一章: 量與實測概論撰寫者: 謝堅主題1-1: 量與實測教材的 ... MicrosoftWord國民小學數學教材原型B冊目次.doc SHARE HTML DOWNLOAD Size:px Startdisplayatpage: Download"MicrosoftWord國民小學數學教材原型B冊目次.doc" Error: DownloadDocument 另孙 5yearsago Views: 1國民小學數學教材原型B冊國家教育研究院編印23國民小學數學教材原型B冊目次序...vii編輯大意編輯大意...ix第一章:量與實測概論撰寫者:謝堅主題1-1:量與實測教材的發展1-1-1:量與實測教材的內容:量與實測教材的發展...主題1-:測量單位與測量單位的化聚1--1:測量單位及測量單位的數量化聚:量感:公制單位與常用單位:單位的化聚...17第二章:面積理念篇撰寫者:謝堅主題-1:面積的意義-1-1:單位面積的意義:面積常用單位的引入...7主題-:長(正)方形的面積公式i4--1:長方形及正方形面積公式:長方形面積公式的迷思概念...37主題-3:平行四邊形三角形三角形梯形面積公式-3-1:引入面積公式(策略一):引入面積公式(策略二):平行四邊形三角形梯形面積公式的統整...50主題-4:圓扇形及不規則圖形的面積公式-4-1:圓的面積:不規則圖形的面積...54案例篇撰寫者:吳欣悅主題--1:長方形及正方形面積公式~長方形及正方形的面積公式...57主題--1:長方形及正方形面積公式~長邊或寬邊不是整數的長方形面積...65主題-3-:平行四邊形三角形三角形梯形面積公式~平行四邊形三角形梯形面積公式...80第三章:重量理念篇撰寫者:謝堅ii5主題3-1:重量的意義量的意義主題3-:重量的直接與間接比較3--1:重量的直接比較:重量的間接比較:重量的個別單位及普遍單位比較...11主題3-3:測量重量的單位-秤3-3-1:秤的秤面結構:如何報讀物體的重量...16主題3-4:重量單位的化聚3-4-1:重量單位化聚的迷失概念:重量整數及分小數倍單名數的化聚案例篇撰寫者:魏慶雲主題3--1:重量的直接比較~利用手及天平進行重量的直接比較主題3--:重量的間接比較~利用天平進行重量的間接比較主題3-4-1:整數倍單名數及複名數化聚~公斤公克的整數倍單名數及複名數化聚..157主題3-4-:分小數倍單名數小數倍單名數及複名數化聚~公斤公克的分小數倍單名數及複名數化iii6聚第四章:角度理念篇撰寫者:謝堅主題4-1:角與角度角度4-1-1:圖形角與張開角:角度的直接及間接比較主題4-:角度的合成與分解4--1:旋轉角:角度的合成與分解主題4-3:角度單位及量角器4-3-1:角度單位:量角器...19案例篇撰寫者:詹婉華主題4-1-:角度的直接與間接比較~角的直接與間接比較主題4--:角度的合成與分解主題4-3-:量角器~角度的合成與分解...1~認識量角器並測量角...9iv7第五章:容量與體積理念篇撰寫者:謝堅主題5-1:體積容量容量容積容積液量液量:體積與容量:容量與容積:容量與液量:體積與容量教學的迷失...51主題5-:長(正)方體體積公式5--1:長(正)方體體積公式:長(正)方體體積公式的迷思概念...57主題5-3:角柱及圓柱體積公式5-3-1:角柱的體積公式:圓柱的體積公式:不規則物體的體積...64案例篇撰寫者:房昔梅主題5-1-1:體積與容量體積與容量...65主題5--1:長(正)方體體積公式~長方體的體積公式...77v8附錄-試教教學活動設計主題-3-:平行四邊形三角形梯形面積公式~三角形的面積公式...91主題-3-:平行四邊形三角形梯形面積公式~梯形面積公式的導出與應用主題3-4-:分小數倍單名數及複名數化聚~公斤公克的分小數倍單名數及複名數化聚.309主題4-1-:角度的直接與間接比較~角的直接比較主題4--:角度的合成與分解~角的合成與分解...3主題5-1-1:體積與容量...39主題5--1:長(正)方體體積公式~複合形體的體積vi9序數學不僅是科學的基礎,數學教育更是關乎國家公民素養和人才素質的重要因素之一國家教育研究院推動課程與教學研究及研發適性適量適時之教材工作,進行中小學各學習領域(學科)教材研發編輯與試用,並建置教科書資源資料庫本數學領域教材原型研發手冊即是針對中學生與小學生所設計之教學輔助教材,期能落實課程綱要能力指標與教材細目之課程與教學之實踐,提供教師或教科書編輯者可依循或指引之教科書編輯素材,活化數學教材的內涵,並引領未來十二年國民基本教育數學教學之方向此計畫研發初期,本人時任國家教育研究院院長,當時曾召開會議徵詢國內數學專家學者之意見,幾經遴選承蒙陳昭地教授願意在國立臺灣師範大學教職退休後,因為對數學教育的使命感,而接下此研發編輯之重任陳教授學經歷豐富,不但在教學及專業領域上的研究,受到學術界的肯定及重視,表現傑出,對啟蒙青年學子有滿滿的熱情,對數學教育貢獻不遺餘力,在他的號召之下,旋即組織優秀的學者專家教授與教學卓越的中小學教師等成立編輯委員會,前後歷經三年,完成本系列的教材原型作品本書研發編撰適合國中小數學能力之題材,這些題材與教師未來的數學教學密切相關,並可藉此增長學生數學的學習能力,內容相當豐富,盼讀者以輕鬆愉快的心情欣賞閱讀數學的相關方法與應用,經由與日常生活相關的例題,透過循序漸進的演練,以培養學生自我學習的興趣與信心,期待能為數學教師提供便捷的教學資源教育部國民及學前教育署署長吳清山謹識013年1月vii10序政府為回應立法院與民意的需求,於民國9年起責成本院組成委員會編撰九年一貫數學領域國中小部編本教科書,經審定後上市供書,以平抑教科書價格,同時引領民間出版商改善教科書的品質部編本教科書在完成教材示範編撰與制衡教科書市場之階段性任務後,轉型發展教材原型,本書即為教材原型的研發成果之一本書分為中學與小學,中學部分配合國中以上之數學教師的數學專業素養,編輯延伸性與原創性的題材,包含未來與國民教育第十年數學銜接息息相關的重要內容,提供教師編選相關教材之用,或提供教科書編輯者及民間出版業研發教師手冊及相關教材小學部分:配合教師需求,著重於國小階段之數計算量與實測幾何等相關教材教法本套教材編撰之目的,在於能引發教師教學之共鳴,進而沿用於教學,故於其取材方向及內容,依中小學之特性而有些許差異本書係由課程及教學研究中心數學教材原型研發編輯委員會陳昭地教授鍾靜教授謝堅教授張東輝教授曹博盛教授黃幸美教授陳彥廷教授周筱亭研究員李政豐教師蘇進發教師傅淑婷教師李政憲教師丁斌悅教師莊國彰教師魏慶雲教師房昔梅教師詹婉華教師吳欣悅教師胡蕙芬教師等,前後共計三年的辛勤投入,內容極具意義與參考價值,對落實數學教育,應該頗有助益茲值付梓之前,特為之序,並致最高謝意國家教育研究院課程及教學研究中心主任范信賢謹識013年1月viii11編輯大意一本研究成品為國家教育研究院數學領域教材原型研發編輯計畫第二年(民101年)國民小學部分的成果二本研究成品以國小階段之量與實測為主軸撰寫,因為時間人力及經費不足,研發團隊並沒有編寫出全部的教材,只編寫部份的教材三本研究成品分成三類,第一類為理念篇,編寫相關教材的認知及數學結構,以及教學時可能產生的迷思概念;第二類為案例篇,編寫教師不易教學或可能教錯的部份教材;第三類為教學活動設計篇,在每個案例篇選擇一節課的教材,編寫成較詳細的教學活動設計四理念篇共有量與實測概論,面積,重量,角度,容量與體積等五個部分,每個部分再分成數個主題,分別說明相關之認知及數學結構五案例篇配合主題且擇要撰寫,尤其針對該主題之重要學習關鍵或教學不易掌握之處編寫;共計1案例,提供0節教學節數之教材六各案例之教學說明係聯絡該主題之理念該活動之目標,教師可參考教學活動流程及教學注意事項進行教學,亦可融入現行ix12或自編教材;指定作業部份可直接下載應用七本冊已選擇7個案例進行試教,並編寫較詳細的教學活動設計,除了提供課堂教學參考之外,也做為修改本教材之依據八本教材單元雖經研發團隊審慎研發編輯而成,惟疏漏之處仍在所難免,使用者針對案例可直接或間接以最適當的方式調整x13第一章:量與實測概論量與實測教材的內容與發展撰寫者:謝堅主題1-1:量與實測教材的內容與內容與發展1-1-1:量與實測教材的內容認知及數學結構國小量與實測教學中的量,包含長度容量角度面積體積重量時間等生活中常用的七種量,其中長度面積容量體積角度屬於幾何量,可以透過視覺產生量感,學生比較容易透過幾何的經驗掌握這些量的意義,教材編寫的方式也比較類似;重量無法透過視覺產生量感,必須透過手掂實物或利用工具來掌握量感,教材的編寫方式和前面的五種量有一些差異;而時間是看不見摸不到,無法具體表現出來,也不易掌握量感,教學時必須依賴工具及文化的約定,因此教材的編寫方式與前面這六種量完全不同國家教育研究院出版了很多與長度以及時間有關的影帶及書籍,在國民中小學教師專業成長影集中出版了長度篇與時間篇;在國民中小學教材與教學探討中出版了長度篇與時間篇(一)時間篇(二)時間篇(三),因此教材原型B冊中暫不討論時間及長度的教材與教學,在第二章中討論面積,第三章中討論重量,第四章中討論角度,第五章中討論體積與容量114第一章量與實測概論1-1-:量與實測教材的發展認知及數學結構感官量的學習包含概念的發展與工具的使用兩部份,這兩部份的學習會經歷下面的五個階段,第一階段:某量的初步概念;第二階段:某量的間接比較;第三階段:某量的普遍單位比較;第四階段:某量的測量單位制度概念;第五階段:某量的測量公式概念其中角度只經歷前面三個階段,長度容量與重量只經歷前面四個階段,而面積與體積則經歷五個階段(一)第一階段:某量的初步概念第一階段是某量的初步概念,可以區分成某量的認識某量的直接比較使用以某量為刻度單位的工具等三個部份,下面分別說明其意義(1)某量的認識一個長方體木盒,同時擁有長度面積體積容量角度重量等不同的性質,學生必須先知道不同的量在哪裡,才能討論該量的意義例如學童必須知道長方體木盒中的線段在那裡,才能比較兩條邊的長短;必須知道面在那裡,才能比較兩個側面面積的大小;必須知道角在那裡,才能比較兩個角角度的大小;必須知道重量是什麼,才能描述這個長方體木盒有多重;必須知道體積是什麼,才能描述這個長方體木盒木頭部份的體積有多大;153量與實測教材的內容與發展必須知道容量是什麼,才能描述這個長方體木盒最多能裝多少液體教師可以透過直觀比較,檢查學生是否掌握討論的量是什麼,以及其測量的意義例如教師指出黑板的長邊及寬邊,當學生知道長度的意義,就能說出長邊比寬邊長;指出黑板及講桌的桌面,當學生知道面積的意義,就能說出黑板比講桌的面積大()某量的直接比較剛開始引入量與實測教材時,只比較兩個量的大小,學生可以透過直接比較來判斷兩個量誰比較大,直接比較指的是不透過任何媒介物,利用直接比對來比較兩個量的大小關係例如要比較兩條繩子誰比較長的時候,只要將兩條繩子一端對齊後拉直,就能透過另一端看出哪一條繩子比較長;要比較報紙與圖畫紙誰的面積比較大的時候,只要確定圖畫紙完全包含在報紙的內部,就知道報紙的面積比較大這些比較的方式都是直接比較(3)使用以某量為刻度單位的工具學生剛開始使用測量工具時,因為沒有單位的概念,可能無法掌握刻度單位的意義,學生只報讀工具上的刻度,感覺刻度值大小與量的大小有關例如學生報讀一條木棍長7公分,指的是用直尺量木棍時,木棍的一端對齊0,另一端會對齊7,7公分是16第一章量與實測概論報讀刻度7得到的,7公分並不是7個1公分接起來的簡稱(二)第二階段:某量的間接比較第二階段是某量的間接比較,可以區分成某量的間接比較某量的個別單位比較與實測等二部份,分別說明其意義(1)某量的間接比較直接比較和間接比較,都是討論兩個量的大小關係,它們的差異是直接比較不必透過媒介物就能比較兩個量的大小,而間接比較必須透過媒介物才能比較以比較AB兩棟大樓教室黑板的長邊為例,因為無法將A大樓教室的黑板搬到B大樓的教室進行直接比較,必須透過媒介物的幫忙,才能判斷哪一棟大樓教室黑板的長邊比較長最常用的方法是透過先複製再直接比較的方式來解決問題,例如先拿一條繩子把A大樓黑板的長邊複製下來,再拿著複製的繩子和B大樓黑板的長邊進行直接比較,如果繩子比B大樓黑板的長邊長,A大樓黑板的長邊比較長,如果繩子比B大樓黑板的長邊短,B大樓黑板的長邊比較長如果能找到一根比A大樓黑板的長邊長,比B大樓黑板的長邊短的竹竿,也可以透過遞移性,B大樓黑板的長邊比竹竿長,竹竿比A大樓黑板的長邊長,得到B大樓黑板的長邊比A大樓黑板的長邊長的結果4175量與實測教材的內容與發展再以考卷上有兩條直線段,問哪一條線段比較長為例,說明直接比較與間接比較的差異如果學童撕下考卷中的一條線段,直接和另一條線段比長短,他是利用直接比較來解題;如果學童用鉛筆或繩子複製一條線段的長,再和另一條線段比長短,他是利用間接比較來解題()某量的個別單位比較與實測直接比較和間接比較都只能比較兩個量的大小關係,當我們要同時比較很多量的大小,或描述某一個量有多大時,最好的方法就是選定一個單位,透過單位的累積會分割將這些量數字化,透過數字來描述並比較這些量的大小以比較AB兩棟大樓教室的面積為例,我們可以選擇相同大小的報紙當做個別單位來比較兩棟大樓教室面積的大小我們先拿一些報紙將A大樓教室鋪滿,再拿著鋪滿A大樓教室的報紙來鋪B大樓的教室,如果報紙還有剩,表示鋪A大樓教室報紙的張數比較多,所以A大樓教室的面積比較大,如果報紙不夠,表示鋪A大樓教室報紙的張數比較少,所以B大樓教室的面積比較大上面是透過一對一對應的概念,解決比較兩間教室面積大小的問題,如果我們用報紙鋪滿AB兩棟大樓的教室,再分別點數報紙的張數,將兩間教室的面積數值化,例如鋪滿A大樓教室的報紙有9張,鋪滿B大樓教室的報紙有85張,就能透過數字的18第一章量與實測概論大小判斷兩間教室面積的大小,因為9比85大7,所以A大樓教室的面積比較大,而且多了7張報紙合起來的面積透過單位量將要測量的量數值化有兩個好處,第一個好處是可以描述教室的面積和多少張報紙的面積合起來一樣大;第二個好處是透過數字的大小,可以同時比較很多教室面積的大小建議教師多讓學童有自行選擇合適的個別單位,並將個別單位數字化後來比較或描述的解題經驗,應為它是量與實測的核心概念(三)第三階段:某量的常用常用單位比較第三階段是某量的常用單位比較,常用單位指的是某時代多數人經常使用的單位,也可以稱之為標準單位下面區分成認識某常用單位的意義以常用單位量為單位,進行實測與估測的活動等二部份說明其意義(1)認識某常用常用單位的意義如果每個人所選擇的個別單位都不相同,在溝通的過程中容易產生誤會,例如小明說他書房的面積和3張報紙合起來一樣大,小花說她書房的面積和51張報紙合起來一樣大,除非他們所選擇報紙的面積都一樣大,否則無法透過數字的大小判斷誰書房的面積比較大又如小英請媽媽幫她到文具店買和50個手扠一樣長的彩帶,因為媽媽文具店的店員和小英手扠的長度不相同,買回來彩帶的長度可能不符合小英的需求6197量與實測教材的內容與發展為了解決個別單位所產生的誤會,必須引入大家都認同的單位,常用單位或標準單位指的是多數人使用的單位,如果大家都使用相同的單位,就不會產生上面的爭議公制單位和民間單位都是常用單位,只是在國小的數學課程中,以公制單位為主要討論的對象,教師可以引入一些民間單位的問題,檢查學生是否掌握單位量及單位量數值化的概念()以常用常用單位量為單位,進行實測與估測的活動學生有個別單位或常用單位的概念後,教師應幫助學生掌握直尺等工具刻度的意義,例如直尺刻度0到刻度7長7公分,刻度5到刻度1也長7公分,因為它們都和7個1公分接起來一樣長(四)第四階段:某量的測量單位制度概念第四階段是某量的測量單位制度概念,區分成認識甲常用單位量及乙常用單位量的關係甲常用單位量及乙常用單位量的化聚等二部份,分別說明其意義(1)認識甲常用常用單位量及乙單位量及乙常用常用單位量的關係認識甲常用單位量及乙常用單位量的關係,指的是經常使用兩單位間的換算關係,下面以公尺公分公里這三種長度的普遍單位為例,說明如何幫助學生認識公分和公尺,以及公尺和公里兩單位間的關係20第一章量與實測概論建議教師先引入公分單位,再引入公尺單位,最後才引入公里單位而且透過兩種不同的方式,分別引入公分和公尺,以及公尺和公里兩常用單位間的關係為了要建立常用單位的概念,建議教師分別引入公分以及公尺兩種單位,再討論這兩種單位之間的關係,例如先引入1公分的單位,要求學生以1公分為單位進行實測及估測,再引入1公尺的單位,要求學生以1公尺為單位進行實測及估測,最後才說明公分和公尺兩單位的關係,例如100個1公分接起來和1公尺一樣長,所以100公分=1公尺;將1公尺等分成100份後,其中的1份和1公分一樣長,所以分公尺=1公為了節省教學時間並且和公制單位接軌,建議教師直接透過公尺單位引入公里單位例如1公里是1000個1公尺接起來另一個名字的方式,引入公里單位,得到1公里=1000公尺的結果後,再進行以1公里為單位的實測與估測()甲常用常用單位量及乙單位量及乙常用常用單位量的化聚有兩個以上的單位,才會有單位間化與聚的問題其中較大的單位轉換為較小的單位稱之為化較小的單位轉換成較大的單位稱之為聚有關兩單位間化聚的教學,會在1--4及1--5中821量與實測教材的內容與發展說明(五)第五階段:某量的測量公式概念國小量與實測的教學中,長度角度重量容量等量都有工具可以測量,例如我們常用直尺或捲尺來測量長度用量角器來測量角度用磅秤來測量重量用量杯來測量容量;但是國小階段沒有測量面積和體積的工具某量的測量公式概念,主要是針對面積及體積,重點是說明如何使用測量公式替代測量工具解決實測的問題,至於如何引入面積及體積的公式,會在第二章及第五章說明雖然感官量教材的發展都要經過上述的五個階段,但是因為長度容量重量角度面積體積教材內容的屬性及認知難度的差異,會讓不同感官量的教材落入不同的年級以9及97課綱為例,國小二年級時,長度教材已進入第三及第四階段的教學,但是容量重量面積教材才開始引入,並進行第一及第二階段的教學;國小三年級時,長度教材已進入第四階段的教學,但是容量重量教材才進行第三階段的教學,角度的教材才開始引入,並進行第一第二階段的教學,國小三年級還沒有體積的教材,體積的教材在四年級才開始引入922第一章量與實測概論主題1-:測量單位與測量單位的化聚1--1:測量單位及測量單位的數量化認知及數學結構:對國小學生而言,數字是用來描述離散量的個數,例如5條繩子,7顆蘋果等當學生面對1條繩子長30公分,或1個蘋果重38公克的情境時,他可能無法理解,為什麼1條繩子會冒出30這個數字,1個蘋果會冒出38這個數字下面說明為什麼可以使用數字來描述,以及將這些量數字化對我們有那些幫助?有一條要被測量長度的甲繩,當我們選定1公分當做長度的單位量,就可以利用單位量累積的次數來描述甲繩的長度,例如30個1公分接起來和甲繩一樣長,就稱甲繩的長度是30公分我們也可以將單位量等分割,稱等分割後的量為單位分量,再利用單位分量累積的次數來描述繩子的長度,例如將單位量1公尺平分成10份,得到單位分量110公尺,3個110公尺接起來和甲繩一樣長,就稱甲繩的長度是310公尺透過單位量將要測量的量數值化有兩個好處,以長度量為例,第一個好處是能描述被測量的繩子有多長,第二個好處是透過數字的大小,可以比較所有被測量繩子的長短10231--:量感測量單位與測量單位的化聚認知及數學結構:長度面積容量體積角度重量這六種感官量中,估測那些量比較準?為什麼這些量比較容易估測?跳繩走廊萬里長城及細菌的長度中,估測那些量比較準?為什麼很長或很短的情境都不容易估測?能進行有效率的估測,要有那些先備能力?測量是將單位量數值化的結果,因此掌握的單位量愈多,愈容易描述測量的結果,當我們能夠掌握1公分的量感,就能透過1公分累積的次數,描述鉛筆大約長多少公分透過1公分的累積次數描述走廊有多長很困難,因為累積的次數太多,如果我們能夠掌握1公尺的量感,就能透過1公尺累積的次數,描述走廊大約長幾公尺當學生知道拇指和食指間的寬度是7公分(1扠),就能以1扠為單位量,測量黑板的長度,例如40個1扠接起來和黑板一樣長,黑板的長度就是40個1扠,也就是407=80公分用1扠為單位量測量教室的周長太麻煩,當學生也知道伸直雙手的長度是1.5公尺,就能以伸直雙手的長度為單位量,測量教室的周長,例如30個伸直雙手的長度接起來和教室的周長一樣長,教室的周長就是=45公尺1124第一章量與實測概論由以上的描述可以知道,必須有單位量的概念,才能透過單位量的累積次數概略描述被測量的量是多少個單位量,多數成人估測長度及角度不會太離譜,估測重量比較困難因為成人掌握較多長度的單位量,可以透過單位量累積的次數描述被測量的量和單位量的倍數關係,來描述繩子有多長;成人也能掌握直角是90度,可以透過和90度的比較,或將90度先分割再合成的方式,概略描述一個角是多少度多數成人無法掌握1公克或1公斤的量,因此無法較正確的描述物體的重量;多數成人也沒有適合描述很長或很短長度的單位量,所以無法正確估測萬里長城或細菌的長度1251--3:公制單位與常用單位測量單位與測量單位的化聚認知及數學結構:(一)公制單位公制單位是十進位制的單位,全世界通用,而且方便記憶國小課本中出現的單位是社會上較常使用的公制單位,稱之為常用單位在測量長度重量容量時,公制單位都先選擇一個基準單位,並使用一組形容詞來描述各單位與基準單位間的十進關係以長度單位為例,公制單位選擇米當做長度的基本單位,然後在米前面加上十百千.百萬.十億.等形容詞表示這些單位與米的十倍百倍千倍.百萬倍.十億倍.的關係,例如千米表示和1000個1米接來一樣長在米前面加上分厘毫.微.奈.等形容詞表示這些單位與米的十分之一倍百分之一倍千分之一倍百萬分之一倍.十億分之一倍.的關係,例如:厘米表示百分之一米,毫米表示千分之一米,微米表示百萬分之一米,奈米表示十億分之一米相同的,公制單位選擇了公升當做容量的基準單位,分公升表示十分之一公升,毫公升表示千分之一公升,微公升表示百萬分之一公升,有時也將分公升毫公升等簡稱為分升毫1326第一章量與實測概論升因此,當我們知道不同單位的基準單位之後,只要記憶一組形容詞,就能夠掌握單位間的倍數關係,對解決單位間的化聚有很大的幫助下面提供長度及容量不同單位對應的表格,第三行的描述方式和第二行英文公制單位的描述方式一致長度單位:公里公引公丈公尺公寸公分公釐Kmhmdammdmcmmm千米百米十米米分米厘米毫米容量單位:公秉公石公斗公升公合公勺公撮Klhldalldlclml千公升百公升十公升公升分公升厘公升毫公升在97年頒布九年一貫課程綱要,數學學習領域附錄三的度量衡列表中,出現的單位並不完全是公制單位的記法,例如長度單位出現公里公尺公分與毫米;容量單位出現公升及毫公升,重量單位出現公噸公斤及公克(二)常用單位以長度的單位為例,我國每十倍就有一個單位的名稱,例如公里公引公丈公尺公寸公分公厘都是長度的單位;公制單位每十倍也有一個單位的名稱,例如km(千米)hm(百米)142715測量單位與測量單位的化聚dam(十米)m(米)dm(分米)cm(厘米)mm(毫米)等都是長度的單位,但是日常生活中,並不需要用到這麼多的單位以公制長度的基本單位米為例,西方人認為1000以內的數量都是可以掌握的,因此13個1米稱為13米即可,並不需要引入新的單位十米,將13米稱為1十米3米;78個1米稱為78米即可,並不需要引入新的單位百米和十米,將78米稱為百米7十米8米當1米的個數超過1000個時,才需要引入新的單位千米,並將465個1米稱為千米465米公制單位是西方人發明的,延伸西方人三位一撇的概念,在長度單位中,經常使用的單位是千米米毫米微米奈米,其中千米是米的1000倍,米是毫米的1000倍毫米是微米的1000倍微米是奈米的1000倍,也就是說,經常使用的單位間都滿足1000倍的關係轉換成我們熟悉的單位,日常生活中經常使用的長度單位是公里公尺公分公厘,重量單位是公噸公斤公克,容量單位是公秉公升公撮,如果將公分拿走,相鄰兩個單位間都是1000倍的關係引入換單位概念時,應該先引入兩單位間的10倍關係,再引入兩單位間的100倍關係,最後才引入兩單位間的1000倍關係,28第一章量與實測概論因此國小數學教材,除了出現上面這些常用的單位外,還要引入公合(分公升)等單位,其中1公尺=100公分1公分=10公厘,1公升=10公合換句話說,只要能掌握三位一撇的概念,再記憶公分和公尺公分和公厘,以及公合和公升的倍數關係,就可以掌握國小皆段所有不同單位間的倍數關係16291--4:單位的位的化聚測量單位與測量單位的化聚認知及數學結構:有兩個以上的單位,才會有單位間化與聚的問題其中較大的單位轉換為較小的單位稱之為化,例如將1公尺化為100公分,較小的單位轉換成較大的單位稱之為聚,例如將100公分聚成1公尺單位呈現的格式有兩種,一種稱為單名數,例如:3公尺3.6公克7公升5小時等都是單名數;另一種稱為複名數,例如3公尺0公分3日5小時0分30秒等都是複名數單位化聚的類型可以區分為四類,第一類是整數倍單名數化聚第二類是整數倍複名數化聚第三類是分小數倍單名數化聚第四類是分小數倍複名數化聚整數倍單名數化聚又可以區分為兩類,一類是大單位化成小單位,例如3公尺=300公分日=48小時另一類是小單位聚成大單位,例如5000公克=5公斤70分=1時整數倍複名數化聚也可以區分為兩類,一類是大單位化成小單位,例如3公尺0公分=30公分日15時=63時另一類是小單位聚成大單位,例如5400公克=5公斤400公克150分=1日1時0分分小數倍單名數化聚也可以區分為兩類,一類是大單位化成小1730第一章量與實測概論單位,例如0.公尺=0公分3.公尺=30公分.6日=6.4小時另一類是小單位聚成大單位,例如40公克=0.04公斤5040公克=5.04公斤615分=5.5時分小數倍複名數化聚也可以區分為兩類,一類是大單位化成小單位,例如3.公尺=3公尺0公分日1時=.5日另一類是小單位聚成大單位,例如5公斤40公克=5.04公斤4時15分=4.5時化聚問題中比較困難的是分小數倍單名數的化聚,下面區分成大單位化成小單位,以及小單位聚成大單位兩部份,概略說明如何進行分小數倍單位化聚的教學(一)分小數倍單名數化聚(大單位化成小單位)以0.公尺=()公分為例,說明如何幫助不同階段的學生解決問題策略甲:利用分數做數的概念來解題中年級學生已有分數做數,以及一位小數和十分之幾分數互換的解題經驗,教師可以透過下面的步驟幫助學生解決問題步驟1:1盒蘋果有0個,35盒蘋果有多少個?教師可以透過35盒蘋果是將1盒蘋果平分成5份後,取出其中的3份,也就是將0個蘋果平分成5份,取出其中的3份的想法,幫助學生利用算式05=4,43=1,1831測量單位與測量單位的化聚算出35盒蘋果有1個的答案步驟:將小數0.改記成分數,記記看教師透過小數0.是分數10的另一種記法;或透過0.是個0.1,也就是個110,個110是10的想法,幫助學生將0.改記成10步驟3:1公尺和100公分一樣長,0.公尺和幾公分一樣長?當學生能將0.改記成10,就能利用算式=10,10=0,算出0.公尺和0公分一樣長策略乙:利用單位量轉換的概念來解題當學生知道3公尺是3個1公尺,0.公尺是0.個1公尺,也有解決整數乘以小數問題的經驗,就能透過單位量轉換的想法解決問題0.公尺是0.個1公尺0.公尺是0.個100公分(1公尺=100公分)0.公尺是100公分的0.倍(可以記成)0.公尺是0公分(1000.=0)策略丙:利用比的概念來解題1932第一章量與實測概論當學生能掌握比與比值的意義後,就能透過四項比例式1公尺:100公分=0.公尺:()公分解決問題學生可能利用相等的比的概念,1:100=:00=0.:0,得到0.公尺=0公分的答案也可能利用內項乘以內項等於外項乘以外項的算則,1:100=0.:甲,1000.=1甲,甲=0,得到0.公尺=0公分的答案(二)分小數倍單名數化聚(小單位聚成大單位)以40公克=()公斤為例,說明如何幫助不同階段的學生解決問題策略甲:利用整數除以整數,答案是分數或小數的概念來解題當學生有包含除問題的解題經驗,也有整數除以整數,答案是分數或小數的解題經驗,可以透過下面的步驟幫助學生解決問題步驟1:有400個蘋果,每1000個裝1箱,全部裝完,相當於裝成幾箱?學生可以利用算式=0.4或=,算出400個蘋果相當於0.4箱或的答案步驟:有40公克,每1000公克換成1公斤,全部換完,相當於多少公斤?033測量單位與測量單位的化聚學生可以利類比步驟1的解題經驗,用算式=0.04或=,算出40公克相當於0.04公斤或公斤的答案策略乙:利用單位量轉換的概念來解題當學生童知道40公克是40個1公克,1公克是公斤,也有小數乘以整數的解題經驗,就能透過單位量轉換的想法來解決問題40公克是40個1公克40公克是40個公斤(1公克=0.001公斤)40公克是公斤的40倍(可以記成)40公克是0.04公斤(=0.04)策略丙:利用比的概念來解題當學生能掌握比與比值的意義後,就能透過四項比例式1公斤:1000公克=()公斤:40公克解決問題學生可能利用相等比的概念,1:1000=0.01:10=0.04:40,得到40公克=0.04公斤的答案也可能利用內項乘以內項等於外項乘以外項的算則,1:1000=乙:40,140=1000乙,乙=0.04,得到40公克=0.04公斤的答案134第一章量與實測概論35第二章:面積面積的意義撰寫者:謝堅主題-1:面積的意義-1-1:單位面積的意義認知及數學結構:(一)測量面積面積的單位長度是一維的量,只能選擇直線段或曲線段當做測量長度的單位,因為以直線段為單位比較容易測量,所以數學上選擇直線段為測量長度的單位,以長度單位1公分為例,繩長5公分,指的是繩子和5個1公分接起來一樣長面積是二維的量,因此有比較多選擇測量面積單位的方式想想看,正三角形正方形滿足黃金分割的長方形正五邊形正六邊形圓形等圖形中,那些圖形能當作測量面積的單位,哪種圖形當作測量面積的單位最恰當?圓形及正五邊形無法無空隙延伸的鋪滿整個平面,因此它們不能當作測量面積的單位;正三角形滿足黃金分割的長方形正六邊形等都可以無空隙的鋪滿整個平面,但是有效率的點數這些圖形的個數不太方便;而透過乘法計算排列整齊正方形的個數很方便,在直角坐標上求圖形的面積也很方便等原因,因此數學上選擇正方形當作測量面積的單位(二)單位面積的命名336第二章面積-理念篇以單位面積1平方公分為例,有兩種命名的方法第一種:拿出邊長1公分的正方形,直接宣告邊長1公分正方形的面積是1平方公分第二種:透過公分乘以公分是平方公分的方式,說明邊長1公分正方形的面積是1公分乘以1公分,也就是1平方公分很多教師習慣透過第二種方法命名1平方公分,這種命名的方式是不合理的,因為國小學生只學過兩個數字相乘,並沒有學過兩個單位相乘如果公分公分=平方公分的結論是正確的,那麼公克公克=平方公克公升公升=平方公升的結論也應該成立,但是我們並沒有聽過平方公克和平方公升這些單位台灣民間經常使用的面積單位是坪,依據前面公分相乘的說法,坪坪才會得到坪這個單位,但是我們並不知道坪有多長以前台灣民間經常使用褟褟米,褟褟米的大小是大家熟悉的面積單位,因為褟褟米是長方形,為了測量方便,選擇和個褟褟米合起來一樣大圖形的面積為建地的測量單位,稱為1坪成人習慣透過公分公分=平方公分引入單位面積1平方公分,主要是受到正方形面積=邊長邊長這個公式的影響,437面積的意義因為直觀的看,正方形面積公式是透過長度長度得到的請注意,在引入1平方公分單位之前,學生尚未學過正方形及長方形的面積公式(三)單位面積的累加及分割教師可以透過累積及分割單位面積的方式,檢查學生是否掌握單位面積1平方公分的意義例如要求學生畫出面積是5平方公分的圖形,檢查學生是否理解5平方公分就是5個1平方公分合起來的意義;要求學生畫出1平方公分的圖形,檢查學生是否理解1平方公分就是將1平方公分平分成份,再取出其中1份的意義相當多學生誤解1平方公分的意義,畫出邊長為1公分的正方形(面積是14平方公分),稱該正方形的面積是1平方公分教師可以透過下面幾個步驟,先幫助學生掌握1平方公分單位的意義,再正確的畫出1平方公分步驟1:拿出1張圓形色紙代表1個披薩,要求學生畫出1個披薩;或拿出1條繩子,要求學生畫出1條繩子538第二章面積-理念篇步驟:拿出1平方公分的色紙,要求學生畫出1張色紙,學生可能有很多畫出1張色紙的方法,教師都應該接受步驟3:因為色紙的面積是1平方公分,1張色紙的面積是1張色紙的一半,也就是1平方公分的一半,1平方公分的一半是1平方公分國小三年級課程已經引入單位分數及真分數的意義,因此當國小三年級引入單位面積1平方公分的意義後,畫出1平方公分對國小中高年級學生而言應該並不困難,學生為什麼會將邊長為1公分正方形面積視為1平方公分,可能有下面二個理由:第一個理由是學生沒有單位面積的概念,不知道1平方公分是1個1平方公分;第二個理由是學生只會利用長方形及正方形面積公式解決求面積的問題,但是並不理解面積公式的意義639-1-:面積常用常用單位的引入面積的意義認知及數學結構:(一)一次方單位的引入及的引入及化聚長度的單位(例如公尺公分等),容量的單位(例如公升毫公升等),角度的單位(例如度),重量的單位(例如公斤公克等)時間的單位(例如小時分鐘等),都是一次方的單位;面積的單位(例如平方公尺平方公分等),是二次方的單位,體積的單位(例如平方公尺平方公分等),是三次方的單位下面以長度單位公尺和公里為例,說明兩種引入一次方單位及其化聚的方式:第一種:分別引入1公尺和1公里兩種單位,再討論它們之間的化聚關係步驟1:引入1公尺的單位,並做相關的實測估測與計算步驟:引入1公里的單位,並做相關的實測估測與計算步驟3:宣告1000個1公尺接起來和1公里一樣長,引入1000公尺=1公里步驟4:透過將1公里平分成1000份,其中的1份和1公尺一樣長,引入公里=1公尺740第二章面積-理念篇第二種:先引入1公尺的單位,再透過累積1公尺的方式引入1公里,並討論它們之間的化聚關係步驟1:引入1公尺的單位,並做相關的實測估測與計算步驟:給1000個1公尺接起來的長度一個新名字,稱為1公里,即1000公尺=1公里步驟3:透過將1公里平分成1000份,其中的1份和1公尺一樣長,引入公里=1公尺步驟4:以1公里為單位,做相關的實測估測與計算因為第一種引入的方式比較自然,像民間單位的精神,第二種引入的方式強調1公尺的累積,比較接近公制單位的精神建議教師首引公分及公尺單位時,採用第一種引入的方式,接下來引入公尺及公里,公分及公釐(毫米)單位時,採用第二種引入的方式(二)平分公分及平方公尺單位的引入平方公尺單位的引入及化聚平方公尺及平方公分都是二次方的單位,國小課程都先引入1平方公分,再引入1平方公尺,有兩種引入1平方公尺,以及討論平方公分和平方公尺化聚的方式:第一種:先命名1平方公尺,再透過將1平方公尺化為平方公分的方式,進行平方公分和平方公尺的化聚841面積的意義步驟1:先命名邊長1公尺的正方形面積為1平方公尺步驟:1平方公尺是邊長100公分正方形的面積,邊長100公分正方形是由個1平方公分組成的,所以1平方公尺=10000平方公分(a)如果已引入正方形面積公式,可以利用公式算出答案(b)如果尚未引入正方形的面積公式,可以利用平方公分板,透過點數或乘法算式算出答案步驟3:將1平方公尺平分成份,其中的1份是1平方公分,所以1平方公分=平方公尺第二種:先命名1平方公尺,再透過將1平方公分聚為1平方公尺的方式,進行平方公分和平方公尺的化聚步驟1:先命名邊長1公尺的正方形面積為1平方公尺步驟:邊長1公分正方形面積是1平方公分,個1平方公分可以排成邊長100公分的正方形,100公分=1公尺,邊長1公尺正方形的面積是1平方公尺,所以個1平方公分排成正方形的面積是1平方公尺步驟3:邊長1公分正方形面積是1平方公分,個1平方公分排成正方形的面積是平方公分,所以平方公分=1平方公尺942第二章面積-理念篇步驟4:將1平方公尺平分成等份,其中的1份是1平方公分,所以1平方公分=平方公尺(三)公頃公畝及平方公里單位的引入公畝及平方公里單位的引入平方公分平方公尺平方公里都是二次方描述的面積單位,平方公里單位的引入,和平方公分及平方公尺單位引入的方式相同(見下圖),都是透過邊長是單位長度的正方形引入單位面積正方形的邊長1公分1公尺1公里正方形的面積1平方公分1平方公尺1平方公里公頃和公畝都是一次方描述的面積單位,如下面的表格,有兩種命名公畝和公頃的方式:正方形的邊長1公尺10公尺100公尺1000公尺正方形的面積1平方公尺1公畝1公頃1平方公里第一種:直接命名邊長10公尺正方形的面積為1公畝,邊長100公尺正方形的面積為1公頃第二種:分別算出邊長10公尺正方形的面積為100平方公尺,邊長100公尺正方形的面積為平方公尺,再命名100平方公尺為1公畝,10000平方公尺為1公頃3043主題-:長(正)方形的面積公式長(正)方形的面積公式--1:長方形及正方形面積公式認知及數學結構:(一)長邊及寬邊都是整公分的長方形面積公式長邊和寬邊是長方形的組成要素,最有效率求長方形面積或周長的方式,就是將長邊與寬邊的長度,直接代入公式算出答案,長邊寬邊是求長方形面積的公式,(長邊+寬邊)是求長方形周長的公式很多學生面對求長方形面積或周長問題時,無法選擇正確的公式來解題,主要的理由是長方形面積和周長公式中,都出現長邊和寬邊,而學生無法掌握長方形面積公式及周長公式的意義下面透過四個步驟,說明如何幫助學生理解長邊及寬邊都是整公分的長方形面積公式步驟1:建立單位面積1平方公分的概念,幫助學生知道a個1平方公分合起來圖形的面積是a平方公分邊長1公分的正方形面積是1平方公分,下圖的面積和7個1平方公分合起來一樣大,所以下圖的面積是7平方公分3144第二章面積-理念篇步驟:給定一個長方形,用1平方公分的方瓦將它鋪滿後,限制學生用一排有幾個,有幾排的方式計算長方形的面積是多少平方公分,並用乘法算式記錄計算面積的過程下圖是一個用1平分公分方瓦鋪滿的長方形,學生可以透過點數或加法算出長方形的面積是15平方公分,教師必須要求學生使用一排有幾個1平方公分的格子,一共有幾排的方式,利用乘法53=15或35=15算出面積是15平方公分,才能幫助學生引導出長方形面積的公式步驟3:察覺被乘數乘數和長邊寬邊的公分數間的關係當學生能使用乘法53=15算出長方形的面積是15平方公分後,教師可以幫助學生察覺乘法算式中被乘數與乘數,和長方形中長邊和寬邊長度的關係算式中被乘數5的和長方形長邊長5公分有關,乘數3和長方形寬邊長3公分有關長邊是5公分,剛好有5個1平方公分的格子,也就是一排有5個1平方公分,寬邊是3公分,剛好有3個1平方公分的格子,也就是一共有3排345長邊5公分一排有5個1平方公分長(正)方形的面積公式寬邊3公分有3排步驟4:利用長邊及寬邊的公分數,直接用乘法算出單位面積的個數,並形成長乘以寬公式算法的共識長邊是5公分,表示一排有5個1平方公分,寬邊是3公分,表示一共有3排,因此可以透過長邊及寬邊的公分數,利用一排有幾個,有幾排的方式算出長方形的面積,並得到長方形面積=長邊的公分數寬邊的公分數的公式,當學童有一些利用上述公式的解題經驗後,教師可以將面積公式長邊的公分數寬邊的公分數簡稱為長邊寬邊或長寬長方形面積公式的意義不是5公分3公分=15平方公分,而是1平方公分5(個)3(排),面積公式計算出長方形是由15個1平方公分合起來,所以長方形的面積是15平方公分(二)長邊或寬邊不是整公分的長方形面積公式上面討論的是長邊和寬邊都是整公分長方形的面積公式,接下來說明當長邊或寬邊是分數或小數公分時,長方形面積=長邊寬邊的公式還是成立,也就是說,不論長邊與寬邊的長度是整數分數或小數公分,都可以將長與寬的數字直接代入長寬3346第二章面積-理念篇公式中算出答案以長47公尺,寬35公尺色紙的面積是多少平方公尺為例,提出兩種幫助學生理解長邊或寬邊是分數或小數公分時面積公式的方法:第一種方法:延伸長邊和寬邊都是整公分長方形面積公式的意義步驟1:複習長邊和寬邊都是整公分的問題長4公尺寬3公尺的長方形面積是多少平方公尺?,要求學生說明長寬=43=1是計算有多少個1平方公尺步驟:畫出待求的單位1平方公尺,接著在其中畫出長邊47公尺寬邊35公尺的長方形,並將1平方公尺平分成=35等份(見下圖)步驟3:長方形的長邊和4個135平方公尺接起來一樣長,寬邊和3個135平方公尺接起來一樣長,可以利用乘法算式344743=1,算出色紙的面積是1個135長(正)方形的面積公式平方公尺,也就是135平方公尺步驟4:幫助學生察覺,算式==135中的43是計算有幾個135平方公尺,和原來用43計算幾個平方公尺的長方形面積公式是相同的,因此可以延伸原來的長方形面積公式,透過長寬===135算出長47公尺,寬35公尺長方形面積是135平方公分第二種方法:延伸分數乘以分數乘法的意義步驟1:複習分數乘法問題一張白紙有47平方公尺,35張白紙有多少平方公尺?,對待答的單位量1平方公尺而言,它是二次分割的問題,第一次分割是將1平方公尺平分成7份,取出其中的4份得到47平方公尺,第二次分割是將47平方公尺平分成5份,取出其中的3份得到135平方公尺,因此可以透過=135算出答案是3548第二章面積-理念篇135平方公尺步驟:長47公尺,寬35公尺色紙的面積是多少平方公尺和上述問題的解題方式相同,也是將1平方公尺進行二次等分割,因此也可以透過長寬==135,算出長47公尺,寬35公尺白紙的面積是135平方公尺3649--:長方形面積公式的迷思概念長(正)方形的面積公式認知及數學結構:(一)長方形的長邊與寬邊因為長方形面積=長寬,因此長方形哪一邊稱為長邊哪一邊稱為寬邊常引起爭議數學上並沒有給長邊或寬邊下定義,日常生活中,常見下面這三種定義長邊和寬邊的方式第一種:因為受到長這個關鍵字的影響,稱比較長的那一邊為長邊,比較短的那一邊稱為寬邊第二種:由長方形擺放的位置決定長邊和寬邊,將長方形擺正後,稱水平方向的那一邊為長邊,鉛直方向的那一邊為寬邊這種定義的方式有一個缺點,如果兩個人擺放的方式不相同,他們所稱的長邊和寬邊就不相同第三種:因為只要確定長邊和寬邊就能決定一個長方形,因此長邊和寬邊是同等的重要,只要約定其中的一邊為長邊,那麼剩下的另一邊就是寬邊長方形有兩雙對邊等長,四個角都是直角的性質,因此只要給定長方形長邊和寬邊的長度,就能畫出唯一的長方形但是當學生尚未完全掌握長方形的性質時,只告訴學生長邊和寬邊的長度,學生可能無法畫出正確的長方形(二)為什麼長度單位相同才能利用乘法算出面積?3750第二章面積-理念篇因為數學上選擇正方形當作測量面積的單位,因此利用面積公式算長方形的面積時,長和寬的單位必須相同,才能算出有幾個單位面積下面是筆者詢問國小中高年級學生的案例:長3公分寬公尺長方形的面積是多少?,因為沒有詢問面積的單位,因此600平方公分0.06平方公尺都是合理的答案,不知道教師們是否能接受6公分公尺的答案國小學生對整數的乘法運算比較熟悉,多數都先將公尺改寫成00公分後,再利用長方形面積公式算出答案是600平方公分;只有少數的學生將3公分改寫成0.03公尺,再利用長方形面積公式算出答案是0.06平方公尺學生算出答案後,筆者接著追問為什麼3公分和公尺不可以直接相乘?,學生都回答長和寬的單位要相同才可以相乘;筆者再追問為什麼要將長和寬換成同單位以後才能相乘?;此時學生不是拒絕回答,就是回答這是規定(三)線段和線段乘積的意義圖一中有1ab三條線段,請畫出ab的圖形1ab3851長(正)方形的面積公式很多人都認為線段和線段的乘積是面積,於是畫出長邊是線段a寬邊是線段b的長方形,說明這個長方形的面積就是ab這種畫法並沒有解決上面的問題,問題中要求畫出的是線段a和線段b乘積ab的圖形,不是畫出面積是ab長方形的圖形下面提出一種畫出線段a和線段b的乘積ab圖形的方法,畫出來ab的圖形還是一條線段如下圖,先過O點畫出一條射線OX,並在射線OX上依序畫出線段OA=1,線段AB=a再過O點畫出另一條射線OY,並在射線OY上畫出線段OC=b連接AC兩點,再過B點畫出平行於線段AC的線段BD,且交射線OY於D點,假設線段CD的長是x因為OAB和OBD相似,所以對應邊長度成比例,可以得到OA:AB=OC:CD,也就是1:a=b:x,透過內項乘以內項等於外項乘以外項的公式,可以算出x=ab也就是說,a和b是兩條線段,線段a和線段b的乘積ab還是一條線段仿上面的畫法,可以透過1:ab=b:y,畫出abb的圖形,abb的圖形不是體積為abb的長方體,abb的圖形還是一條線段3952第二章面積-理念篇xDYbCO1AaBX405341平行四邊形三角形梯形面積公式主題-3:平行四邊形三角形三角形梯形面積公式-3-1:引入面積公式(策略一)認知及數學結構:數學上選擇正方形當作測量面積的單位,長方形和正方形很容易被單位面積覆蓋,也很容易利用乘法算出其面積(單位面積的個數)平行四邊形三角形及梯形無法被單位面積剛好蓋滿,因此不易直接算出這些圖形的面積,必須透過公式幫助,才能較快速的算出面積接下來,介紹兩種引入平行四邊形三角形及梯形面積公式的方法第一種方法:先引入平行四邊形面積公式,再透過平行四邊形面積公式引入三角形及梯形面積公式這種方法的優點是只要操弄圖形就能引入公式,不涉及代數式的運算;缺點是解法不自然,學生無法自發性的解題,必須透過教師的引導才能導出公式九年一貫課程綱要在五年級就引入平行四邊形三角形梯形面積公式,因此多數課本都透過第一種方法引入面積公式第二種方法:以長方形和直角三角形面積公式為基準,將平行四邊形三角形梯形分割成長方形和直角三角形後,分別算出長方形和直角三角形的面積後再相加,就能算出平行四邊形三角形和梯形的面積54第二章面積-理念篇這種方法的優點是學生可以自行解題,缺點是引入公式時涉及代數式的運算,不易導出面積公式以下較詳細的說明這兩種引入面積公式方法的教學流程第一種引入面積公式方法的教學流程:步驟1:透過分割及合成,將平行四邊形轉換成等積異形的長方形下圖中,圖一是平行四邊形,我們可以將圖一中的平行四邊形分割成圖二中兩個全等的直角三角形和一個長方形;如果將圖二中左邊的直角三角形A切割下來,補在右邊直角三角形旁邊,讓兩個直角三角形對應的斜邊重合,圖二中的平行四邊形就會變形成圖三中的長方形,而且圖二的平行四邊形和圖三的長方形面積相等圖三中長方形的長邊就是圖一中平行四邊形的底邊,因此只要量出圖三中長方形的寬邊,就可以算出圖三長方形的面積,圖三長方形的面積也就是圖一平行四邊形的面積AA圖一圖二圖三步驟:命名平行四邊形的高,導出平行四邊形的面積公式455平行四邊形三角形梯形面積公式平行四邊形有4個邊,4個角,平行四邊形並沒有高,想想看,何謂平行四邊形的高?為什麼要定義平行四邊形的高?透過步驟一分割及合成的活動,可以將圖四中的平行四邊形轉換成圖五中等積異形的長方形,圖五長方形的長邊和圖四平行四邊形的底邊等長,圖五長方形的寬邊和圖四平行四邊形另一邊並不等長,因此必須求出圖五中長方形的寬邊,才能算出圖四平行四邊形的面積圖五長方形的寬邊剛好是圖四平行四邊形上下兩平行邊的距離,因此,數學上稱平行四邊形上下兩平行邊的距離為平行四邊形的高圖四中平行四邊形的底邊和圖五長方形的長邊都是(b+a),圖四平行四邊形的高和圖五長方形的寬邊都是h,可以導出面積公式平行四邊形面積=長方形面積=長寬=(b+a)h=底高abbaAhhAbaba圖四圖五步驟3:透過平行四邊形面積公式導出三角形面積公式圖六是一個三角形,當我們複製出一個和圖六全等的三角形後,這兩個全等的三角形可以拼成圖七中的平行四邊形,所以,4356第二章面積-理念篇圖六三角形面積剛好是圖七平行四邊形面積的一半三角形有3個邊,3個角,三角形並沒有高,必須透過平形四邊形的高引入三角形的高,圖七平行四邊形上下兩平行邊的距離和圖六三角形頂點到底邊的距離等長,因此數學上稱頂點到底邊的距離為三角形的高圖六三角形的高和圖七平行四邊形的高都是h,圖六三角形的底邊和圖七平行四邊形的底邊都是a,可以導出面積公式三角形面積=平形四邊形面積=(ah)=(底高)h圖六a圖七教師們請注意,國小學生無法想到這種解題策略,必須透過教師引導才能導出公式另外,國小學生不知道兩個全等的三角形可以拼成一個平行四邊形這個幾何性質,教師必須幫助學生驗證,由兩個全等三角形拼成的四邊形,兩雙對邊都互相平行,所以是一個平行四邊形步驟4:透過平行四邊形面積公式導出梯形面積公式圖八是一個梯形,當我們複製出一個和圖八全等的梯形後,這兩個全等的梯形可以拼成圖九中的平行四邊形,所以圖八梯形的面積剛好是圖九平行四邊形面積的一半4457平行四邊形三角形梯形面積公式梯形有4個邊,4個角,梯形並沒有高,必須透過平形四邊形的高引入梯形的高,因為圖九中平行四邊形上下兩平行邊的距離就是圖八梯形上下兩底的距離,因此數學上稱上下兩底的距離為梯形的高圖八梯形的高和圖九平行四邊形的高都是h,圖九平行四邊形的底邊和圖八梯形上底和下底的長度和都是a+b,可以導出面積公式梯形面積=平形四邊形面積=(a+b)h=(上底+下底)高aabhbba圖八圖九4558第二章面積-理念篇-3-:引入面積公式(策略二)認知及數學結構:第二種引入面積公式的教學流程:步驟1:知道直角三角形的面積是對應長方形面積的一半學生已經學過長方形面積公式,也知道長方形的對角線可以將長方形分割成兩個全等的三角形,因此下面右圖直角三角形的面積是左圖長方形面積的一半,可以導出面積公式直角三角形面積=長方形面積=(長寬)寬長步驟:透過分割成兩個全等直角三角形和一個長方形的方式導出平行四邊形面積公式abhbbaa只要把平行四邊形分割成兩個全等的直角三角形和一個長方形,並量出直角三角形直角兩股的長度和長方形的長和寬,就可以利用直角三角形及長方形面積公式分別算出直角三角形和長方4659平行四邊形三角形梯形面積公式形的面積,這三個圖形的面積和就是平行四邊形的面積雖然學生可以算出平行四邊形的面積,但是不易透過下面的代數運算引入平行四邊形的面積公式平行四邊形的面積=(ah)+bh+(ah)=ah+bh+ah=ah+ah+bh=ah+bh=(a+b)h=底高步驟3:透過分割成兩個直角三角形的方式導出三角形面積公式只要由三角形的頂點往對應邊畫垂線,把三角形分割成兩個直角三角形,並分別量出直角三角形直角兩邊的長度,就能算出這個直角三角形的面積,這兩個直角三角形的面積和就是三角形的面積hmn(m+n=a)雖然學生可以算出三角形的面積,但是不易透過下面的代數4760第二章面積-理念篇運算引入三角形的面積公式三角形面積=(mh)+(nh)=mh+nh=(m+n)h=ah=(ah)=(底高)步驟4:透過分割成兩個直角三角形和一個長方形的方式導出梯形面積公式只要由梯形上底的兩個頂點往下底畫垂線,把梯形分割成兩個直角三角形和一個長方形,並分別量出直角三角形直角兩邊的長度和長方形的長和寬,就可以算出這兩個直角三角形和長方形的面積,將這三個圖形的面積相加就是梯形的面積bhpbq(p+b+q=a)雖然學生可以算出梯形的面積,但是不易透過下面的運算導出梯形的面積公式4861平行四邊形三角形梯形面積公式梯形面積=(ph)+bh+(qh)=ph+(bh)+qh=ph+(bh)+qh=ph+bh+qh+bh=[(p+b+q)+b]h=(a+b)h=(a+b)h=(上底+下底)高4962第二章面積-理念篇-3-3:平行四邊形三角形三角形梯形面積公式的統整認知及數學結構:當學會平行四邊形三角形及梯形面積公式後,建議教師們提出下面的問題讓學生們討論,檢查學生是否能透過極限的想法,掌握這些面積公式的意義問題:梯形的下底和高不變,只改變上底的長短(a)當上底變成和下底一樣長,是否能利用梯形面積公式(上底+下底)高推得平行四邊形面積公式底高(b)當上底變成很接近0,是否能利用梯形面積公式(上底+下底)高推得三角形面積公式底高5063主題-4:圓扇形及不規則圖形的面積公式-4-1:圓的面積認知及數學結構:圓扇形及不規則圖形的面積公式圓周率是圓周長和直徑的比值,求圓面積時會利用到圓周率,本文暫不討論圓周率的意義,只討論如何求出圓的面積接下來,筆者提共兩種國小學童能夠理解解決圓面積的方法第一種方法:先將圓切成兩個半圓,再將兩個半圓都切成很多個(例如8個或16個)全等的扇形,將這兩個切成扇形的半圓上下交錯疊合起來,會變成一個接近平行四邊形(或長方形)的圖形,平行四邊形的底(長方形的長)是圓周長的一半,平行四邊形的高(長方形的寬)是圓的半徑,可以透過平行四邊形(長方形)面積求出圓面積圓面積=平行四邊形面積=底高=圓周長的一半半徑=(直徑3.14)半徑=(直徑3.14)半徑=半徑半徑64第二章面積-理念篇一個被八等分分割的圓重新組合一個被八等分割的圓重新組合一個被二十四等分割的圓第二種方法:先將圓切成很多個(例如8個)同心圓,再將一串串的圓環(像等厚度的甜甜圈)一個個的疊起來,會變成一個接近等腰三角形的圖形,等腰三角形的底就是圓周長,等腰三角形的高就是半徑,可以透過等腰三角形的面積求出圓的面積圓面積=等腰三角形面積=(底高)=[(直徑3.14)半徑]=[(直徑3.14)半徑]=半徑半徑65圓扇形及不規則圖形的面積公式8個同心圓一串串的圓環疊起來5366第二章面積-理念篇-4-:不規則圖形的面積認知及數學結構:上圖是一個不規則的圖形,只要有單位面積的概念,就很容易解決求不規則圖形面積的問題筆者提共兩種解決不規則圖形面積的方法,第一種是學生自己能想出來的解題方法,也是多數國小學生較能接受的方法;第二種是成人經常使用的方法,這種方法涉及算術平均數的概念,如果算出來單位面積的個數太少,例如面積是十幾平方公分或幾平方公尺,國小學生可能無法接受第一種方法:在不規則圖形上面畫出很多1平方公分(單位面積)的格子,假設先算出完整的格子有a個,面積是a平方公分,再透過拼湊的方式估算不完整的格子合起來大約和c個完整的格子一樣大,不完整格子面積合起來是c平公分,這個不規則圖形的面積大約是(a+c)平方公分5467圓扇形及不規則圖形的面積公式如果格子數夠多時,假設這些不完整的格子有b個,而且都可以兩兩配對,讓配對出的不完整格子合起來的面積都是1平方公分,就可以得到這個不規則圖形的面積大約是a+(b)=a+b平方公分第二種方法:在不規則圖形上面畫出很多1平方公分(單位面積)的格子,假設先算出完整的格子有a個,再算出不完整的格子有b個,完整的格子a個加上不完整格子b個的一半,就知道這個不規則圖形的面積大約是a+(b)=a+b平方公分這種方法涉及算術平均數的概念,我們假設這些不完整格子的面積平均是1平方公分的一半,所以選擇b=b當作這些不完整格子的算術平均數5568第二章面積-理念篇5669主題--1:長方形長方形及正方形的面積公式撰寫者:吳欣悅及正方形面積公式~長方形及正方形的面積公式授課對象:國小四年級學生先備知識:1.會利用點數有幾個1平方公分的方式,算出圖形面積是幾平方公分.知道面的大小叫面積3.會利用平方公分板測量面積4.會作整數乘以整數5.已認識長方形長邊寬邊和正方形邊長的性質教學目標:能理解長方形和正方形的面積公式教學時間教學時間:40分鐘(一節課)教學說明:1.因為長方形面積公式長寬中的長與寬都是長度,讓很多學童產生公分公分會出現平方公分的錯誤聯想,建議教師幫助學童澄清長方形面積是透過計數有幾個1平方公分得到的,長寬中的長指的是一排有幾個1平方公分,寬指的是有幾排5770第二章面積-案例篇.有三種命名長方形長邊及寬邊的方法第一種:較長的一邊為長邊,較短的一邊為短邊;第二種:將長方形擺正後,水平方向的為長邊,鉛直方向的為寬邊;第三種:約定其中一邊為長邊,另一邊就是寬邊其中,第三種是比較容易溝通的方法3.由於數學上選擇正方形當作測量面積的單位,因此當長方形的長邊和寬邊單位不同時,必須換成相同單位後,才能代入長寬的公式,計算出長方形的面積以長是3公分寬是6公尺的長方形為例,當題目問面積是多少平方公分時,應將寬邊的單位換成600公分,3600=1800,才能利用公式算出面積是1800平方公分當題目問面積是多少平方公尺時,應將長邊的單位換成0.03公尺,0.036=0.18,才能利用公式算出面積是0.18平方公尺4.本活動先協助學童建立單位面積1平方公分的概念,知道由a個1平方公分合起來的圖形面積是a平方公分,接著幫助學生利用乘法算出長方形的面積是多少平方公分,並察覺長邊寬邊的公分數和1平方公分個數的關係,最後形成長寬的面積公式教具準備:平方公分板長方形色紙(長5公分寬3公分)(長58716公分寬4公分)方瓦9平方公分圖形3長方形及正方形的面積公式活動一:長邊和寬邊是整公分的長方形和正方形的面積公式活動目標:能瞭解長方形和正方形面積公式是由單位面積1平方活動流程:公分累加而來,並以長寬的面積公式計算出面積1.教師提出一些由1平方公分所拼成的圖形(如圖一及圖二),幫助學童透過點數1平方公分的個數,認識由9個1平方公分拼成的圖形,面積就是9平方公分圖一圖二5972第二章面積-案例篇.教師拿出一張長5公分寬3公分的長方形色紙,並在上面鋪滿1平方公分的方瓦,要求學童先算出第一排有多少個1平方公分的方瓦,再算出共有幾排,並限制學童須使用乘法算式53=15把算法記下來,得到合起來有15個1平方公分的方瓦,也就是長方形面積是15平方公分的答案第1排第排第3排一排有5個1平方公分,共有3排53=153.先與學童討論長方形長邊的公分數和一排有幾個1平方公分方瓦個數之間的關係,幫助學童察覺,長邊是5公分時,長邊共排了5個1平方公分的方瓦接著再討論長方形寬邊的公分數和有幾排1平方公分方瓦的關係,幫助學童察覺,寬邊是3公分,所以寬邊排了3排1平方公分的方瓦長邊是5公分,表示一排排了5個1平方公分寬邊是3公分,表示有3排5個1平方公分4.教師再拿出一張寬邊是6公分,長邊是4公分的長方形色紙,6073長方形及正方形的面積公式與學童討論它的面積是多少平方公分,步驟如下:(1)在色紙上面鋪滿1平方公分的方瓦()要求學童先算出一排有多少個1平方公分的方瓦,再算出共有幾排,並限制學童須使用乘法算式64=4把算法記下來,得到合起來有4個1平方公分的方瓦,也就是長方形面積是4平方公分的答案寬邊是6公分,表示一排有6個1平方公分寬邊是4公分,表示每排有6個1平方公分,共有4排5.由長邊的公分數可以知道一排有幾個1平方公分的方法,由寬邊的公分數可以知道有幾排,所以可以利用長邊的公分數寬邊的公分數算出長方形的面積是多少平方公分最後再將長邊的公分數寬邊的公分數簡稱為長邊寬邊或長寬6.教師畫一個長6公分,寬5公分的長方形,討論長方形的面積是多少平方公分當算出65=30,答:30平方公分的答6174第二章面積-案例篇案後,請學童說明算式中每一個數字所代表的意義如下:(1)6:長邊是6公分,表示長邊排了6個1平方公分()5:寬邊是5公分,表示有5排(3)30:長方形是由30個1平方公分組合而成,所以面積是30平方公分6公分5公分7.計算長方形的面積時,長寬與寬長的答案一定相等指定作業:習題一:(配合活動一)(1)算算看,下面各圖形的面積是多少平方公分137cm1cm8cm13cm15cm13cm675長方形及正方形的面積公式()教室裡的黑板是一個長1公尺30公分,寬5公尺的長方形,它的面積是多少平方公分?(3)一張邊長65公分的正方形圖畫紙,面積是多少平方公分?(4)有一張長方形的壁報紙,長邊是35公分,寬邊是6公分,面積是多少平方公分?(5)有一片長方形紙板的面積是1540平方公分,它的長邊是8公分,它的寬邊是多少公分?指定作業參考解答:習題一:(1)184平方公分10平方公分3169平方公分()平方公分(3)45平方公分(4)650平方公分(5)55公分教學注意事項:1.教師引導學生認識長方形的長與寬時,可以多加舉例,讓學童知道長與寬的命名可以有不同的選擇.正方形是長方形圖形中的一種特例,也就是當長方形的長邊與6376第二章面積-案例篇寬邊相同時,我們稱之為正方形,因此正方形其實是長方形中的一種圖形教學參考資料:朱建正等(民91)國中小數學教材與教學探討-幾何篇(二)三峽:國家教育研究院6477主題--1:長方形長邊或寬邊不是整數的長方形面積撰寫者:吳欣悅及正方形面積公式授課對象:國小五年級學生先備知識:~長邊或寬邊不是整數的長方形面積1.知道單位面積1cm的意義.理解長寬是整數公分的長方形和正方形的面積公式是長寬3.會作分數分數的乘法教學目標:能運用分數乘法的概念,說明長邊或寬邊不是整數的長方形面積教學時間教學時間:80分鐘(二節課)教學說明:1.四年級引入長(正)方形面積公式時,長寬皆限制為整數公分,學生在五年級學完分數乘以分數之後,建議教師幫助他們察覺,長方形的長與寬是分數時,面積公式依然成立.教師可以先複習單位面積1cm的概念,再讓孩子畫出1cm34cm等的面積,確認學童知道1cm是將1cm平分6578第二章面積-案例篇成份取出其中1份;34cm是將1cm平分成4份取出其中的3份,而不是寬邊與長邊各為1cm與1cm,或34cm與34cm3.本主題的教學重點在於藉由分數乘法的運算說明:長方形與正方形的面積公式,在長與寬的邊長為分數的情況下,也適用長寬的公式活動一:檢驗學童是否了解1cmcm的意義的意義,進而了解1/cm和3/4活動目標:能畫出1cm34cm活動流程:1.教師先複習邊長為1cm的正方形,其面積為1cm,是計算面積時的一個基本單位.教師檢驗學童是否能了解1cm,並請他們畫出1cm的圖形,說明如下:(1)1cm是將1cm分成兩等份,取其中一份,也可以說是1cm的一半,所以學童可能會畫出如圖一的圖形6679長邊或寬邊不是整數的長方形面積教師請學童觀察畫出的是不是分割成兩個一模一樣的圖形,提醒學童注意,1cm是1個1cm,所以1cm是由個1cm的面積構成的圖一()如有學童認為1cm是指1cm的邊長的一半,而畫出邊長是1cm的正方形,如圖二,教師須與學童討論和澄清教師可就圖三向學童說明:邊長如為1cm,所畫出的新圖形應是將1cm分成四等分,取其中的一份,也就是1cm的14,所以,此時的1cm是由4個14cm的面積組合而成6780第二章面積-案例篇1cm學生將1cm1cm圖形誤畫成邊長14cm1cm1cm1cm1cm是1cm的圖形圖二圖三(3)請學童畫出34cm經過前一題14cm的面積說明之後,學童可以知道畫出34cm時,應該先畫出1cm,再將1cm分成四等份,取出其中的三份,也就是3個14cm是34cm;34cm是34個1cm,見圖四圖四6881長邊或寬邊不是整數的長方形面積活動二:能將長方形面積公式延伸至長邊或寬邊不是整公分的情境活動目標:能透過分數乘以分數的意義,知道長方形的長邊或寬邊是分數或是小數時,仍可運用長邊寬邊的公式算出長方形面積1.運用分數乘法的概念說明(1)教師先複習分數乘以分數的乘法問題:一張海報紙有35平方公尺,47張有多少平方公尺?1畫出一個邊長1公尺的正方形代表1平方公尺,見圖五一張海報紙有35平方公尺,將正方形的寬邊平分成5份,畫出其中3份表示35平方公尺(圖中淺色陰影部份),也就是1張海報紙47張是把1張海報紙平分成7份,再取出其中的4份,將圖中長方形(淺色陰影部份)的長邊平分成7份,再取出其中的5份,表示47張(深色陰影部份)6982第二章面積-案例篇因為看不到1平方公尺被平分成幾份,因此將分割的線段都延長,可以看到1平方公尺被分割成35(517)小份,其中的1小份就是35平方公尺,47張1是1(34)個35平方公尺,可以利用==135算出47張報紙有135平方公尺35平方公尺1公尺47張海報1公尺圖五()再讓學童計算長邊47m寬邊35m的長方形面積教師可利用實際面積為1m的圖形,經由切割平分說7083明長邊47m寬邊長邊或寬邊不是整數的長方形面積35m的長方形面積計算方式,見圖六,步驟如下:1將長邊1m平分成7等份,寬邊1m平分成5等份將1m平分成35等份,所以每1個等份是135m觀察圖六,利用面積公式計算,每一列有4個135m共有3列,所以面積是43=1共有1個135m也就是135m47mmm1m71圖六84第二章面積-案例篇(3)教師請學生看著圖形,幫助他們發現,利用==135算出來的答案,剛好是長邊35公尺,寬邊47公尺長方形的面積所以,也可以利用長邊寬邊===135算出長邊35公尺,寬邊47公尺的長方形面積是135個1平方公尺,也就是135平方公尺.因此,不論邊長是整數或非整數皆適用長方形面積公式的方法計算3.教師也可利用單位分數的概念進行說明教師讓學童計算長邊47m寬邊35m的長方形面積(1)教師利用實際面積為1m的圖形,經由切割平分說明長邊47m寬邊35m的長方形面積計算方式,見圖七,步驟如下:1將1m縱分成7等份,橫切成5等份1m平分成35等份,所以每1個等份是135m;785也可以說是由35個長邊或寬邊不是整數的長方形面積135m的單位組合1m3觀察圖七,利用面積公式計算,每一列有4個135m共有3列,所以面積是43=1共有1個135m也就是135m47mmm1m圖七()引導學生觀察數字之間的關係m是將1m縱切成7等份,再橫切成5等份,共分成了75等分,和分數乘法中分母分母的計算方法相同7386第二章面積-案例篇=再觀察135m與邊長47m和35m數字之間的關係43=1是計算有多少個以135m為單位的面積,和分數乘法中分子分子的結果一樣由此可看出分數乘法與長方形面積公式的計算方式相=同因此,不論邊長是整數或非整數皆適用面積公式的方法計算4.不論選擇那一種方法選擇那一種方法進行教學之後,建議教師更進一步說明假分數相乘之面積計算5.以邊長各為程如下:97m和65m的長方形面積為例,教師可說明計算過7487長邊或寬邊不是整數的長方形面積(1)先畫出1m,並將1m縱切成7等分,每一等分是17m,再橫切5等分,所以1m共分成分,和分數乘法中的分母分母一樣,見圖八()對照分數乘法=的結果,與長方形面積公式:分母分母75=35說明1m共有35個135m;分子分子96=54說明長方形面積共有54個135m,也就是m(3)所以,不論是假分數相乘或真分數相乘,皆與長方形的面積公式長邊的公尺數寬邊的公尺數相同7588第二章面積-案例篇1m1m1m65m97m圖八指定作業:習題一(配合活動一)甲畫出指定圖形:89長邊或寬邊不是整數的長方形面積習題二(配合活動二)(1)長邊是8.公分,寬邊是10.5公分的長方形,面積是多少平方公分?()邊長是35公分的正方形,面積是多少平方公分?(3)老師剪了一張長邊是56公尺,寬邊是34公尺的長方形壁報紙,這張壁報紙的面積是多少平方公尺?(4)有一張長方形圖畫紙的長邊是11.8公尺寬邊是15.5公尺,在這張圖畫紙中剪出一張最大的正方形,正方形的邊長是幾公尺?正方形的面積是多少平方公尺?(5)算出下面各圖形的面積130cm5.cm40.5c.5cm.5cm50.8cm7790第二章面積-案例篇指定作業參考答案:習題一(1)1或習題二(1)86.1平方公分()平方公分(3)154平方公尺(4)公分平方公分7891(5)平方公分平方公分長邊或寬邊不是整數的長方形面積教學注意事項:1.教師可透過學生所畫出的1平方公分34平方公分圖形判斷學童是否理解分數的意義,如果學童不清楚分數的概念,教師可以讓學童多加練習.教師說明不是整數的長方形面積公式時,可以依照學生的理解程度採用-以分數乘以分數的應用問題情境,解釋非整數邊長的面積;或是將1平方公尺切割成更小的面積,再以此為單位累算出面積3.學生學會分數乘以分數之後,教師可以提示學生如遇到數字為小數時,可以先將小數化為分數之後再做計算教學參考資料:朱建正等(民91)國中小數學教材與教學探討-幾何篇(二)三峽:國家教育研究院7992第二章面積-案例篇主題-3-:平行四邊形撰寫者:吳欣悅三角形梯形面積公式授課對象:國小五年級學生先備知識:~平行四邊形三角形梯形面積公式1.知道長方形和正方形的面積公式.知道長方形的對角線可將長方形切割成兩個全等直角三角形3.知道乘法對加法減法的分配律教學目標:透過切割或重組成長方形及直角三角形的方式,理解平行四邊形三角形及梯形面積的公式教學時間教學時間:40分鐘(六節課)教學說明:1.如果教師直接引入三角形平行四邊形梯形的面積公式,而沒有說明如何導出公式時,容易讓學童在計算時只偏重在數字的代入,未能理解公式的真正涵意.進行活動前,教師需先復習長方形的對角線可將長方形切割成兩個全等直角三角形,幫助學童理解直角三角形面積為長方形面積的一半;再透過切割或重組圖形成長方形或直角三角形的方式,利用乘法對加法減法的分配律,幫助學童理解平行四8093平行四邊形三角形梯形面積公式邊形三角形和梯形的公式活動一:認識直角三角形面積是對應的長方形面積的一半活動目標:透過沿對角線將長方形分割成兩個全等三角形的活活動流程:動,認識直角三角形面積是對應長方形面積的一半1.在方格紙上算出直角三角形甲乙丙的面積(1)長方形皆可以沿對角線切成兩個全等直角三角形()因此,直角三角形的面積,可由長方形的面積公式(長寬)的一半()求出,所以甲的面積是:4=4;乙的面積甲丙乙是:=;丙的面積是:53=7.5圖一(3)學童練習算出直角三角形的面積3cm1讓學童確認直角三角形中5cm夾住直角的兩個邊長,是對應長方形的長邊與寬邊4cm圖二因為直角三角形的面積是對應長方形面積的一半,所以直角三角形的面積是(長寬)8194第二章面積-案例篇可以利用(34)=6算出圖二直角三角形的面積是6cm確認直角三角形中夾住直角的兩個邊長,是對應長方形的寬邊與長邊,因為直角三角形面積是長方形面積的一半,14cm因此,圖三直角三角形的面積是(814)=56,算出直角三角形的面積是56cm圖三8cm活動二:求三角形平行四邊形與梯形的面積活動目標:透過將三角形平行四邊形與梯形分割成直角三角形活動流程:與長方形的方式,算出三角形平行四邊形與梯形的面積1.在方格紙上算出三角形甲乙的面積(1)將圖一中的甲圖分割成直角三角形1和直角三角形895平行四邊形三角形梯形面積公式1因為直角三角形的面積是對應長方形面積的一半,所以直角三角形的面積是(長寬)1甲圖一利用(54)=10算出直角三角形1的面積是10cm利用(34)=6算出直角三角形的面積是6cm10+6=16,直角三角形甲的面積是16cm直角三角形甲的面積算式是:(54)+(34)=10+6=168396第二章面積-案例篇()從圖二中乙圖的ㄅ點沿方格往下作垂直線,再從ㄇ點延長三角形的ㄆㄇ邊,相交於ㄈㄅ點,形成直角三角形ㄅㄆㄈ與直角三角形ㄅㄇㄆ乙ㄇㄈㄈ圖二1在直角三角形中,夾住直角的兩個邊是長方形的長邊與寬邊,可以推算出直角三角形的面積先算出直角三角形ㄅㄆㄈ的面積(43)=6cm;再算出直角三角形ㄅㄇㄈ面積(3)=3cm,將直角三角形ㄅㄆㄈ的面積減去直角三角形ㄅㄇㄈ面積,就可以得知乙圖的面積是6-3=3cm三角形乙的面積算式是:(43)-(3)=6-3=38497.教師讓學童再練習兩題計算三角形的面積丙的面積平行四邊形三角形梯形面積公式(13)+(53)==91cm3cm丙5cm6cm丁的面積7-3=4(75)-(45)=cm丁3cm=7.57cm3.教師總結三角形的面積算法(1)當兩底角都是銳角如圖三,可以由頂點往底邊作垂線,將三角形切割成兩個直角三角形,分別算出兩個直角三角形的面積之後再相加,就能得到原三角形的面積ㄅㄆ圖三ㄇ8598第二章面積-案例篇()當兩底角中有一個角是鈍角如圖四,可以先延伸底邊,再由頂點往底邊作垂線,形成大小兩個直角三角形,分別算出兩個直角三角形的面積之後再相減,就能得到原三角形的面積ㄅㄈㄆㄇ圖四(3)當兩底角中有一個角是直角如圖五,就能直接算出它的面積ㄅㄆㄇ4.算出平行四邊形丙丁的面積(1)將圖六的圖五平行四邊形丙切成兩個直角三角形與一個丙13圖六長方形,分別算出它們的面積,再加起來即是平行四邊形的答案,所以平行四邊形丙的面積可以運用兩個直角8699平行四邊形三角形梯形面積公式三角形13的面積:(1.5)=3,再加上1個長方形的面積:3.5=7得知平行四邊形丙的面積算式是:=3+7=10(1.5)+3.5()另一種算法,可以將圖七的平行四邊形丁,看成一個長方形減掉兩個直角三角形(1與),亦即將其面積各1丁自算出來,再將長方圖七形面積減去兩個直角三角形的面積,即是平行四邊形的答案所以平行四邊形丁的面積,可以先算出長方形的面積:53=15,再減掉兩個直角三角形的面積:(33)=9而得知平行四邊形丁的面積算式是:53-(33)=15-9=687100第二章面積-案例篇5.讓學童再練習兩題平行四邊形的面積計算(1)(1)+41cm=+8=10cm丙15cm()6+=8cm84-(64)=3-4=86.總結平行四邊形的面積算法:4cm丁16cm(1)由相對兩頂點往底邊作高如圖八,能將平行四邊形能分割成兩個全等的直角三角形和一個長方形時,分別算出它們的面積後再相加,就能得到原來平行四邊形的面積ㄅㄉㄆㄈㄊㄇ圖八88101平行四邊形三角形梯形面積公式()由相對兩頂點往底邊作垂線如圖九,若不能將平行四邊形分割成兩個全等的直角三角形和一個長方形時,可以先延伸底邊,再由相對頂點往底邊作垂線,形成一個大長方形和兩個全等的直角三角形,先算出大長方形的面積,再減去兩個全等直角三角形的面積,就能得到原來平行四邊形的面積ㄅㄆㄉㄊ圖九ㄈㄇ7.在方格紙上算出梯形戊己圖十的面積(1)先將圖十的梯形戊切成兩個直角三角形與一個長方形,再算出它們的面積後相加,所以戊圖戊1圖十可以先算出兩個直角三角形的面積:(13)=1.5和(3)=3,再加上長方形面積3=6得知89102第二章面積-案例篇梯形戊的面積算式是:(13)+(3)+3==10.5()同梯形戊的作法,將圖十一的梯形己切成一個長方形和兩個直角三角形,所以梯形己的面積由算出兩個直角三角形的面積(13)1己3圖十一=1.5與(43)=6,再加上長方形的面積13=3得知梯形己的面積算式是:(13)+13+(43)==讓學童再練習兩題梯形的面積計算(13)+(13)+3==91cmcm戊13cm1cm90103平行四邊形三角形梯形面積公式(53)+13+(13)=cm1cm己1=15cm1cm9.總結梯形的面積算法:將梯形切成一個長方形和兩個直角三角形,算出一個長方形和兩個直角三角形的面積之後再相加,就可以算出梯形的面積活動三:三角形的面積公式活動目標:能知道三角形的面積公式是活動流程:高)底高,也可以寫成(底1.教師說明三角形的底和高(1)從三角形的頂點到對邊所做的垂直線,稱為高()教師畫出三角形的高底底底底底底91104第二章面積-案例篇(3)所以一個三角形有3個高,3個底.導出三角形面積公式(1)列出圖一三角形甲的面積算式:==(5+3)41甲圖一底高==(底高)三角形甲的底是8公分高是4公分將三角形甲分割成直角三角形1和直角三角形,三角形甲的面積等於直角三角形1的面積加上直角三角形的面積,也就是可以寫成利用乘法對加法的分配律加以整理之後,這個算式可以寫成(5+3)4,(5+3)是三角形甲的底,4是三角形甲的高,因此三角底高形甲的面積可以的面積可以由9底高求出答案,也可寫成(底105平行四邊形三角形梯形面積公式高)()列出圖二三角形乙的面積算式==(6-3)4=34ㄅ乙ㄆㄇㄈ圖二底高==(底高)三角形乙的底是3公分,高是4公分,三角形乙的面積是三角形ㄅㄆㄈ減掉三角形ㄅㄇㄈ,也就是,整理之後寫成,運用乘法對減法的分配律,將式子改寫成(6-3)4,6-3是三角形乙的底3,4是三角形乙的高,因此三角形乙的底高面積可以由求出答案,也可寫成(底高)93106第二章面積-案例篇3.求出三角形的面積ㄅ8cmㄆ(1)利用長方形面積的一半是直角三角形面積的方法,求出圖三三角形三角形ㄅㄉㄇㄅㄉㄇ的面積===180=9010cm底高對照(1)和()兩種算法,運用圖三底高()利用求出三角形ㄅㄉㄇㄅㄉㄇ的面積的面積=180=9010cmㄉ18cm即可算出三角形的面底高積,所以三角形的面積公式是,也可以寫成底高ㄈㄇ活動四:平行四邊形與梯形的面積公式活動目標:能推導出平行四邊形和梯形的面積公式活動流程1.教師說明平行四邊形的高(1)從平行四邊形的一邊上的一點向底邊畫一條垂直線94107平行四邊形三角形梯形面積公式高高底底()也可延長平行四邊形的底邊,再從右上頂點向底邊畫垂直線高底(3)平行四邊形的高係對應長方形的寬,上下底平行線之間之垂直線皆是平行四邊形的高高寬底長95108第二章面積-案例篇.導出平行四邊形的面積公式(1)算出圖一平行四邊形丙的面積53=53=53=底高1丙圖一()平行四邊形的底是5公分,高是3公分將平行四邊形丙沿對角線切成兩個相同的三角形,所以平行四邊形丙的面積可以寫成兩個三角形的面積的和,也就是53,在式子中,分子分母皆有,所以可以彼此抵消,約分後可以寫成53,5是平行四邊形的底,是平行四邊形的高,所以運用底高可以算出平行四邊形的面積96109平行四邊形三角形梯形面積公式(3)算出圖二平行四邊形丁的面積45=45丁1=45=底高圖二(4)平行四邊形丁的底是4公分高是5公分,沿對角線可以切成兩個相同的三角形,所以平行四邊形的面積可以寫成兩個三角形的面積的和45,在式子中,分子分母皆有,所以可以彼此抵消,得到45,4是平行四邊形丁的底,5是平行四邊形丁的高,所以平行四邊形丁的面積可以由底高算出97110第二章面積-案例篇(5)算出圖三的平行四邊形面積:8cm運用切成兩個三角形算出平行四邊形的面積58=00=005cm圖三運用底高算出平行四邊形的面積58=00對照兩個算式,運用切成兩個三角形面積算出平行四邊形的面積,與運用底高所算出平行四邊形的面積是一樣,所以平行四邊形的面積公式是底高3.教師說明梯形的高梯形互相平行的邊,稱為上底和下底,上下底之間的垂直距離稱為高98111平行四邊形三角形梯形面積公式上底高下底高上底上底4.導出戊己梯形的面積公式(1)算出圖四的梯形戊面積==(3+8)4=(上底+下底)高1圖四戊()梯形戊的上底是3公分,下底是8公分,高是4公分將梯形戊切成個三角形,所以梯形戊的面積可以寫成兩個三角形的面積的和,即是,運用乘法對加法的分配律,可以將式子寫成(3+8)4,其中3是梯形戊的上底,8是梯形戊的下底,399112第二章面積-案例篇+8就是梯形戊的上底加下底,而4是梯形戊的高,(上底+下底)高所以梯形的面積可以寫成,就是(上底+下底)高(3)算出圖五梯形己的面積==(1+7)3=(上底+下底)高1己圖五(4)梯形己的上底是1公分,下底是7公分,高是3公分將梯形己切成兩個三角形,所以梯形己的面積可以寫成,再利用乘法對加法的分配律,將式子寫成(1+7)3,其中1是梯形己的上底;7是梯形己的下底;1+7就是梯形己的上底加下底,3是三角形的高,也就是梯形己的高,所以計算梯形的面(上底+下底)高積時,可以寫成,也就是(上底+100113平行四邊形三角形梯形面積公式下底)高5.算出梯形的面積0cm1cm6cm(1)運用切割成兩個三角形的方式求出梯形面積=36+10=156()運用(上底+下底)高求出梯形面積(0+6)1=61對照兩個算式,運用切割成兩個三角形的方式求出梯形面積,與運用(上底+下底)高求出梯形面積的結果一樣,(上底+下底)高所以梯形的面積公式可以寫成或(上底+下底)高活動五:察覺可以利用梯形面積公式推導出平行四邊形和三角形面積公式=114第二章面積-案例篇活動目標:固定下底及高,透過上底長短的改變,察覺可以利用活動流程:梯形面積公式推導出平行四邊形和三角形面積公式1.固定梯形下底和高的長度,將上底逐漸增加(1)教師先畫出梯形甲,固定下底和高的長度,將上底逐漸增加,請學童觀察圖形的變化()學童可以看到圖形逐漸變化,當上底增加到與下底一樣長時,教師可以詢問學童:此時的圖形與什麼形狀相同?學童應能回答:平行四邊形(3)圖形的變化如下面圖示:甲上底逐漸增加上底逐漸增加乙上底逐漸增加到與下底一樣長10115平行四邊形三角形梯形面積公式(4)運用梯形公式算出梯形甲的面積(上底+下底)高(當上底與下底一樣長時)=下底高=下底高=底高因為上底和下底一樣,所以經過運算之後得到:底高,底高也就是平行四邊形面積的算法.固定梯形甲的下底和高的長度,將上底逐漸縮小,請學童觀察圖形的變化(1)學童可以看到圖形逐漸變化,當上底縮小到趨近於0時,教師可以詢問學童:此時的圖形與什麼形狀相同?學童會回答:三角形()圖形的變化如下面圖示:甲上底逐漸減少上底逐漸減少到趨近於0上底逐漸減少丙103116第二章面積-案例篇(3)運用梯形公式算出丙的面積(0+下底)高=底高也就是三角形的面積因為丙的上底為0,所以經過運算之後得到:底高,底高也就是三角形面積的算法活動六:周長固定時的長方形面積變化活動目標:當周長固定,能發現長方形之長邊與寬邊一樣長時,面積會最大教具準備:提供每兩位學童1條公分的棉繩活動流程:1.讓學生運用公分之棉繩,在長與寬是整公分的情況下,圍出不同邊長之長方形,並記錄所圍出的面積(1)教師先示範將棉線0公分彎折成長方形之後,記錄的結果周長長(公分)寬(公分)長寬相差(公分)面積(平方公分)0公分117平行四邊形三角形梯形面積公式討論填寫的結果可以知道,長方形的長邊是5公分寬邊是5公分之後,下一組的長邊與寬邊的組合為長邊6公分寬邊4公分,與寬邊6公分長邊是4公分,兩組長邊與寬邊所圍出的面積是一樣,長邊7公分寬邊3公分與寬邊7公分長邊3公分,兩組長邊與寬邊所圍出的面積一樣;長邊8公分寬邊公分與長邊公分寬邊8公分,兩組長邊與寬邊所圍出的面積一樣;長邊9公分寬邊1公分與長邊1公分寬邊9公分,兩組長邊與寬邊所圍出的面積是一樣的因此,當我們發現長邊與寬邊與之前某組長邊與寬邊的長度相反時,則不須再找出下一組長邊與寬邊()將棉線3公分彎折成長方形之後,紀錄下結果,結果如下表:周長長(公分)寬(公分)長寬相差(公分)面積(平方公分)3公分118第二章面積-案例篇(3)將棉線40公分彎折成長方形之後,紀錄下結果,如下表:周長長(公分)寬(公分)長寬相差(公分)面積(平方公分)40公分(4)引導學童發現,在紀錄表格時,可以怎樣紀錄,才會比較清楚:1先將棉繩的長度平分成份之後,比較容易確定長與寬有規律的呈現數字,例如:將長邊由大到小排列,或由小到大排列,比較容易觀察出數字之間的變化3長與寬相差的結果越小時,所圍成的面積會越大4長與寬一樣時,所圍成的面積最大6.教師佈題:我有一條36公分的繩子,如何將繩子圍出一個最106119大的面積,此時的邊長和面積各是多少?(1)先將36公分長的繩子平分成份()當兩邊的邊長相等時,面積會最大18=9,99=81指定作業:習題一:(配合活動一二三求出三角形面積)(1)求出下面各三角形的面積平行四邊形三角形梯形面積公式cm7cm6cm8cm8cm10cm8cm9cm46cm8cm17cmcm6cm0cm8cm()右圖中,甲乙丙三角形的面積各是多少?1甲的面積:()cm1cm5cm15cm乙的面積:()cm3丙的面積:()cm甲乙丙5cm5cm5cm4我發現()和()相同時,不論三角形8cm的形狀如何變化,面積都相同107120第二章面積-案例篇(3)圖中灰色三角形的面積是40平方公分,請問長方形的寬是幾公分??cm10cm習題二:(配合活動四平行四邊形的面積)(1)求出下面各平行四邊形的面積:14cm9cm1cm15cm10cm1cm38cm16cm1cm18cm455cm13cm4cm10.4cm17cm14cm9cm8cm6cm5cm10cm()有一個平行四邊形的底是1公分,面積是96公分,請問它的高是多少公分?(3)觀察下面的圖形之後,算算看甲的面積是乙的幾倍?甲乙5cm10cm108121平行四邊形三角形梯形面積公式習題三:(配合活動四梯形的面積)(1)求出下面各梯形的面積131cm14cm16cm8cm1cm14cm6cm4cm8cm18cm0cm8cm18cm6cm413cm530cm9cm11cm17cm塗黑16cm1cm18cm求出斜線面積6cm()右圖梯形ㄅㄆㄇㄈ的面積是400平方公分ㄅㄆ4cm請求出線段ㄅㄇ的長度36cmㄈㄇ習題四:(配合活動五六)(1)求出右邊三角形的高5cm6cm50cm上底逐漸縮小為cm?cm50cm122第二章面積-案例篇()求出梯形與三角形的面積15cm7cm上底逐漸縮小為01cm7cm8cm8cm(3)求出梯形與三角形的面積6cm8cm上底逐漸縮小為04cm8cm4cm(4)求出梯形與平行四邊形的面積6cm4cm5cm上底逐漸增加為與下底一樣大18cm4cm18cm(5)運用棉線45公分圍成正方形,要圍出最大的面積,此時的長邊與寬邊各是多少公分?面積是多少平方公分?指定作業解答:習題一(1)15平方公分8平方公分330平方公分451平方公分54平方公分6150平方公分()10平方公分0平方公分30平方公分4底高(3)8公分110123平行四邊形三角形梯形面積公式習題二(1)136平方公分10平方公分396平方公分45平方公分5140平方公分()8公分(3)1倍習題三(1)1140平方公分18平方公分355平方公分4156平方公分588平方公分()0公分習題四(1)6公分()三角形面積:8平方公分梯形面積:80.5平方公分(3)三角形面積:16平方公分梯形面積:40平方公分(4)平行四邊形面積:36平方公分梯形面積:46平方公分(5)公分平方公分教學注意事項:1.教師需提醒學童在記錄長與寬的數字時,以長與寬皆為整公分為原則111124第二章面積-案例篇.導出面積的公式,需要運用乘法對加法減法的分配律,以及將除數寫在分母的形式,例如:810寫成810的形式,因此在正式進入面積的計算之前,須讓學童先熟悉乘法對加法減法的分配律及將除數寫在分母的寫法3.先練習乘法對加法減法的分配律題目,如:(1)=(8+9)10()=(6-3)4(3)=(9+4)54.練習將除數寫在分母的形式,如:(1)87=87()197=197(3)15=再練習乘法對加法減法的分配律,以及將除數寫在分母的計算類型,如:(1)==(6-3)4()==(8+1)511125(3)=平行四邊形三角形梯形面積公式=(10-3)56.教師需教完長方形與正方形面積公式之後,方可進行活動五之教學教學參考資料:朱建正等(民91)國中小數學教材與教學探討-幾何篇(二)三峽:國家教育研究院113126第二章面積-案例篇114127第三章:重量重量的意義撰寫者:謝堅主題3-1:重量的意義認知及數學結構:(一)重量不是視覺感官量長度面積體積容量角度等量,可藉由視覺產生量感,較適合進行直接比較與間接比較,重量是存在於物質上的非視覺感官量,必須藉由手掂實物來掌握量感,不易進行直接比較與間接比較,必須和秤等工具連結,才能產生意義(二)重量與質量的關係物體的質量是不變的,但是重量隨著地心引力的大小而改變,例如在平地或在高山上面,法碼的質量不會改變,但是法碼在平地秤的重量,會比在高山上面秤的重量重在同一個地區,我們都忽略地心引力的影響,將物體的重量和質量視為相等因為重量的概念比較具體且實用,因此國小課程只引入重量的概念,並不討論質量而進行重量教學所在地點都在海拔高度變化不大的範圍,同一個物體的重量不會因為時地不同而改變,因此在國小階段,只討論物體的重量是多少,不討論物體的質量,並不會造成測量上的混淆(三)重量與力氣的關係在同一個地點,描述物體的重量是絕對的觀點,每一個人拿115128第三章重量-理念篇該物體時,它的重量都相等;但是描述物體的輕重則是相對的觀點,不同的人拿該物體時,對輕重的感覺可能不相同例如一袋米的重量是固定的,但是力氣大的人,覺得這袋米很輕,而力氣小的人,覺得這袋米很重;有時同一個人,在不同時間對同一個物體用力的感覺也不相同,例如身體狀況好的時候,覺得這袋米很輕,而身體狀況不好的時候,覺得這袋米很重學生剛開始學習重量時,建議教師透過比較兩個物體誰比較重,來掌握重量的意義,不宜先討論一個物體輕或重,或描述一個物體有多重換句話說,教師應提供兩個重量不同的物體,要求學生比較哪一個物體比較重,而不是只提供一個物體,要求不同的學生描述這個物體有多重,前者能幫助學生經驗重量的意義,而後者討論的重點是力氣的大小(四)重量與體積的關係重量與體積的關係很密切,體積是視覺感官量,因此部份學生常透過兩個物體體積的大小,來判斷兩個物體的輕量關係,形成體積較大的物體比較重的結果當兩個物體的密度相同或體積較大物體的密度比較大時,學生判斷的結果是正確的,但是,當體積較大物體的密度比較小時,學生判斷的結果可能是錯誤的物體的重量體積和密度三者間滿足重量=體積密度的關係,當兩個物體的密度相同時,這兩個物體的重量和體積滿足116129重量的意義成正比的關係,例如比較兩塊黏土的重量時,體積大的黏土一定比較重;但是,當兩個物體的密度不相同時,可能無法透過物體體積的大小來判斷物體的輕重,例如比較一塊黏土和一塊鐵片的重量時,因為鐵片的密度比黏土大很多,當鐵片的體積比黏土大時,鐵片一定比黏土重,但是當鐵片的體積比黏土小很多時,鐵片也可能比黏土重117130第三章重量-理念篇主題3-:重量的直接與間接比較3--1:重量的直接比較認知及數學結構:重量是非視覺感官量,無法透過視覺,直觀的比較輕重,必須藉由手掂兩實物來比較輕重,當重量的差異很大時,手掂實物的方式很容易判斷輕重,當重量的差異不大時,手掂實物的方式經常無法準確判斷輕重以比較兩個橘子的輕重為例,有兩種常見手掂實物比較的方法,第一種是左右手各拿一個橘子來比較輕重,第二種是用同一隻手分別拿兩次橘子來比較輕重,這兩種比較方法與生活習慣有關,教師不應限制學生必須使用某種方法來判斷輕重建議教師先布置重量差異較大兩物體的情境,讓學生透過手掂實物經驗輕與重的意義,再布置重量差異不大的兩物體,讓學生察覺手掂實物經常無法正確的判斷輕重,必須引入天平等工具替代手掂實物來進行直接比較秤是用來測量重量,而天平是用來溝通質量,部份成人質疑國小課程為何引入溝通質量的天平當作重量教學的教具國小引入天平的目的並不是溝通質量的意義,而是手掂實物經常無法判斷輕重,因此利用天平替代手掂實物來進行直接比較1181313--:重量的間接比較重量的直接與間接比較認知及數學結構:當兩物體無法進行直接比較時,視覺量常透過先複製再直接比較的方式進行間接比較,以比較甲乙兩窗戶的周長為例,可以先用繩子複製出甲窗戶的周長,再拿著複製的周長到乙窗進行直接比較,就知道哪一個窗戶的周長比較長沒有天平或秤等工具時,重量不易複製,因此國小階段較少透過先複製再進行直接比較的方式進行間接比較,較常利用第三物以及天平,透過遞移性來進行間接比較例如先用天平測得甲物比乙物重,乙物比丙物重後,再利用遞移性推得甲物比丙物重的結果國小二年級引入用>=811<01-5=4+3等也要求學童能在具體情境中認識上述關係的遞移性,建議教師布題時不宜只討論重量>及丙的重量,可以推得甲的重量>丙的重量的關係119132第三章重量-理念篇甲的重量>乙的重量乙的重量>丙的重量,可以推得甲的重量>丙的重量的關係甲的重量>乙的重量乙的重量=丙的重量,可以推得甲的重量>丙的重量的關係()已知甲乙和乙丙的輕重關係,無法推得甲丙的輕重關係:甲的重量>乙的重量乙的重量乙乙>丙的記法,摘要的記成甲>乙>丙101333--3:重量的個別個別單位及普遍單位及普遍單位單位比較重量的直接與間接比較認知及數學結構:(一)重量的個別單位個別單位比較可以利用同物累加的想法,在天平的一端逐次加入個別單位的方式,引入重量個別單位比較的意義例如將甲物體放在天平的一邊,另一邊逐次放入十元硬幣,如果放7個十元硬幣時天平保持平衡,那麼甲物體和7個十元硬幣合起來一樣重;再將乙物體放在天平的一邊,另一邊逐次放入十元硬幣,如果放8個十元硬幣時天平保持平衡,那麼乙物體和8個十元硬幣合起來一樣重;8個十元硬幣比7個十元硬幣重,所以乙物體比甲物體重(二)重量的常用常用單位比較長度面積容量等視覺量,可以透過視覺看到單位量的累積,利如透過直尺的刻度,觀察5個1公分接起來和5公分一樣長的關係;透過點數平方公分板,觀察5個1平方公分合起來和5平方公分一樣大的關係;透過量杯的刻度,觀察分別倒入5次1cc的液體和5cc液體一樣多的關係等重量的常用單位包含公噸公斤及公克重量無法透過視覺看到單位量的累積,例如無法理解為什麼5個1公克合起來和5公克一樣重的意義,教師可以透過天平或秤,建立常用單位的意義例如先利用天平,幫助學生發現5個1公克的法碼合起來和111134第三章重量-理念篇個5公克的法碼一樣重,所以5個1公克合起來的重量就是5公克;或利用秤,幫助學童發現5公克的法碼重5公克,5個1公克法碼的重量也是5公克,所以5個1公克合起來的重量就是5公克1135主題3-3:測量重量的單位-秤測量重量的單位-秤3-3-1:秤的秤面結構認知及數學結構:(一)刻度0的意義直尺和分公升量杯這兩種測量工具的刻度結構類似,但是低年級學生用直尺測量長度時較可能發生錯誤,例如學生用直尺測量鉛筆的長度時,常將鉛筆的一端對齊直尺的邊緣,再報讀鉛筆另一端對應的刻度,而得到錯誤的測量結果,但是學生用分公升量杯報讀有多少液體時,並不會發生類似的錯誤報讀直尺和分公升量杯測量結果時,都必須掌握刻度0和測量結果的刻度,差別是學生用直尺測量時,必須自己找出刻度0,才能報讀測量結果的刻度,而用分公升量杯測量時,不必找出刻度0,只要報讀測量結果的刻度即可再以量角器和秤這兩種測量工具為例,用量角器測量角度時,必須自己找出刻度0,而用秤測量物體重量時,不必找出刻度0,因此學生用量角器測量角度較可能發生錯誤(二)秤的秤面結構國小課程中常使用的秤有1公斤秤3公斤秤及體重計等,先以1公斤秤為例,較詳細的說明1公斤秤的刻度結構,再說明體重計的刻度結構13136第三章重量-理念篇先將1公斤秤面上呈圓形排列的數線拉直,代表1公斤,也就是1000公克再將拉直後的數線平分成10份,形成最大的刻度,每一個最大刻度表示100公克,最大刻度上依序標上數字0100g00g300g.1000g(圍回圓形時,0和1000標示同一個刻度);再將最大刻度平分成份,形成次大的刻度,每一個次大刻度表示50公克,次大刻度上依序標示數字50g150g50g950g;接著將每一個次大刻度5等份,形成次小的刻度,每一個次小的刻度表示10公克,再將每一個次小刻度等份,形成最小的刻度,每一個最小的刻度表示5公克,次小及最小的刻度上都沒有數字家用體重計的秤面上只能看到部份的刻度,其它的刻度隱藏起來看不到,秤面上類似指針功能的標線是不動的,只有秤盤上的刻度在轉動家用體重計都是以1公斤為單位,有兩類標示刻度單位的方式,第一類以5公斤為主要刻度,刻度上能看到數字;第二類以10公斤為主要刻度,刻度上能看到數字這兩類標示方式都還有小刻度,有的小刻度有的只有1公斤,有的多了半公斤的刻度,這些刻度上面都沒有數字14137測量重量的單位秤15138第三章重量-理念篇3-3-:如何報讀物體的重量認知及數學結構:下面以1公斤秤為例,建議教師透過下面的步驟,幫助學童解決報讀測量物體的重量步驟1:先報讀最大的刻度1公斤秤面上最大的刻度是100g,教師可以利用每次累加100公克法碼的方式,幫助學生報讀最大刻度100g00g300g1000g步驟:再報讀秤面上次大的刻度1公斤秤面上次大的刻度是50g,教師可以利用每次累加50公克法碼的方式,先幫助學生依序報讀次大及最大的刻度50g100g150g00g50g1000g;再由50g開始,透過每次累加100公克法碼的方式,幫助學生報讀出次大刻度50g150g50g950g步驟3:最後報讀次小和最小的刻度當學生掌握這些有數字刻度的意義後,才能透過累加10公克及5公克的方式,報讀秤面上次小及最小的刻度,例如先透過每次累加10公克法碼,幫助學童報讀10g0g30g40g50g90g,100g,或先放置00公克的法碼,再透過每次累加5公克法碼,幫助學童報讀00g05g10g15g0g50g16139測量重量的單位-秤55g步驟4:幫助學生察覺,在秤上逐一加上物體時,秤面上指針的轉動愈大,在秤上逐一拿走物體時,秤面上指針的轉動愈小步驟5:進行實測的活動(以385公克為例)學生學會報讀秤面的刻度後,就可以開始進行實測的活動,實測的順序是先找出有數字的刻度,再報讀次小及最小的刻度,例如先找出指針指在350g和400g之間,再透過報讀350g360g370g380g385g的方式,得到物重385g的結果17140第三章重量-理念篇主題3-4:重量單位的化聚3-4-1:重量單位化聚的迷失概念認知及數學結構:很多教師認為透過下面的格子圖,很容易幫助學生進行公斤及公克兩單位的化聚活動,例如面對公克=()公斤的問題時,只要將公克的個位數字對齊圖一中的公克,再將數字填入格子中,就可以看到公克=34.5公斤的答案;面對38.公斤=()公克的問題時,只要將38.公斤的個位數字對齊圖二中的公斤,再將數字填入格子中,並在小數右邊的缺項補0,就可以看到38.公斤=3800公克的答案公公公公斤克斤克(圖一)(圖二)這是不正確的的教學方式,畫格子圖並不是解決單位化聚問題的概念,只是一種幫助記憶特定單位化聚的解法,面對公斤與公克兩單位間的化聚問題,利用上圖中的格子圖是有效的,但是面對公噸與公克公尺與公分平方公尺與平方公分等其它18141重量單位的化聚單位的化聚問題時,上圖中的格子圖對解題並沒有幫助,學生必須記憶很多組不同的格子圖,才能解決所有單位化聚的問題,是非常沒有效率的解題方式利用格子圖解題的學生,並沒有學到單位化聚的概念,雖然在小範圍特定單位化聚的考試中得到較好的成積,但是以後面對非十進制民間單位的化聚問題時,例如1公斤=.英磅,4.8公斤=()英磅,或1台斤=0.6公斤,.3台斤=()公斤,學生無法畫出格子圖,完全沒有成功解題的機會19142第三章重量-理念篇3-4-:重量整數及整數及分小數倍單名數小數倍單名數的化聚認知及數學結構:下面以公斤及公克單位化聚的問題為例,說明如何幫助學生解決問題有三種解決單位化聚問題的解題策略,第一種策略是利用乘法及除法來解題;第二種策略是利用單位量轉換的概念來解題;第三種策略是利用比或比值的概念來解題其中第一種策略利用乘法解決大單位化為小單位的問題,利用除法解決小單位聚為大單位的問題,因此學生常混淆該用乘法或除法來解題,而第二種策略和第三種策略將化與聚的問題視為相同的解題活動下面分成大單位公斤化成小單位公克,以及小單位公克聚成大單位公斤兩部份來說明(一)大單位化為小單位下面以問題1及問題為例,說明如何幫助學生將大單位公斤化為小單位公克其中問題1是整數倍的化聚問題,問題是小數倍的化聚問題問題1:3公斤=()公克策略甲:利用乘法乘法來解題當學生能掌握整數乘以整數的問題後,教師可以透過下面分段布題的步驟,幫助學生解決問題1130143重量單位的化聚步驟1:1盒蘋果有0個,3盒蘋果有多少個?學生會利用算式03=60,算出3盒蘋果有60個步驟:1公斤是1000公克,3公斤是多少公克?教師可以幫助學生利用算式=3000,算出3公斤是3000公克策略乙:利用單位量轉換概念來解題當學生知道3公斤是3個1公斤,並掌握整數乘以整數的問題後,教師可以透過下面分段布題的步驟,幫助學生解決問題1步驟1:3公斤和幾個1公斤合起來一樣重?教師說明3個1公斤合起來是3公斤,3公斤和3個1公斤合起來一樣重步驟:1公斤=1000公克,3個1公斤合起來和多少公克一樣重?教師說明3個1公斤合起來和3個1000公克一樣重,步驟3:3公斤合起來和3個1000公克一樣重,把做法用算式記下來?教師說明3個1000公克,也就是1000公克的3倍,=3000,可以記成3公斤=3000公克問題:4.6公斤=()公克策略甲:利用乘法來解題131144第三章重量-理念篇當學生有離散量情境分數做數問題的解題經驗,也有一位小數和十分之幾分數互換的解題經驗,教師可以透過下面分段布題的步驟,幫助學生解決問題步驟1:1盒蘋果有0個,35盒蘋果有多少個?教師透過35盒蘋果是將1盒蘋果平分成5份,取出其中的3份,也就是將0個蘋果平分成5份,取出其中的3份的想法,幫助學生利用算式05=4,43=1,算出35盒蘋果有1個的答案步驟:將小數0.6改記成分數,記記看教師透過小數0.6是分數610的另一種記法;或透過0.6是6個0.1,也就是6個110,6個110是610的想法,幫助學生將0.6改記成610步驟3:1公斤是1000公克,請問0.6公斤是多少公克?教師幫助學生利用算式0.6=610,=100,1006=600,算出0.6公斤是600公克步驟4:1公斤是1000公克,請問4.6公斤是多少公克?13145重量單位的化聚教師幫助學生可以利用算式=4000,=100,1006=600,=4600,算出4.6公斤是4600公克策略乙:利用單位量轉換概念來解題當學生知道4.6公斤是4.6個1公斤,也有解決整數乘以小數問題的經驗,教師可以透過下面分段布題的步驟,幫助學生解決問題步驟1:4.6公斤和幾個1公斤合起來一樣重?教師說明4.6公斤和4.6個1公斤合起來一樣重步驟:1公斤=1000公克,4.6個1公斤合起來和多少公克一樣重?教師說明4.6個1公斤合起來和4.6個1000公克一樣重步驟3:4.6公斤合起來和多少公克一樣重,把做法用算式記下來?教師說明4.6個1000公克,也就是1000公克的4.6倍,=4600,可以記成4.6公斤=4600公克策略丙:利用比的概念來解題當學生能掌握比與比值的意義後,就能透過四項比例式1公斤:1000公克=4.6公斤:公克解決問題學生可能透過4.6公斤是1公斤的4.6倍的響法,利用=4600,得133146第三章重量-理念篇到4.6公斤=4600公克的答案也可能利用內項乘以內項等於外項乘以外項的算則,1:1000=4.6:甲,=1甲,甲=4600,得到4.6公斤=4600公克的答案(二)小單位聚為大單位下面以問題3及問題4為例,說明如何幫助學生將小單位公克聚成大單位公斤其中問題3是整數倍的化聚問題,問題4是小數倍的化聚問題問題3:5000公克=()公斤策略甲:利用除法來解題當學生有整數除以整數包含除問題的解題經驗,教師可以透過下面分段布題的步驟,幫助學生解決問題3步驟1:有5000個蘋果,每1000個裝1箱,全部裝完,可以裝成幾箱?學生會利用算式=5,算出5000個蘋果可以裝成5箱步驟:1公斤可以換1000公克,5000公克可以換多少公斤?教師幫助學生利用算式=5,算出5000公克可以換5公斤步驟3:1公斤是1000公克,5000公克是多少公斤?教師幫助學生利用算式=5,算出5000公克134147重量單位的化聚是5公斤策略乙:利用單位量轉換概念解題當學生知道5000公克是5000個1公克,也知道1公克是公斤,也有小數乘以整數的解題經驗,教師可以透過下面分段布題的步驟,幫助學生解決問題3步驟1:5000公克和幾個1公克合起來一樣重?教師可以澄清5000公克和5000個1公克合起來一樣重步驟:1公克=0.001公斤,5000個1公克合起來和多少公斤一樣重?教師可以澄清5000個1公克合起來和5000個公斤一樣重步驟3:5000公克合起來和多少公斤一樣重,把做法用算式記下來?教師可以說明5000個公斤,也就是公斤的5000倍,=5,可以記成5000公克=5公斤問題4:3040公克=()公斤策略甲:利用除法來解題當學生有整數除以整數,答案是分數或小數的解題經驗,教師可以透過下面分段布題的步驟,幫助學童解決問題4步驟1:有40個蘋果,每1000個裝1箱,全部裝完,相當於裝135148第三章重量-理念篇成幾箱?40學生可以利用算式=0.04(或1000),算出個蘋果相當於0.04(或1000)箱的答案步驟:有40公克,每1000公克換成1公斤,全部換完,相當於多少公斤?40學生可以利用算式=0.04(或1000,算出公克相當於0.04公斤或公斤的答案1000步驟3:有3040公克,每1000公克換成1公斤,全部換完,相當於多少公斤?學生可以利用算式=0.04,=3,=3.04,算出3040公克相當於3.04公斤的答案策略乙:利用單位量轉換概念解題當學生知道3040公克是3040個1公克,也知道1公克是公斤,也有小數乘以整數的解題經驗,教師可以透過下面分段布題的步驟,幫助學生解決問題4步驟1:3040公克和幾個1公克合起來一樣重?教師可以澄清3040公克和3040個1公克合起來一樣重步驟:1公克=0.001公斤,3040個1公克合起來和多少公斤一樣重?136149重量單位的化聚教師可以澄清3040個1公克合起來和3040個公斤一樣重步驟3:3040公克合起來和多少公斤一樣重,把做法用算式記下來?教師可以說明3040個公斤,也就是公斤的3040倍,=3.04,可以記成3040公克=3.04公斤策略丙:利用比的概念來解題當學生能掌握比與比值的意義後,就能透過四項比例式1公斤:1000公克=公斤:3040公克解決問題學生可能利用=3.04,所以是1的3.04倍,得到3040公克=3.04公斤的答案也可能利用內項乘以內項等於外項乘以外項的算則,1:1000=甲:3040,1000甲=30401,甲==3.04,得到3040公克=3.04公斤的答案137150第三章重量-理念篇138151主題3--1:重量的直接比較利用手及天平進行重量的直接比較撰寫者:魏慶雲授課對象:國小二年級學生先備知識:~利用手及天平進行重量的直接比較1.能用手掂物品感受物品的輕重.知道可以利用天平比較物品的重量教學目標:1.能透過手掂物品比較密度相同物品之重量.能透過手掂物品比較密度不同物品之重量3.能以天平比較不同物品之重量4.能知道同一個物品不論是形狀改變時間改變或分割後的總和重量仍舊不變教學時間教學時間:40分鐘(一節課)教學說明:1.重量不是視覺感官量,無法透過視覺判斷兩物體重量的輕重關係,本主題的教學活動中,幫助學生藉由手掂物品或操作天平,來比較不同物品重量的輕重關係.當物品的密度相同時,物體的重量和體積滿足成正比例的關係,但是當物品的密度不同時,無法以物體體積的大小來判斷物體的輕量關係,必須透過手掂物品或操作天平,來比較不同139152第三章重量-案例篇物品重量的輕重關係3.以手掂物品比較兩物輕重時,學生可能用同一隻手拿兩次物品,先拿一個物品,放下後再拿另一個物品來判斷輕重,也可能用雙手,分別拿著物品來判斷輕重4.當物品的重量很接近時,手掂物品不易或無法比較輕重差異,此時可以引入天平來協助比較輕重5.基於對稱性的直覺,學生很容易相信天平平衡時,兩邊物品的重量相等,教師可以透過手掂物品,幫助學童察覺當天平不平衡時,往下沉那一邊的物體比較重6.利用二塊重量相同的黏土,發現它們在天平二端時,天平是平的,然後(1)靜置一段時間()將其中一塊的形狀改變(3)將其中一塊切割為數小塊再利用天平進行測量,發現天平二端依舊是平的,以檢驗同一個物品雖形狀改變時間改變分割再重組後,重量會保持不變的重量保留概念教具準備:黏土小積木水果(體積相當的橘子蘋果芭樂等)活動一:透過手掂物體進行重量的直接比較140153利用手及天平進行重量的直接比較活動目標:透過手掂物體,比較相同密度及不同密度物品的重活動流程:量,並用有>==5<7+4=6()教師宣告:用ㄅ表示大黏土,用ㄆ表示小黏土提問:ㄅ黏土比ㄆ黏土重,要怎麼記?引導學生寫出:ㄅ的重量>ㄆ的重量9.請學生用手掂比較大黏土和10個小積木的重量14155利用手及天平進行重量的直接比較10.請學生說明哪個比較重,並加以記錄11.教師取出體積相當的水果,如:橘子蘋果芭樂,請學生比較輕重,並加以記錄1.引導學生得出下列結論:(1)當物品的重量差異較大時,可以輕易的用手比較重量()當物品的重量差距不大時,用手難以比較輕重(3)用手難以比較輕重時,可以利用工具進行比較活動二:用天平做重量的直接比較活動目標:用天平比較不同物品之重量活動流程:1.教師利用兩塊黏土放置在天平二側,並說明經由天平的操作,可以判斷二塊黏土的重量孰輕孰重(1)當天平兩臂平衡時,表示左邊的物品重量和右邊的物品一樣重()當天平兩臂不平衡時,表示兩邊的物品重量不相同1左邊較低時,表示左邊的物品較重左邊較高時,表示左邊的物品較輕(3)教師可以透過手掂物品,幫助學童察覺當天平不平衡時,比較低那一邊的物體比較重143156第三章重量-案例篇.請各組學生分別在天平兩側放上各種數量的小積木,以檢視天平狀態的變化,並引導學生討論以下狀況:(1)天平的兩端放上相同數量的小積木,天平的狀態如何?()天平的左側放上比右側多的小積木,天平的狀態如何?(3)天平的左側放上比右側少的小積木,天平的狀態如何?3.教師分給每組各二塊體積接近的黏土,請各組找出哪一塊較重,並說明其判斷的理由活動三:檢驗重量的保留概念活動目標:了解重量相同的二塊黏土,若其中一塊的形狀改變活動流程:放置一段時間或分割後的總合,其重量仍會和另一塊黏土的重量相同1.時間改變的重量保留概念:(1)取二個一樣重的水果置於天平兩端,此時天平是平的()教師提問:現在天平是平的,表示這二個水果一樣重但是,經過5分鐘以後,這二個水果還會一樣重嗎?(3)將兩個水果取下,放置於一旁,先進行分割後總重量不變的活動待活動結束後,再將此二個水果放置於天平二側,檢驗天平是否仍是平的144157利用手及天平進行重量的直接比較(4)最後得出結論:一樣重的物品,經過一段時間後,還是會一樣重.形狀改變的重量保留概念:(1)教師取二塊一樣重的黏土置於天平兩端,此時天平是平的()將其中一塊取下,在中心部份按壓使其成為碗狀(形狀亦可做其他變化)(3)詢問學生:這一塊黏土的形狀改變了,重量還會和另一塊一樣嗎?(4)將二塊黏土再放置到天平上,將發現天平依舊是平的(5)得出結論:黏土的形狀雖然改變了,但是重量仍然維持不變3.分割後總重量不變的重量保留概念:(1)取二塊一樣重的黏土置於天平兩端,此時天平是平的()將其中一塊分割為四小塊(3)提問:這兩塊黏土本來是一樣重的,現在其中一塊分成了四小塊,那麼這四小塊的總重量還會和另一塊一樣重嗎?(4)將四小塊黏土一起放到天平上,發現和另一塊一起測量時,天平依舊是平的145158第三章重量-案例篇(5)得出結論:分割後的黏土,總重量還是會和原來的重量一樣指定作業:習題一(配合活動一)選出最適合的答案(1)哪一組積木的總重量最重?13()下面是同一種黏土,大小不一樣,哪一塊黏土的重量最重?13(3)有二個水果,想知道哪一個比較重,可以用甚麼方法?1看一看哪個水果比較大問一問哪個水果比較貴3放在天平上哪邊比較低146159利用手及天平進行重量的直接比較習題二(配合活動二)根據上面的測量結果,在()中填上<=或>(1)的重量()的重量()的重量()的重量指定作業參考解答:習題一(1)()1(3)3習題二(1)()教學注意事項:1.在教學中,教師往往會運用容易取得的教具進行教學活動,然而在重量的實測中,在相同密度的物品中較大的物品會較重,而產生體積較大則物品較重的錯覺教學中宜使用較多種類的物品,進行重量的比較,以利學生認知到:體積較大的147160第三章重量-案例篇物品,不一定比較重.在重量的比較裡,最自然的測量工具就是雙手,為了讓學生利用雙手感受重量的差異,教學中最好先用重量差異較大的物品做比較3.重量的實測最後勢必需要使用測量工具,本單元中不找出每件物品的重量,而是聚焦在兩件不同物品之重量的比較上,因此使用的測量工具為天平但為了製造出使用天平的需求感,需要產生只用手不足以測量的困境,因此教學中須選擇無法用手精準的比較出重量差異的兩個物品,以突顯手的感知力的不足,及使用工具進行測量的必要性4.天平雖是測量質量的工具,但在本教學中僅是比較兩件物品重量的工具,無須強調質量的觀念5.比較完兩件物品的重量後,可教導學生利用有<=>的算式記錄比較的結果,為引入重量單位後的記錄鋪路教學參考資料:鍾靜等(民89)國小數學教材分析-重量和容量三峽:國家教育研究院148161主題3--:重量的間接比較利用手及天平進行重量的間接比較撰寫者:魏慶雲授課對象:國小二年級學生先備知識:~利用天平進行重量的間接比較1.能以天平為工具得到兩物品輕重的關係.認識<=>的意義,能用有<=>的算式記錄兩物品輕重比較的結果教學目標:1.能在重量的比較活動中認識遞移律.能在已知兩兩物體輕重的情境中,利用遞移律找出最重最輕的物品,並加以排序教學時間教學時間:80分鐘(二節課)教學說明:1.本主題教學活動中,先利用天平,找出ABC三件物品中,A與BB與C及A與C間兩兩的輕重關係,再利用遞移律找出三件物品,哪個最重,哪個最輕,並將三件物品的重量加以排序.當學生比較A與B及B與C的輕重關係後,教師可以先引導學生利用遞移律推論A和C的輕重關係,再讓學生實際用天平確認推論的結果149162第三章重量-案例篇教具準備:黏土天平體積大致相同的水果數種活動一:利用天平認識重量的遞移律活動目標:在已知三件物品兩兩輕重關係的情境中,利用遞移律活動流程:對這三件物品的輕重加以排序,或找出三件物品中最重最輕的物品1.教師拿出ㄅㄆㄇ三塊黏土,利用天平比較ㄅㄆ,ㄅㄇ及ㄅㄇ的輕重關係,並用算式記錄比較的結果(1)先將ㄅ黏土及ㄆ黏土放置在天平的兩側比較重量發現ㄅ黏土這一側的位置較低,表示ㄅ黏土較重在黑板上記錄:ㄅ黏土的重量>ㄆ黏土的重量()再將ㄆ黏土及ㄇ黏土放置在天平的兩側比較重量發現ㄆ黏土較重,可以記錄成:ㄆ黏土的重量>ㄇ黏土的重量(3)接著將ㄅ黏土與ㄇ黏土放至天平兩側,發現ㄅ黏土這一側位置較低,記錄成:ㄅ黏土的重量>ㄇ黏土的重量.教師要求學生看著黑板上的三個算式,判斷哪塊黏土最輕,哪塊黏土最重,並說出判斷的理由如學生能說出:150163利用手及天平進行重量的間接比較ㄅ黏土最重,ㄇ黏土最輕因為ㄅ黏土比ㄆ黏土重,ㄆ黏土比ㄇ黏土重,所以ㄅ黏土最重,ㄇ黏土最輕3.教師提問:經過三次測量,我們可以找出三塊黏土中最重的和最輕的但是如果只測量兩次,可以找出最重的和最輕的黏土是誰嗎?4.隨意取出三塊體積接近的黏土,並利用天平進行二次測量,並討論出:(1)ㄅ的重量>ㄆ的重量且ㄅ的重量>ㄇ重量時,僅能得知ㄅ最重()ㄅ的重量>ㄇ的重量且ㄆ的重量>ㄇ重量時,僅能得知ㄇ最輕5.物品中有重量相同者的推論:(1)教師取ABC三塊黏土,並測量出:A的重量=B的重量,A的重量>C的重量()引導學生討論若A的重量=B的重量且A的重量C的重量的結論151164第三章重量-案例篇(4)使用天平驗證上述結論活動二:重量的間接比較活動目標:利用天平,分別比較甲乙兩物品和第三件物品丙的活動流程:輕重關係,再利用遞移律,推出甲乙兩物品誰重誰輕的結果1.將學生分為六組,為每組準備三樣體積相近的不同種類的水果.發給每組一個天平,請各組利用天平量得甲丙和乙丙的輕重關係,進而推論出甲和乙的輕重關係,並完成學習單可能的測量結果如下:(1).甲>丙,丙>乙甲>乙().甲丙,乙>丙無法判斷甲乙的輕重關係(4).甲()的重量第二次測量發現:()的重量>()的重量第三次測量發現:()的重量>()的重量經過這三次測量,我們發現最重的是:()經過這三次測量,我們發現最輕的是:()說說看你是如何判斷出最重和最輕的水果是誰呢?4.各組報告比較結果指定作業:習題一(配合活動二)小英用天平測量三件物品,測量結果如下:第一次測量:153166第三章重量-案例篇第二次測量:請根據這二次測量的結果,從下面的題目中選出最適合的答案:(1)哪一個物品最重?無法判斷()哪一個物品最輕?無法判斷習題二(配合活動二)有四個水果:香蕉橘子番茄和蘋果,如果香蕉的重量=橘子的重量,番茄的重量=蘋果的重量而且香蕉的重量比番茄的重量重,那麼橘子和蘋果誰比誰重?(把結果用>記錄下來)154167指定作業參考解答:利用手及天平進行重量的間接比較習題一(1)1()4(3)1習題二橘子的重量>蘋果的重量教學注意事項:1.教學中應就如何利用遞移性找出三件物品中誰最重?誰最輕?有充分的討論,以澄清學生的概念.為了幫助學生使用有<=>的算式記錄比較的結果,建議教師提問時使用誰比誰重?的問話,不要使用誰比較重?的問話,以後者的方式提問,學生會回答ㄅ黏土比較重,而以前者的方式提問,學生會回答ㄅ黏土比ㄆ黏土重前者較易引入算式ㄅ黏土的重量>ㄆ黏土的重量3.要比較三件物品的重量,若只用天平測量二次,則可能出現:甲只知道誰最重乙只知道誰最輕丙可以從重到輕排出順序教師教學中不妨和學生就這些可能性進行討論,以幫助學生掌握遞移性的使用時機155168第三章重量-案例篇4.四件物品中,兩兩的重量相等,則從等重的各組中各取出一件物品比較重量,則另一件的輕重關係亦可推論得知但這種取四件物品比較的例子,已超過教材中欲討論的遞移性範圍,教師可將其當作挑戰題,視學生的程度做練習教學參考資料:鍾靜等(民89)國小數學教材分析-重量和容量三峽:國家教育研究院156169公斤公克的整數倍單名數及複名數化聚主題3-4-1:整數倍單名數及複名數化聚撰寫者:授課對象:國小四年級學生先備知識:~公斤公克的整數倍單名數及複名數化聚1.知道重量單位:公斤公克.已經知道1公斤等於1000公克教學目標:1.能將整數公斤化為公克.能將公克聚為整數公斤教學時間教學時間:40分鐘(一節課)教學說明:1.本單元教學重點是公斤及公克整數倍單名數及複名數的化聚活動.以重量單位公斤與公克而言,公斤是高階單位,公克屬於低階單位,重量的化聚即為公斤與公克間單位量的轉換活動3.公斤與公克間整數倍單名數化聚,就是將高階單位公斤化為低階單位公克,及將低階單位公克聚為高階單位公斤的轉換活動,轉換過程中的公斤都是整數4.整數倍複名數化聚,就是將單名數公克聚成複名數公斤及公克,以及將複名數公斤及公克化成公克的轉換活動,轉換過程157170公斤公克的整數倍單名數及複名數化聚中的公斤都是整數活動一:將複名數公斤及公克化為單名數公克活動目標:能將複名數公斤及公克化為單名數公克活動流程:1.先複習舊經驗:1kg=1000g教師布題:3公斤等於多少公克?把做法用算式記下來,說說看你的算式記了什麼?請學生進行解題學生可能的算法有二種:(1)=3000答:3公斤=3000公克因為1公斤=1000公克3公斤是3個1公斤,也就是3個1000公克將3個1000公克相加,得到3000公克的答案()=3000答:3公斤=3000公克1公斤=1000公克學生可能有下面兩種說法:13公斤是3個1公斤,也就是3個1000公克158171公斤公克的整數倍單名數及複名數化聚將1000公克乘以3,得到3000公克的答案3公斤是3個1公斤,也就是3個1000公克,3個1000公克是1000公克的3倍,將1000公克乘以3,得到3000公克的答案.教師接著布題:一個箱子重5公斤860公克,和幾公克一樣重?把做法用算式記下來,說說看你的算式記了什麼?解題說明:根據前面活動的經驗,學生可能會利用以下二種解法(1)==5860得到5公斤860公克等於5860公克()==5860得到5公斤860公克等於5860公克3.教師應限制使用加法解題的學生改用乘法來解題4.教師布題:一包米是13公斤50公克,和幾公克合起來一樣多?解題說明:==172所以13公斤50公克和公克一樣重5.教師可多布幾題讓學生練習公斤公克的整數倍單名數及複名數化聚活動二:單名數公克聚為複名數的公斤及公克活動目標:能將單名數公克聚成複名數公斤及公克活動流程:1.先進行單名數公克聚為整數公斤的練習教師布題:5000公克等於幾公斤?把做法用算式記下來,說說看你的算式記了什麼?請學生進行解題學生可能的算法有二種:(1)=====0答:5000公克等於5公斤先拿走1000公克換成1公斤,剩下4000公克再拿走1000公克換成1公斤,剩下3000公克160173公斤公克的整數倍單名數及複名數化聚最後發現5000公克可以換成5個1公斤,所以5000公克等於5公斤()=5答:5000公克等於5公斤學生可能有下面兩種說法1將5000公克除以1000公克,得到5000公克中包含了5個1000公克,1000公克是1公斤,所以5000公克等於5公斤5000個蘋果,1000個裝1盒,可以用除法=5,算出可以裝5盒的答案,同樣的5000公克中,每1000公克換成1公斤,也可以用除法算出5000公克中有5個1000公克,1000公克是1公斤,所以5000公克等於5公斤.接著進行單名數公克聚為複名數公斤及公克的練習教師布題:一張桌子是450公克,和幾公斤幾公克合起來一樣重?解題說明(1)減法方式由上面的練習可以知道每1000公克可以換為1公斤所以161174公斤公克的整數倍單名數及複名數化聚==450換了次之後剩下450公克剩下的部分不足1000公克無法再換因此450公克等於公斤450公克()除法方式=450所以450公克就等於公斤450公克3.教師多布一題供學生練習:小明家的狗重1780公克,是幾公斤幾公克?解題說明利用除法=1780表示1780公克可以分成1個1000公克還剩下780公克所以1780公克是1公斤780公克4.教師布題:一包糖果是450公克,五包糖果等於幾公斤幾公克?解題4505=5050g=000g+50g16175公斤公克的整數倍單名數及複名數化聚=kg50g答:公斤50公克5.教師可以多布幾個類似題讓學生練習在學生自習練習時,可請學生在解題策略中選自己喜歡的策略進行解題指定作業:習題一(配合活動一)(1)3公斤=()公克()7公斤653公克=()公克(3)6000公克=()公斤(4)3867公克=()公斤()公克習題二(配合活動二)(1)大賣場賣的冷凍水餃每包都是100公克,小香買了8包,共重幾公斤幾公克?()在重量為800公克的箱子裡放入600公克的蘋果,共是幾公斤幾公克?(3)3公斤綠豆吃掉1公斤380公克,剩下幾公克的綠豆?指定作業參考解答:習題一(1)(3000)公克163176公斤公克的整數倍單名數及複名數化聚()(7653)公克(3)(6)公斤(4)(3)公斤(867)公克習題二(1)9公斤600公克()5公斤400公克(3)160公克教學注意事項:1.三年級引入重量單位公斤與公克,並進行實測估測與不進退位的加減計算本單元進行的是公斤與公克間單名數及複名數的化聚活動.進行單名數及複名數的化聚時,學生可能有不同的解題策略,教師應接受所有合理的策略,不應要求學生使用特定的策略解題教學參考資料:國立教育研究院籌備處(發行)(005)國中小數學教師專業成長影集-長度篇三峽:國立教育研究院籌備處164177主題3-4-:分小數倍公斤公克的分小數倍單名數及複名數化聚撰寫者:魏慶雲單名數及複名數化聚授課對象:國小五年級學生先備知識:~公斤公克的分小數倍單名數及複名數化聚1.已經知道1公斤等於1000公克.能熟練的進行公斤公克的整數倍單名數及複名數化聚3.會計算整數乘以小數分數4.知道公噸及公斤間的關係教學目標:1.能做小數倍公斤及公克的單名數化聚.能做分數倍公斤及公克的單名數化聚3.能做小數倍公斤及公克的複名數化聚4.能做分數倍公斤及公克的複名數化聚教學時間教學時間:80分鐘(二節課)教學說明:1.學生已有整數倍公斤與公克單名數及複名數化聚活動的解題經驗,本單元的目標是分小數倍公斤與公克單名數及複名數化聚.為了讓學生將大單位化為小單位,以及小單位聚成大單位,都165178第三章重量-案例篇視為相同的解題活動,本單元透過單位量轉換的概念,幫助學生利用乘法解決化聚的問題(1)akga個1kga個1000g1000g的a倍1000ga()aga個1ga個0.001kg0.001kg的a倍0.001kga3.學生已有整倍數單名數及複名數化聚的解題經驗,只要再學會分小數倍的單名數化聚之後,就能類比整數倍複名數化聚的解題方式,解決分小數倍的複名數化聚問題活動一:小數倍及分數倍的公斤化為公克或複名數活動目標:能進行小數倍及分數倍高階重量單位公斤化為低活動流程:階重量單位公克1.教師先以提問方式複習學生的舊經驗,以確定學生知道:5kg=5000g.教師提問:公斤是幾公克?解題說明因為公斤=1000公克166179公斤公克的分小數倍單名數及複名數化聚學生可能會有以下三種解題方式:(1)類比分數做數問題的舊經驗,利用整數乘除法來解題:先想想:1盒蘋果有1000個,盒有多少個?可以用算式=300,算出盒有300個蘋果再類比:1公斤是1000公克,公斤是多少公克?也可以用算式=300,算出公斤是300公克()類比整數乘法問題,利用整數乘以分數來解題1盒蘋果有1000個,5盒蘋果有多少個?可以用算式=3000,算出5盒有3000個蘋果1公斤是1000公克,公斤是多少公克?也可以用乘法算式1000=300,算出公斤是300公克(3)透過單位量轉換的概念,利用整數乘以分數來解題公斤是個1公斤,也就是個1000公克個1000公克,也就是1000公克的倍1000=300,所以公斤是300公克3.教師提問:公斤是幾公克?167180第三章重量-案例篇4.類似於前面真分數的計算方式,因此學生可能出現的解題方法也會有以下三種(1)利用整數乘除法來解題:1000公克58算出1600公克()利用整數乘以分數來解題:1000=1600,算出公斤是1600公克(3)透過單位量轉換的概念:公斤是個1公斤,也就是個1000公克;個1000公克,也就是1000公克的倍;1000=1600,所以公斤是1600公克5.教師再將換單位的題型類比到純小數狀態,教師提問:一塊黏土是0.3公斤,相當於幾公克?解題說明要進行單位的化聚,可以使用以下方法:(1)利用整數乘除法來解題:因為0.3等於所以0.3公斤等於1000公克乘以於是以1000公克103的方式算出答案()利用整數乘以小數來解題:168181公斤公克的分小數倍單名數及複名數化聚因為0.3公斤是3個0.1公斤而0.1公斤是1000公克乘以0.1所以0.3公斤等於1000公克0.3=300公克(3)透過單位量轉換的概念:0.3公斤是0.3個1公斤,也就是0.3個1000公克;0.3個1000公克,也就是1000公克的0.3倍;=300,所以0.3公斤是300公克6.帶小數化為單名數的練習,教師布題:3.9公斤是多少公克?經過以上的教學,建議教師幫助學生以透過單位量轉換的方式進行解題解題說明:3.9公斤是3.9個1公斤,也就是3.9個1000公克3.9個1000公克,也就是1000公克的3.9倍=3900,所以3.9公斤是3900公克7.帶小數化為複名數的練習教師布題:5.89公斤相當於幾公斤幾公克?解題說明:5.89公斤是5公斤加上0.89公斤而0.89公斤=1000公克0.89=890公克169182第三章重量-案例篇所以5.89公斤等於5公斤890公克8.可再多布幾個類似題讓學生自行練習9.分數倍公斤化為公克的練習教師布題:公斤是幾公克?是幾公斤幾公克?解題說明:因為公斤是3公斤加上公斤其中的3公斤等於3000公克是學生以前已經學會的概念因此只需要處理公斤的部分而公斤=1000公克=750公克所以公斤=3750公克也可以說是3公斤750公克10.教師可多布類似題讓學生練習活動二:公克聚為小數倍或分數倍的公斤或複名數活動目標:能進行低階重量單位公克聚為小數倍或分數倍高活動流程:階重量單位公斤170183公斤公克的分小數倍單名數及複名數化聚1.公克聚為純小數倍公斤的練習教師先布題:8000公克是幾公斤?以確定學生確實知道是8公斤.教師再布題:800公克是幾公斤?3.解題方法可能有以下二種:(1)類比整數除法問題,利用整數除以整數來解題先想想:1盒蘋果有1000個,5000個蘋果是多少盒?可以用算式=5,算出5000個蘋果是5盒再類比:1公斤是1000公克,800公克是多少公斤?也可以用除法算式=0.8,算出800公克是0.8公斤()透過單位量轉換的概念,利用小數乘以整數來解題已知1公克=0.001公斤800公克是800個1公克,也就是800個公斤800個公斤,也就是公斤的800倍=0.8,所以800公克是0.8公斤*如果學生無法掌握1公克=0.001公斤教師可以透過下列方式幫助學生171184第三章重量-案例篇1公斤=1000公克把1公斤平分成1000份,其中的1份是1/1000公斤,也就是公斤把1000公克平分成1000份,其中的1份是1公克所以1公克=0.001公斤4.教師布題:35公克是幾公斤?解題方式可以有以下二種(1)利用整數除以整數來解題:=0.035(公斤)()透過單位量轉換的概念:已知1公克=0.001公斤35公克是35個1公克,也就是35個公斤35個公斤,也就是公斤的35倍=0.035,所以35公克是公斤5.單名數轉變為帶小數倍的公斤之題型:教師布題:6890公克是幾公斤?單位量轉換的方式之解題說明:6890公克是6890個公斤=185公斤公克的分小數倍單名數及複名數化聚所以6890公克是公斤6.教師接著再布一個由複名數轉變為小數倍的公斤之題型:一袋水果重3公斤700公克,是幾公斤?單位量轉換的方式之解題說明先將3公斤分離出來,僅僅處理700公克的部分而由前面的經驗,已經可以得知:=0.7也就是說700公克是0.7公斤所以3公斤700公克就是3.7公斤7.接著進行分數倍題型的練習8.教師布題:4603公克是幾分之幾公斤?解題說明時依然使用換單位方法,也就是說:因為4603公克是4603個1公克也就是4603個公斤4603=所以4603公克是公斤9.再布一個複名數的例子:6公斤350公克是幾分之幾公斤?解題說明:可先說明6公斤的部分,可以直接轉為分數表示法的整數部分,無須再做轉換173186第三章重量-案例篇需要處理的僅是350公克的部分而此一部分就如前面所學之單位量轉換,可得:350=也就是350公克=公斤因此6公斤350公克是6公斤10.教師布題:10公斤75公克等於幾公斤(答案以分數呈現)?解題說明:(1)因為75公克等於公斤()所以10公斤75公克就是10公斤11.教師布題:5公噸605公斤等於幾公噸?1.因公噸與公斤的化聚和公斤公克間的化聚相類似,因此教師可讓學生直接類化前面的學習經驗,而得到以下結果:605公斤=公噸=0.605公噸所以5公噸605公斤等於公噸指定作業:習題(1)大賣場賣的米一包重3.6公斤,是幾公斤幾公克?()在重量為.83公斤的箱子裡放入.6公斤的蘋果,共是幾公斤幾公克?174187公斤公克的分小數倍單名數及複名數化聚(3)公斤的綠豆吃掉公斤,剩下幾公斤幾公克的綠豆?(4)爸爸買了二顆西瓜,其中一顆重公斤45公克,另一顆重5公斤60公克,二顆西瓜共重多少公斤?指定作業參考解答:習題(1)3公斤600公克()5公斤43公克(3)1公斤100公克(4)7.51公斤教學注意事項:1.本單元的教學設計均聚焦在幫助學童透過單位量轉換的概念(1kg=1000g,1g=kg),利用乘法解決化聚的問題例如將3.8個1公斤(3.8公斤)視為3.8個1000公克,利用乘法算出3.8公斤=3800公克;將0個1公克(0公克)視為0個公斤,利用乘法算出0公克=0.0公斤.學童在解單位化聚的問題時,經常混淆該用乘法或除法來解題(例如:3.8公斤=()公克或英磅;7.英磅或公克=()公175188第三章重量-案例篇斤),單位量轉換的想法可以幫助學生將化與聚的問題視為相同的解題類型3.有許多教材中,會利用換算表教導學生進行複名數與單名數間的轉換但是在量與實測裡,不同單位間轉換的進位方式不同,如:長度中的厘米與毫米是十進位,厘米與米是百進位;面積中的平方公尺與平方公分是萬進位,公畝與公頃是百進位;重量中的公斤與公克是千進位等若學生在每一種換算中都依賴換算表進行,需要記憶的各種換算表會異常複雜,容易造成混淆因此教師教學,仍應關注在個別單位換算的基礎上,以免學生在各種不同種類換算的時候產生錯誤176189長度重量面積1a=100m(百進位)公斤公克的分小數倍單名數及複名數化聚4.關於利用試算表進行換算,可能帶來記憶上的負擔試舉幾例如下表:量換算的單位換算方式換算表可能方式厘米與毫米1cm=10mm(十進位)米與厘米1m=100cm(百進位)公里與米1km=1000m(千進位)公斤與公克1kg=1000g(千進位)1kg=.0466lb公斤與磅1lb=kg無法以換算表換算平方公尺與平方公分公畝與平方公尺1m=10000cm(萬進制)公畝與坪1a=30.5坪無法以換算表換算177190第三章重量-案例篇由以上列舉的幾個例子,可以看出在不同單位間的換算,有各式各樣的換算表,甚至出現無法以換算表換算的狀況因此利用換算表進行換算的教學,在單一的單元中也許看起來有效且迅速,但以數學學習的整體性來看,卻未必是最有利的教學5.本單元的計算,會使用整數乘以小數的過程,因此建議放在五年級下學期再進行教學教學參考資料:國立教育研究院籌備處(發行)(005)國中小數學教師專業成長影集-小數篇國立教育研究院籌備處178191第四章:角度角與角度撰寫者:謝堅主題4-1:角與角度4-1-1:圖形角與張開角認知及數學結構:角和角度是兩種不同的概念,角討論的重點是已存在的角形,包含頂點邊等構成要素,屬於幾何圖形的教材,而角度討論的是如何將角形張開或旋轉的程度數量化,屬於量與實測的教材,本文討論的重點是角度(一)圖形角數學上討論的角是由圖形中抽離並抽象化後的角,角是共端點兩條射線的聯集,如圖一中的角是由共端點的射線OP和OQ所組成,OP和OQ這兩條射線可以無限的延長國小階段所討論的角不是抽象化後的角,只討論隱藏在幾何圖形中的角,並稱之為圖形角,圖形角是幾何圖形的一部份,如圖二中的圖形角隱藏於長方形中,圖形角由長方形的一個頂點B和相鄰的兩邊所構成,P稱為角的頂點,國小教材並不討論角的兩邊有多長PABOQDC(圖一)(圖二)(二)張開角179192第四章角度-理念篇張開角指的是共端點兩重合線段張開的結果,共同的端點稱為頂點,張開後的兩線段稱為邊,因為張開後的形狀像一個圖形角,故稱之為張開角張開角的角度指的是張開的程度,選定單位量後,可以把角張開的程度數量化,國小階段討論張開角的角度不宜超過180度張開角和圖形角的形狀相同,都稱之為角,但是必須透過張開程度有多少的想法,這個角才有測量張開程度,也就是測量角度的需求透過共端點兩根竹籤的開與合,再加上張開程度結果的記錄,比較容易引入張開角的概念,以圖三為例,左圖中角張開的程度比右圖中角張開的程度小,所以左圖張開角的角度比右圖張開角的角度小(圖三)1801934-1-:角度的直接及間接比較角與角度認知及數學結構:(一)角度的直接比較圖形角是幾何的教材,可以透過先疊合頂點及一邊,再將另一邊放在疊合邊的同側的方式,判斷這兩個圖形角是否全等,如果另一邊也能疊合,這兩個圖形角全等,若另一邊不能疊合,這兩個圖形角不全等也可以延伸上面的想法,透過哪一個角包含在另一個角內部的方式,比較兩個圖形角的大小,但是,當圖形角依附在幾何圖形上時,並沒有可以比較大小的量,因此當學生尚未掌握張開程度或旋轉程度的意義之前,不宜進行兩個圖形角大小的比較活動部份教師喜歡透過扇子的開與合與學生溝通張開角張開程度的意義,認為這種教法很有效率,因為教完之後,學生很快就能解決張開角角度大小的比較問題以比較張開角度比較大的甲扇,以及張開角度比較小乙扇為例,如果學生說甲扇的角比乙扇的角大,一定是指甲扇張開的程度比乙扇大嗎?如果學生能能掌握面積大小的意義,或掌握弧線長短的意義,就能透過甲扇的面積比乙扇大,或甲扇弧的長度比乙扇長的現象,陰錯陽差的解決張開角角度大小的比較問題181194第四章角度-理念篇再以比較下圖中兩個角角度的大小為例,相當高比例的學生誤認為右邊那個角的角度比較大,理由可能是右邊那個圖形所夾的面積比較大,或右邊那個圖形的邊比較長,或右邊那個圖形所圍成的弧比較長,因為面積大小邊及弧長的長短,都比角張開的程度容易掌握為什麼學生常透過邊的長短扇形面積的大小弧的長短等特徵,來比較兩個角張開程度的大小,主要的理由是學生只看到張開角張開後的結果,並沒有看到張開的過程,無法理解張開程度的意義,建議教師透過實作,讓學生經驗張開角張開程度的意義下面提出一種能幫助學生掌握張開程度意義的教學策略先拿出兩把扇子,其中一把扇子的邊比較長,另一把扇子的邊比較短,先張開邊長較長的那把扇子,問學生扇子張開了多大,學生可能描述扇子的面積弧長等與張開程度無關的答案;此時可將邊長較短的那把扇子張開到和前一把扇子一樣大,再問學生這兩把扇子張開的程度是否一樣,此時兩把扇子的面積邊長及弧長都不相同,只有張開的程度相同,強迫學生排除邊的長短扇形面積的大小弧的長短等因素,將注意力放在張開程度上接下來,再將邊長較短的扇子張開一些,問哪一把扇子張開的程18195角與角度度比較大,此時邊長較長扇子的邊長弧長都比邊長較短的扇子長,邊長較長扇子的面積也比邊長較短的扇子大,只有張開的程度比較小,可以檢查學生是否掌握張開程度的意義(二)比較與描述在進行直接比較或間接比較時,教師應掌握所進形的是比較活動或描述的活動,比較與描述的意義不同當教師要求學生記錄張開的結果時,教學重點是如何描述張開的結果,例如教師可以詢問,下面這些圖形都能夠溝通角張開的程度嗎?當教師要求學生比較兩個角誰張開的程度比較大時,教學重點是比較兩個角角度的大小,例如教師可以詢問,下面這兩個角,哪一個角比較大或哪一個角張開的程度比較大?(三)角度的間的間接比較當學生掌握張開角的意義,以及形成角度的保留概念之後,183196第四章角度-理念篇就能透過先複製再直接比較,以及利用第三個角或遞移性,解決角度間接比較的問題以下圖為例,學生可以在透明紙上複製甲角,再和乙角進行直接比較,就能得到乙角比甲角大的結果;如果學生能找到丙角,讓丙角比甲角大,且丙角比乙角小,就能透過遞移性,得到乙角比甲角大的結果甲乙184197主題4-:角度的合成與分解角度的合成與分解4--1:旋轉角認知及數學結構:數學上討論的旋轉角是一條射線繞著端點旋轉的結果,它可以順時針或逆時針方向旋轉很多圈,高中三角函數引入的角就是旋轉角概念,旋轉的角度可以是任意的正數或負數國小階段沒有引入射線的概念,故將旋轉角視為一條線段繞一個端點旋轉的結果,國小階段也沒有引入負數,因此不討論旋轉角度的正與負,並限制旋轉角度介於0度和360度之間如果將旋轉前後的線段及端點記錄下來,它的形狀也是圖形角,故稱之為旋轉角下圖是一個旋轉角,旋轉前的甲邊為始邊,旋轉後的乙邊為終邊,旋轉的支點為頂顛,旋轉的方向是逆時針方向為了讓學生瞭解旋轉活動,畫旋轉角時應該包含始邊終邊頂點以及旋轉的方向1185198第四章角度-理念篇旋轉角是一個向量,包含了旋轉的程度和旋轉的方向,選定單位量以及旋轉方向後,數學上利用整數把旋轉角旋轉的程度及方向數量化例如約定逆時針方向為正向,則順時針方向為負向,逆時針旋轉30度可以記成+30度,順時針旋轉30度可以記成-30度透過時鐘上指針的轉動,再加上旋轉活動的記錄,比較容易引入旋轉角的概念旋轉角的角度是一個向量,在國小階段可以討論順時針及逆時針兩種旋轉現象,但是不涉及正負角度的概念,例如稱逆時針旋轉30度,但是不引入+30度的記法在國小階段,旋轉角的角度可以超過180度,但以不超過360度為限1861994--:角度的合成與分解角度的合成與分解認知及數學結構:學生能用加法5+3=8算出甲有5個蘋果,乙有3個蘋果,兩個人合起來共有8個蘋果,並掌握解題活動的意義後;當他再用加法5+3=8算出甲繩長5公分,乙繩長3公分,兩條繩子接起來長8公分時,可能只是透過類比題目語意的方式解決問題,並不表示他能掌握解題活動的意義前面的問題可以透過畫出5個蘋果和3個蘋果,再利用點數得到8個蘋果的答案,但是後面的問題只能畫出兩條繩子,兩條繩子接起來變成一條繩子學童必須掌握5公分就是5個1公分,3公分就是3個1公分,才能利用點數蘋果的舊經驗,透過點數幾個1公分解決問題相同的理由,學生能用加法50+30=80記錄甲有50個蘋果,乙有30個蘋果,兩個人合起來的蘋果和80個一樣多,當他再用加法50+30=80記錄甲角的角度是50度,乙角的角度是30度,兩個角合以來的角度和80度一樣大時,可能只是透過類比題目語意的方式解決問題,並不表示他能掌握角度合成活動的意義教師應先幫助學童理解角度的單位1度的意義,再透過旋轉角的合成與分解,幫助學童理解角度相加或相減的意義187200第四章角度-理念篇(一)角度的合成建議教師利用合成兩次旋轉及一次旋轉的比較活動,透過下列步驟,幫助學生理解可以用加法算式記錄角度合成結果的意義步驟1:先進行兩次旋轉的活動,第一次由甲邊順時針方向旋轉至乙邊,用1記錄旋轉的結果;第二次由乙邊順時針方向旋轉至丙邊,用記錄旋轉的結果步驟:用1+記錄這兩次旋轉活動合成的結果步驟3:再進行一次旋轉的活動,由甲邊直接順時針旋轉至乙邊,用3記錄旋轉的結果步驟4:透過比較1+和3,幫助學生發現,它們的始邊終邊旋轉方向和旋轉大小都相同,是相等的旋轉角,可以記成1+=201角度的合成與分解(二)角度的分解建議教師利用分解兩次旋轉及一次旋轉的比較活動,透過下列步驟,幫助學生理解可以用減法算式記錄角度分解結果的意義步驟1:先進行兩次旋轉的活動,第一次由甲邊順時針方向旋轉至乙邊,用1記錄旋轉的結果;第二次由乙邊逆時針方向旋轉至丙邊,用記錄旋轉的結果步驟:用1-記錄這兩次旋轉活動分解的結果步驟3:再進行一次旋轉的活動,由甲邊直接順時針旋轉至丙邊,用3記錄旋轉的結果步驟4:透過比較1-和3,幫助學生發現,它們的始邊終邊旋轉方向和旋轉大小都相同,是相等的旋轉角,可以記成1-=202第四章角度-理念篇主題4-3:角度單位及量角器4-3-1:角度單位認知及數學結構:數學上有兩種描述平面角角度的單位,一種以度為單位,是國中小階段經常使用的單位;另一種以弳為單位,是高中及較高深數學經常使用的單位,分別說明如下(一)以度為單位的角度先畫出一個圓,將圓周等分成360份,稱旋轉1份弧長的角度為1度,旋轉四分之一圈的角度為90度,旋轉半圈的角度為180度,旋轉一圈的角度為360度,所以直角的角度是90度平角的角度是180度,圓周角的角度是360度為什麼要將圓周等分成360份,為什麼不等分成100份,這是很多教師提出的問題,可能的理由是360的因數個數最多,比較容易切割圓心角國小階段角度的教材只引入度這一種單位,因此沒有單位化聚的問題,日常生活中常用的角度單位還有分及秒,其中1分=160度,1秒=160分=度190203角度單位及量角器(二)以弳度為單位的角度先畫出一個圓,在圓上選1份和半徑一樣長的弧,該弧所對應的圓心角就是1弳因為圓周長是半徑的π倍,所以圓周角是π弳,平角是π弳,為了記憶兩種角度單位間的互換關係,多數人熟記π弳=180度很多高中學生認為πr的π是圓周率,而sinπ6中的π是180度,這兩個π是兩種不同的概念,這是不正確的想法,這兩種記法中的π都是圓周率有兩種解讀π6弳角度的方法,第一種是回到度的舊經驗,利用π弳=180度,得到π6弳=180度6=30度;第二種是利用弧長對應圓心角的想法,圓周長π是弧長π6的1倍,所以π6弳就是11圓周長所對應圓心角的角度191204第四章角度-理念篇4-3-:量角器認知及數學結構:(一)量角器的刻度結刻度結構先畫出一個圓,將圓周等分成360份,每1份弧所對應的圓心角就是1度,半圓所對的圓心角是平角,平角的角度是180度,圓所對的圓心角是圓周角,圓周角的角度是360度,日常生活中依附在圖形中的角都小於180度,因此量角器呈現半圓形,能測量的角度介於0度和180度之間量角器是一個半圓形,半圓外弧上有1度的小刻度,5度的中刻度和10度的大刻度,通常只有0度45度90度135度及180度的刻度會連接到圓心,因此學生測量角度時都會有一些誤差,只要誤差不超過度,都是可以接受的範圍(二)如何利用量角器量角器測量角度建議教師利用旋轉角的概念,透過下面的步驟,幫助學生利用量角器來測量角度步驟1:量角器的中心點和待測量角的頂點重合步驟:任選一邊為角的始邊,將角的始邊對期量角器的一邊,並在兩組刻度中找出0度和始邊重合的那組刻度步驟3:始邊由0度開始旋轉,旋轉到終邊,終邊所對應的刻度是a度,這個角的角度是a度19205角度單位及量角器(二)使用量角器的迷失概念為了方便量角度,量角器都有兩組刻度,其中一組是順時針方向,另一組是逆時針方向,因此,部份學童使用量角器測量角度時,常將70度報讀為110度,80度報讀為100度,下面簡單說明如何幫助學童正確的報讀角度當學童尚未掌握直角銳角及鈍角的意義前,報讀角度時,應要求同時報讀兩個刻度,養成先將始邊對齊刻度0(先找0度),再看終邊刻度的習慣,並將刻度0到刻度70間的角度簡稱為70度當學童掌握鈍角及銳角的意義,知道被測量角度和直角90度大小關係後,面對銳角70度時,不會將它報讀為110度193206第四章角度-理念篇194207主題4-1-:角度的直接與間接比較角的直接與間接比較撰寫者:詹婉華~角的直接與間接比較授課對象:國小三年級學生先備知識:認識圖形角教學目標:1.能直接比較張開角的大小.能間接比較張開角的大小教學時間:80分鐘(二節課)教學說明:1.生活中所說的角,如牆角角落牛角,和學童數學學習上的角有所不同,學童會因生活中的角,對角的概念產生混淆.在國小階段關於角的教學,二年級時,讓學童認識封閉圖形裡的角,例如:教師會問學童,長方形的哪兒有角?讓學童指出或描繪出長方形的角,再認識其它圖形的角然而,學童可能會誤以為角的大小和圖形的面積或邊長有關角度指的是角張開或旋轉的程度,所以,宜先由張開角進行角195208第四章角度-案例篇的教學,排除圖形面積的干擾,並讓學童了解角的大小和邊長無關3.幾何扣條是國小數學教學常用的教具及學具,有6種尺寸,最長的是紅色幾何扣條,最短的是橘色,可以拼出許多不同的幾何圖形教師可運用幾何扣條進行張開角的操作及描繪活動,讓學童了解角的大小不受邊長的長短所影響紅藍黃綠紫橘(1)教師可讓學童觀察,幾何扣條張開的程度改變,角的大小也跟著改變()教師運用不同幾何扣條改變某個角的邊長,讓學童發現,邊長改變角的大小不變4.當學童了解張開角的意義後,才能進行角的直接比較關於角的直接比較,可以讓學童運用不同長度的幾何扣條,進行不同的張開程度的比較活動5.本教學重點:(1)由疊合幾何扣條的活動,進行角的直接比較196209角的直接與間接比較()透過複製角的活動,進行角的間接比較教具準備:不同長短的幾何扣條,每個學童最少條幾何扣條活動一:認識張開角活動目標:透過幾何扣條的張開程度,認識張開角活動流程:1.教師用紅色幾何扣條組合成一個角,並改變其中一邊張開的程度,問學童:什麼在改變?,引導學童觀察幾何扣條張開的程度在改變,進而回答:角張開的大小改變了紅.操作紅色幾何扣條,讓學童看到並說出幾何扣條張開得越來越大3.再次張開紅色幾何扣條,沿著幾何扣條的內側在黑板上畫下第1個角,接著將其中一邊張開得更大後,讓學童確認張開的程度變大後,畫下第個角,再張開得更大,在學童確認張開的程度更大後,畫下第3個角197210第四章角度-案例篇角1角角34.引導學童說出畫下的3個圖形稱為角,操作幾何扣條讓學童觀察這3個角的變化,他們會發現當紅色幾何扣條張開的程度越大,畫下的角度也越大5.操作幾何扣條,讓學童看到並說出幾何扣條張開得越來越小6.操作紅色幾何扣條,以不同的方向在黑板上另外畫下第4個角,接著將幾何扣條其中一邊張開的程度變小,在學童確認張開的程度變小後畫下第5個角,再讓幾何扣條張開的程度變小,在學童確認張開的程度變小後,畫下第6個角同樣的,讓學童觀察這三個角的變化,學童會發現,當幾何扣條張開的程度越小,畫下的角度也越小角4角5角67.發下幾何扣條,讓學童自己改變幾何扣條張開的程度,並在白紙上描繪3個不同的角讓學童由描繪中察覺幾何扣條張開的198211角的直接與間接比較程度越大,描繪出來的角越大;幾何扣條張開的程度越小,描繪出來的角越小8.拿出橘色幾何扣條,問學童:紅色幾何扣條和橘色幾何扣條,哪一組幾何扣條張開的程度會最大?,學童可能受到扣條長短的影響,而有紅色幾何扣條的角>橘色幾何扣條的角的想法紅橘9.教師先將紅色和橘色兩組扣條一起張開至一樣的大小,再操作讓學童發現橘色幾何扣條可以張開成比紅色幾何扣條還要大的角,也就是橘色幾何扣條的角>紅色幾何扣條的角,所以邊長的長短和角的大小無關紅橘10.教師運用幾何扣條畫下大小相同但邊長不同的角,再用幾何扣條讓學童看到這些邊長不同的角,角的大小一樣,作法如下:(1)張開幾何扣條,在黑板上畫下1個角199212第四章角度-案例篇()運用同樣的幾何扣條畫下邊長較短但大小相同的角,問學童:這個角的大小改變了嗎?(3)透過操作幾何扣條,讓學童確認,雖然邊長改變,但張開的程度不變,所以角的大小不變(4)再畫不同方向的角,並畫下邊長不同但大小相同的角,並透過操作幾何扣條,讓學童觀察,邊長改變但張開的程度不變,以便確認角的邊長長度和角的大小無關00213角的直接與間接比較11.學童兩人一組進行操作及觀察,讓學童了解角度大小和邊的長短無關活動二:角的直接比較活動目標:能透過操作幾何扣條,直接比較張開角的大小活動流程:1.教師用紅色幾何扣條組合一個45度的角,並將此角稱為紅角;用綠色幾扣條組合成一個90度的角,並將此角稱為綠角,問學童:哪一個角比較大?,讓學童自由發表紅綠01214第四章角度-案例篇.問學童:如何確認綠角比紅角大?,讓學童上台嘗試比較教師可引導學童確認綠角比紅角大:將紅角繼續張開到和綠角一樣大讓學童知道,紅角必須繼續張開,才能變得和綠角一樣大,所以原來的紅角比綠角小紅綠綠角比紅角大3.教師拿起紅角,要學童運用手上的扣條做一個比紅角大的角,讓學童上台進行比較,並說明比較兩個角的大小的方法教師再拿起綠角,要學童運用手上的扣條做一個比綠角小的角,讓學童上台進行比較,並說明比較兩個角的大小的方法4.讓學童分組用不同顏色的幾何扣條,進行不同張開角的大小比較活動舉例來說,活動過程可如下:(1)用扣條先做出一個角,再用另一組扣條做出和它一樣大的角()用扣條先做出一個角,再用另一組扣條做出比它大的角(3)用扣條先做出一個角,再用另一組扣條做出比它小的角(4)由扣條張開的程度比較兩個角的大小5.發給每個學童條幾何扣條,兩人一組,玩比角的大小遊戲,0215角的直接與間接比較步驟如下:(1)教師發給每一組寫著大小的紙卡各1張()學童先決定自己幾何扣條張開的大小(3)紙卡寫字的面朝下,抽取1張紙卡並翻開紙卡,若紙卡寫大則較大的角獲勝,若紙卡寫小則較小的角獲勝(4)重複前述(1)~(3)的步驟5次後,獲勝次數較多者勝利6.讓學童發表如何比較個角的大小的方法活動三:角的間接比較活動目標:透過複製角的活動,進行角的間接比較活動流程:1.教師準備畫有大小相近不同方向角的學習單每個學童都有一張透明板.在黑板上畫兩個方向不同大小相近的角-角甲角乙,問學童:哪一個角比較大?,學童可能會回答:甲大乙大或一樣大03216第四章角度-案例篇3.問學童:如何確定哪一個角大或者是兩個角一樣大?,讓學童發表想法4.教師用透明板複製角甲,並問學童,透明板上的角和角甲是否一樣大,若學童無法確定透明板上的角是否和角甲一樣大,教師可讓他們上台將透明板上的角和角甲疊合,讓學童確認透明板上的角和角甲一樣大5.讓學童將透明板上的角疊在黑板上的角乙之上,並進行比較04217角的直接與間接比較6.問學童:角甲和角乙哪一個角比較大?學童可以由透明板上的角和角甲一樣大,且透明板上的角比角乙大,說出角甲比角乙大7.讓學童用透明板複製角乙,再將透明板上的角與角甲比較,學童會發現角甲仍然比角乙大8.發下畫有各種大小相近不同方向角的學習單,讓學童運用透明板進行角的大小比較,完成學習單9.教師在黑板上畫下和學習單上相似的四邊形讓學童發表比較角1角角3角4大小的方法及結果,學童的可能方法如下:(1)可以直觀看出角1最大()可由複製角3後和角4角比較,發現角3最小(3)可由複製角4後和角3比較,發現角4比角3小(4)最後知道角1最大,角3最小10.問學童:除了用透明板來複製角,還有沒有其他方法可以複製角?,教師可引導學童發現,也可以用幾何扣條來複製角,05218第四章角度-案例篇步驟如下:(1)比較個無法移動的角時,將一組幾何扣條其中一邊先對齊一個角的一邊,然後張開幾何扣條,讓幾何扣條的另一邊對齊這個角的另一邊()不改變幾何扣條張開的程度,將幾何扣條移至另一個角上,將一邊對齊這個角的一邊,再比較另一邊,便可比較出哪一個角比較大11.向學童說明,比較兩個無法移動的角時,可以在透明板上複製其中一個角,再將透明板上的角與另一個角比較,就可以比較出兩個無法移動的角的大小也可以運用幾何扣條複製其中一06219角的直接與間接比較個角後,將複製的角和另一個角進行比較,同樣可以比較出兩個無法移動的角的大小指定作業:習題一(配合活動三)(1)先用透明板畫下角甲比比看,角甲和角乙哪一個角大?答:()大()先用透明板畫下角比比看,角1和角哪一個角大?答:()大07220第四章角度-案例篇習題二(配合活動三)(1)比較下圖3個角的大小答:()最大,()最小()比較下圖4個角的大小答:()最大,()最小指定作業參考解答:習題一(1)甲()習題二(1)角C,角B08221角的直接與間接比較()角甲,角乙教學注意事項:1.本教學目標雖然是讓學童透過操作幾何扣條和複製角的活動,直接或間接比較張開角的大小,但教師仍應透過幾何扣條的操作活動,確認學童已了解張開角的意義.在黑板上畫下張開幾何扣條所形成的張開角時,描繪幾何扣條的內側比外緣更容易畫出角的頂點和兩邊,建議教師提醒學童描繪幾何扣條的內側來畫角3.可以在描繪角的活動中,加入如:改變角的邊長描繪角的張開變化角度的大小比較,改變角的方向等學童經由描繪角的活動,了解角的大小和角的邊長方向無關4.關於角度大小的直接比較,學童可能由直觀來比較出角度的大小,此時可以促使學童透過幾何扣條疊合及張開的活動來觀察或檢驗直觀是否正確5.運用不同長度的幾何扣條進行直接比較的活動宜多操作,包括:兩組幾何扣條的角一樣大較長幾何扣條的角比較短幾何扣條的角大等6.疊合幾何扣條進行角的大小比較時,宜提醒學童注意,頂點必須先對齊,才能進行比較另外,宜讓學童發現較短的幾何扣條放在較長的幾何扣條之上,比較容易比較出角的大小09222第四章角度-案例篇7.當幾何扣條的一邊沒對齊時,可能無法判斷哪一組幾何扣條的角比較大,宜讓學童先將幾何扣條的一邊對齊,再比較另一邊;比較另一邊時,要運用張開角的概念來檢驗,譬如說,當AOB為小角COD為大角,檢驗方法如下:疊合O點,且邊A與邊C疊合(1)可以張開B邊直到與D邊疊合,由小角要張開才能和大角一樣大的歷程比較出二個角的大小()也可以合起D邊直到與B邊疊合,由大角要合起才能和小角一樣大的歷程,比較出二個角的大小ABCODB邊張開至與D邊疊合ABCDOD邊合起至與B邊疊合10223角的直接與間接比較8.運用透明板複製某角後,用透明板上的角疊合其他的角時,亦要讓學童先對齊一邊,再比較另一邊需注意學童是否先確實疊合個角,才進行比較9.學童運用透明板複製角時,可讓學童運用直尺畫出角的邊,並提醒學童,繪製時不可移動透明板教學參考資料:朱建正等(民91)國小數學教材分析-體積和角度三峽:國家教育研究院11224第四章角度-案例篇主題4--:角度的合成與分解撰寫者:詹婉華~角度的合成與分解授課對象:國小四年級學生先備知識:1.能進行張開角的直接與間接比較.認識旋轉角3.認識角度單位度,並能測量角的角度4.知道順時針方向逆時針方向的意義教學目標:1.能做角的合成並用加法算式記錄.能做角的分解並用減法算式記錄教學時間:40分鐘(一節課)教學說明:1.關於角的加法和一般生活中我們所熟悉的數量加法有所不同學童可以用加法35+45=80算出小明有35顆糖果,小華有45顆糖果,二人合起來共有80顆糖果,並掌握解題活動的意義但學童用加法35+45=80算出角A是35度,角B是45度,合起來是80度時,可能只是透過類比題目語意的方式解決問題,並不表示他們能掌握角度合成的意義同樣的,學童在學習角的減法時,所寫的減法,也可能只是透過類比題1225角度的合成與分解目的語意的方式解決問題,而非真的理解角度的分解意義.學童可透過角度旋轉二次後,和另一個角的比較角度活動,理解角度合成的意義活動如下:(1)畫下始邊,旋轉後畫下終邊,如角1()再以角1的終邊為始邊,旋轉後畫下終邊,如角(3)接著,以角1的始邊為始邊,旋轉至角的終邊,如角3(4)最後,比對角1和角合起來是角33.學童可透過旋轉角度和比較角度的活動,理解角度分解的意義,活動如下:(1)畫下始邊,旋轉後畫下終邊,如角甲13226第四章角度-案例篇()以角甲的終邊為始邊,逆向旋轉後畫下終邊,如角乙(3)再以角甲的始邊為始邊,旋轉至角乙的終邊,如角丙(4)比對角甲拿掉角乙會剩下角丙4.在學童學習角的加法或減法時,可以透過旋轉角的合成與分解的歷程,幫助學童理解角度相加或相減的意義5.本教學重點:透過旋轉角的合成與分解,讓學童理解角的相加及角的相減的意義,並用算式記錄教具準備:竹籤直尺量角器14227活動一:角度的合成角度的合成與分解活動目標:透過畫旋轉角,進行角度的合成活動,並用加法算式活動流程:記錄1.教師用直尺在黑板上記錄直尺的位置,並告訴學童剛剛畫下的邊稱為甲邊,然後用竹籤貼合甲邊且竹籤的頂點對齊甲邊的一端,竹籤順時針旋轉大約60度,再用直尺記錄竹籤的終止位置,並告訴學童這一個邊是乙邊教師引導學童說出剛剛畫下的角,始邊是甲邊終邊是乙邊,並指出頂點的位置,並將這個角稱為角228第四章角度-案例篇.以乙邊為始邊,依流程1的方式,竹籤以順時針方向做出大約45度的旋轉後,用直尺記錄竹籤的位置,並告訴學童這個邊稱為丙邊教師讓學童確認第二次畫下的角的始邊是乙邊終邊是丙邊,第二個角的頂點和第一個角的頂點位置相同,並將第二次畫下的角稱為角13.請學童上台,運用竹籤,以甲邊為始邊丙邊為終邊,旋轉竹籤教師問:如何記錄甲邊為始邊丙邊為終邊的角?,請學童發表想法教師再請學童上台在黑板上表示出以甲邊為始邊丙邊為終邊的角,並將這個角稱為角教師問:角1和角合起來和哪一個角一樣大?,學童可由16229角度的合成與分解剛剛操作的歷程,說出角1和角合起來和角3一樣大教師問學童:如何知道角1角和角3的角度有多大?我們用量角器來量量看讓學童上台進行測量,學童會量出角1是60度角是45度角3是105度,教師引導學童學習記錄角1=60度角=45度角3=105度讓學童確認:因為角1和角合起來和角3一樣大,所以60度加45度是105度教師讓學童運用加法算式記錄,學童會記為角1+角=角3,60度+45度=105度5.問學童:角3和哪兩個角合起來一樣大?,學童會回答:角3和角1角合起來的角一樣大教師引導學童運用加法算式記錄,記為角3=角1+角,105度=60度+45度6.讓學童上台運用直尺,在黑板上畫出起始的邊,並稱該邊為甲邊,接著引導學童運用竹籤,從甲邊開始,以逆時針方向旋轉約45度後,用直尺畫下第一個角的終邊,稱該邊為乙邊教師讓學童確認第一個角的始邊終邊及頂點,並稱呼第一個角為角A17230第四章角度-案例篇7.讓學童以乙邊的始邊,逆時針方向旋轉45度後,畫下終邊並稱該邊為丙邊,確認第二個角的始邊終邊及頂點,並稱呼第二個角為角B8.請另一位學童上台用不同顏色的筆,操作竹籤並運用直尺畫出以甲邊為始邊,丙邊為終邊的角,並稱呼這個角為角C,教師問學童:哪兩個角合起來和角C一樣大?,學童由操作的歷程,可以說出角A和角B合起來和角C一樣大教師讓學童記錄角A+角B=角C18231角度的合成與分解9.教師再問:角A和角B合起來和哪一個角一樣大?,確認學童知道角A和角B合起來和角C一樣大問學童:如何知道角A角B和角C的角度有多大?學童可能會回答:用量角器來量量看,教師讓學童上台進行測量,他們會量出角A是45度角B是45度角C是90度,並在黑板上記錄角A=45度角B=45度角C=90度教師引導學童確認:因為角A和角B合起來和角C一樣大,所以45度加45度是90度讓學童運用加法算式記錄,會記為角A+角B=角C,45度+45度=90度10.問學童:角C和哪兩個角合起來一樣大?,學童會回答:角C和角A角B合起來的角一樣大,教師引導學童運用加法算式記錄,記為角C=角A+角B,90度=45度+45度11.教師以不同的角度,讓學童學習運用量角器量出兩個角的角度合起來等於第三個角的角度,並以加法算式記錄19232第四章角度-案例篇活動二:角度的分解活動目標:透過畫旋轉角,進行角度的分解活動,並用減法算式活動流程:記錄1.教師在黑板上沿著直尺的邊畫一條直線,告訴學童剛剛畫下的邊稱為甲邊然後用竹籤貼合甲邊且竹籤的頂點對齊甲邊的一端,竹籤順時針旋轉大約10度,再用直尺記錄竹籤的終止位置,告訴學童這一個邊是乙邊教師引導學童說出剛剛畫下的角,始邊是甲邊終邊是乙邊,指出頂點的位置,並將這個角稱為角11.以乙邊為始邊,以流程1的方式將竹籤以逆時針方向旋轉大約0233角度的合成與分解30度後,用直尺記錄竹籤的位置,並告訴學童這個邊稱為丙邊讓學童確認第二次畫下的角的始邊是乙邊終邊是丙邊,第二個角的頂點和第一個角的頂點位置相同,並將第二次畫下的角稱為角13.問學童:以甲邊為始邊,順時針旋轉竹籤到丙邊,可不可以畫出一個角?,請他們發表想法教師請學童上台,在黑板上表示出以甲邊為始邊丙邊為終邊的角,並將這個角稱為角31234第四章角度-案例篇問學童:角1大還是角大?,學童會回答角1大,教師問學童:角1拿掉角會剩下哪個角?,學童會回答:角3教師說明:由剛剛操作的歷程,可以知道角1拿掉角會剩下角35.教師問:如何知道角1角和角3的角度有多大?學童可能會回答:用量角器來量量看,教師讓學童上台進行測量,會量出角1是10度角是30度角3是90度,在黑板上記錄角1=10度角=30度角3=90度教師引導學童確認:因為角1拿掉角會剩下角3,所以10度減30度是90度,並用減法算式記錄為10度-30度=90度6.教師問:角1拿掉角3會是哪個角?你怎麼知道的?,學童由剛剛操作的經驗,會回答:角,並說明理由教師引導學童運用減法算式記錄為10度-90度=30度7.請學童上台運用直尺,在黑板畫出起始的邊,並稱該邊為甲邊,接著引導學童運用竹籤以逆時針方向旋轉約90度後,用直235角度的合成與分解尺畫下第一個角的終邊,稱該邊為乙邊,教師讓學童確認第一個角的始邊終邊及頂點,稱此角為角A8.讓學童以乙邊的始邊,順時針方向旋轉45度後,畫下終邊並稱該邊為丙邊教師讓學童確認第二個角的始邊終邊及頂點,稱此角為角B9.問學童:以甲邊為始邊,逆時針旋轉竹籤到丙邊,可不可以畫出一個角?,請學童發表想法,再請他們上台在黑板上表示出3236第四章角度-案例篇以甲邊為始邊丙邊為終邊的角,並將這個角稱為角C10.問學童:角A拿掉角B會剩下哪個角?,學童會回答:角C11.教師問:如何知道角A角B和角C的角度有多大?我們用量角器來量量看,讓學童上台進行測量學童量出角A是90度角B是45度角C是45度,並在黑板上記錄角A=90度角B=45度角C=45度教師引導學童確認:因為角A拿掉角B會剩下角C,所以90度減45度是45度教師讓學童用減法算式記錄為90度-45度=45度1.問學童:角A拿掉角C會是哪個角?你怎麼知道的?,學童由剛剛操作的經驗會回答:角B教師引導學童用減法算式記錄為90度-45度=45度13.教師以不同的角度,讓學童學習運用量角器量出第一個角拿掉第二個角後會剩下第三個角,並以減法算式記錄4237指定作業:角度的合成與分解習題一(配合活動一)(1)用量角器量一量角1角角3的角度,並記錄角1和哪個角合起來和角3一樣大?用算式怎麼記?答:角1是()度角是()度角3是()度角1和()合起來和角3一樣大算式可以記成()()用量角器量一量角1角角3角4的角度,並記錄角1和角合起來和哪一個角一樣大?用算式怎麼記?5238第四章角度-案例篇答:角1是()度角是()度角3是()度角4是()度角1和角合起來和()一樣大算式可以記成()習題二(配合活動二)(1)用量角器量一量角甲角乙角丙的角度,並記錄角甲減掉角乙會是哪一個角?用算式怎麼記?答:角甲是()度角乙是()度角丙是()度角甲減掉角乙是()算式可以記成()()用量角器量一量角甲角乙角丙角丁的角度,並記錄角甲減掉角丁會是哪一個角?用算式怎麼記?6239角度的合成與分解答:角甲是()度角乙是()度角丙是()度角丁是()度角甲減掉角丁是()算式可以記成()指定作業參考解答:習題一(1)65,50,115,角,65度+50度=115度()65,60,105,15,角4,65度+60度=15度習題二(1)115,65,50,角丙,115度-65度=50度()15,105,65,60,角丙,15度-60度=65度教學注意事項:7240第四章角度-案例篇1.在角度的合成分解教學前,宜確認學童已了解旋轉角的意義且能標示旋轉角,以及他們已經能正確的使用量角器測量某個角的角度.進行角度的合成分解教學時,教師宜進行都是順時針方向與都是逆時針方向的旋轉角合成活動,以及先順時針方向再逆時針方向旋轉與先逆時針方向再順時針方向的旋轉角分解活動讓學童了解,不論是順時針方向或逆時針方向都能合成或分解角度3.進行角度的合成分解教學時,須讓學童確認角的始邊終邊及頂點的位置,並用不同的符號代表不同的角,如:ABC;甲乙丙;13等4.角度的合成分解教學流程中所敘述竹籤旋轉的度數,如:活動一的活動流程1中竹籤順時針旋轉大約60度,是舉例說明竹籤旋轉某一個度數,而非固定的角度此時教師的教學,宜著重竹籤旋轉的歷程,而非竹籤旋轉了幾度關於竹籤旋轉的度數,可由接續的活動運用量角器來量測教學參考資料:朱建正等(民91)國小數學教材分析-體積和角度三峽:國家教育研究院8241主題4-3-:量角器量角器~認識量角器並測量角撰寫者:詹婉華~認識量角器並測量角授課對象:國小四年級學生先備知識:1.認識張開角.認識旋轉角教學目標:1.認識量角器.認識角度的單位-度3.運用量角器測量角的角度教學時間教學時間:40分鐘(一節課)教學說明:1.讓學童用量角器測量一個角的角度之前,應先讓學童認識量角器的結構與測量方法量角器和直尺不同,有3組刻度,1個小刻度為1度1個中刻度為5度1個大刻度為10度量角器的外層數字由0度至180度是順時針方向,內層數字由0度至180度是逆時針方向學童必須了解,測量角度時,對齊始邊的刻度0度是內層數字還是外層數字9242第四章角度-案例篇.本教學重點:先認識量角度的工具-量角器,進而認識角度的單位-度,並正確的運用量角器測量角的角度教師宜在學童已學過角的合成與分解後,再進行使用量角器測量大於180度的角的教學活動教具準備:細長竹籤(兩端尖)根教學用直尺(100公分)教學用180度量角器及360度量角器(量角器底邊為40公分)學童用直尺(15公分)及量角器活動一:認識量角器活動目標:認識量角器及角度的單位-度活動流程:1.教師對齊根竹籤的端點,1根竹籤不動,並說明這根竹籤是為30243量角器~認識量角器並測量角了方便觀察開始旋轉的位置,再將另1根竹籤依順時針方向旋轉,形成1個角,確認學童知道這是一個角後,再順時針方向旋轉這根竹籤,學童會知道角變大了教師問學童:我們如何告訴別人這個角原來是多大?後來這個角變成多大?,請學童發表想法.教師說明:我們量長度時,可以用直尺來量,可以用幾公分幾公尺來說明有多長同樣的,量角度時,也有量角度的工具,量角度的工具是量角器,可以用度為單位來說明角的大小3.展示教學用量角器,請學童發表觀察後的想法,學童的說法可能如下:(1)量角器像一個半圓形()量角器上有內外二層數字,最小的數字是0,最大數字的是180(3)量角器上有一些和直尺一樣的刻度,有大的刻度也有小的刻度(4)量角器底部有一條長長的直線,直線左右兩端都有0和180的數字(5)看到有數條直線交會於一點31244第四章角度-案例篇4.教師拿1根竹籤對齊底邊的直線,且竹籤的頂端對齊量角器的中心點,並固定在外層0度的線上,將竹籤依順時針方向慢慢旋轉到10的位置,成為一個10度的旋轉角;再將另1根竹籤的頂端對齊中心點,並放在外層0度的線上,讓學童看到這根竹籤是表示旋轉角的始邊,讓學童觀察這個角(始邊在外層數字0終邊在數字10),告知學童這個角的角度是10度5.教師依順時針方向從10旋轉竹籤至0的位置,讓學童看到這個角是由0的位置旋轉至0,並學習報讀它的角度為0度,3245量角器認識量角器並測量角再繼續依順時針方向旋轉竹籤從0至30讓學童看到這個角的始邊在0終邊在30並讓學童學習報讀該角的角度為30度直到竹籤指向180學童報讀角的角度是180度6.運用以內層數字0為始邊一根竹籤固定在0度的線上來表示旋轉角的旋轉始邊另一根竹籤依逆時針方向慢慢旋轉到10的位置是一個10度的旋轉角引導學童思考這個角的角度是多少讓學童發現這時如果報讀外層的數字是不正確的當角的始邊在內層數字0終邊在數字10的時候可由內層的數字10知道這個角的角度是10度33246第四章角度-案例篇7.教師依逆時針方向從10旋轉竹籤至0的位置讓學童看到這個角的始邊在0終邊在0並學習報讀它的角度為0度再繼續依逆時針方向旋轉竹籤從0至30讓學童看到這個角的始邊在0終邊在30並學童學習報讀該角的角度為30度直到竹籤指向180學童報讀角的角度是180度8.讓學童觀察量角器有3種不同長短的刻度線並引導他們點數數字0至10之間有10個小刻度了解每一個小刻度是134247量角器~認識量角器並測量角度9.問學童:1度再增加1度是幾度?學童會回答:度繼續帶領學童以增加1度的方式累數至5,讓他們了解5個1度是5度,1個中刻度是5度繼續讓學童以增加1度的方式累數至10,了解10個1度是10度,1個大刻度是10度;從0到0有0個小刻度,有0個1度,所以是0度,從0到0有4個5度,所以也是0度,從0到0有個10度,同樣也是0度10.指著量角器上的刻度,帶領學童以增加1度的方式進行累數,或以增加5度的方式進行累數,或以增加10度的方式進行累數,累數至180度如:可以先增加1度的累數,;接著增加5度的累數,;再增加10度的累數,;然後以增加5度或1度的累數至180度,教師說明:180度的角稱為平角1.發下竹籤和量角器,讓學童自行操作竹籤,認識量角器及角的單位度13.教師問:180度再增加1度,是幾度?,學童經由之前的經驗知道是181度35248第四章角度-案例篇14.展示可測量360度的量角器,讓學童觀察量角器的構造教師讓學童用竹籤由0度旋轉至190度,並用另一根竹籤表示旋轉的始邊(0度),讓學童認識190度的角,並帶領學童由180度,以增加1度的方式,累數至190度15.指著量角器上的刻度,帶領學童以增加1度的累數,或增加5度的累數,或以增加10度的累數,累數至360度如:可以先增加1度的累數,;接著增加5度的累數,;再增加10度的累數,;然後增加5度或136249量角器~認識量角器並測量角度的累數至360度,讓學童觀察由0度到360度是繞了一周,教師說明:360度的角稱為周角活動二:運用量角器測量角活動目標:以量角器為測量工具,測量角的角度活動流程:1.教師在黑板上畫一個比90度小的角請學童上台運用量角器量出角的角度,並說明測量角度要注意的事項,學童的說明應該包含下列各要項:(1)量角器的中心點要對齊角的頂點37250第四章角度-案例篇()旋轉量角器,讓角的一邊與0對齊(3)角的一邊為0度,另一邊對齊的刻度,即為角的角度(4)若是另一邊不夠長,無法在量角器上報讀刻度時,可以運用直尺輔助報讀.教師在黑板上畫一個比90度大的角請學童上台運用量角器量出該角的角度,並請學童說明測量角度要注意的事項,學童的說明應該包含下列各要項:(1)量角器的中心點對齊角的頂點38251量角器~認識量角器並測量角()旋轉量角器,讓角的一邊與0對齊(3)角的一邊為0度,另一邊對齊的刻度,即為角的角度3.教師發下空白紙,先確認學童知道直尺的四個角都是直角,再讓他們用直尺畫兩個比直角大的角兩個比直角小的角,然後用量角器量出各個角的角度,並記錄在另一張紙上教師巡視行間,指導學童畫角並測量角的角度4.學童兩人一組,交換畫了角的紙,並運用量角器量出各角的角度,將各角的角度記錄在紙上教師巡視行間,觀察學童測量角的方法39252第四章角度-案例篇5.教師讓學童兩人一組,討論彼此測量角度的方法6.教師在黑板上畫出大於180的角,並以弧線標明始邊與終邊然後問學童:如何用180度的量角器量出大於180度的角?,請學童發表想法教師引導學童學習測量大於180度角的方法,如下:(1)先延伸角的一邊,讓要測量的角變成兩個角-角1和角,其中角1為平角是180度,再量出角的角度是83度,角1加上角是63度,就可以知道要測量的角是63度40253量角器~認識量角器並測量角()要測量的角稱為角甲,以角甲的始邊為始邊,依逆時針方向旋轉至角甲的終邊,可以成為另一個角,稱為角乙,角甲和角乙合起來是一個周角,也是360度量出角乙是97度,再用360度減掉97度,所以,要測量的角甲是63度8.教師發下學習單,讓學童運用量角器測量出學習單中各角的角度,教師巡視行間,適時協助學童正確的測量角的角度指定作業:習題一(配合活動二)(1)下面哪些角比90度小?哪些角比90度大?41254第四章角度-案例篇答:小於90度的角有()大於90度的角有()()下面哪些角比90度小?哪些角比90度大?答:小於90度的角有()大於90度的角有()4255量角器~認識量角器並測量角習題二(配合活動二)(1)量出下列各角的角度答:角1是();角是()角3是();角4是()()量出下列各角的角度答:角1是();角是()角3是();角4是()43256第四章角度-案例篇(3)量出下列各角的角度答:角A是();角B是()指定作業參考解答:習題一(1)3,14()34,1習題二(1)104度,76度,76度,104度()116度,95度,50度,69度(3)40度,80度教學注意事項:1.報讀角度的教學,必須讓學童先確認量角器的中心點要對齊角的頂點,角的始邊必須在0度,再由角的終邊在量角器上的刻度報讀角的角度44257量角器~認識量角器並測量角.關於累數角度的度量的過程,要讓學童了解,不是在報讀刻度,而是由增加1度5度10度,知道數字越大角度越大3.當學童學習用量角器去測量一個角的角度時,可以讓學童學習先累數量角器上整十的數字,再點數中刻度或小刻度,如:(1)某角的角度是43度,可讓學童先數,再數()某角的角度是37度,可讓學童先數,再數35,最後數學童測量角度時,如果有小誤差,教師不宜認為學童的測量有誤,如:正確的角度是57度,學童的測量為55~59度都是可以接受的範圍5.學童測量角度及報讀的方法錯誤時,例如:將55度報讀為15度,有下列兩個方法可以讓學童發現錯誤:(1)讓學童先指出0度的位置,再10度0度的累數,便可發現報讀錯誤()當學童已經知道直角等於90度,讓學童將這個角和直角比較,學童由這個角比直角小,知道這個角小於90度,進而發現報讀錯誤教學參考資料:朱建正等(民91)國小數學教材分析-體積和角度三峽:國家教育研究院45258第四章角度-案例篇46259第五章:容量與體積體積容量容積液量撰寫者:謝堅主題5-1:體積容量容量容積容積液量認知及數學結構:國小課程體積教材中,討論的重點是固體的體積,而容量的教材中,討論的重點是液體的體積,因為它們討論的對象相同,本文將體積與容量合併在一起討論體積是物質所佔空間的大小,氣體液體及固體都有體積,其中氣體的體積不易觀察,又很容易受到壓力的改變而影響其大小,因此國小階段不討論氣體的體積;液體的體積會隨意流動,國小階段利用容器當媒介,透過容量討論液體的體積;固體的體積很明確,國小階段直接討論固體的體積下面區分成體積與容量容量與容積容量與液量三部份,說明固體和液體體積的意義47260第五章容量與體積-理念篇5-1-1:體積與容量認知及數學結構:固體的周界是固定的,因此比較容易測量出固體的體積,但是液體的周界不固定,例如地上的一灘水,水會流動,隨時會改變形體,因此無法直接測量液體的體積,必須先用容器將液體的體積固定後,才能測量出液體的體積當我們將容器裝滿液體時,液體的體積稱為該容器的容量以玻璃杯為例,玻璃是固體,玻璃部份所佔的空間,稱為玻璃杯的體積;如果玻璃杯最多能裝500立方公分的水,我們稱玻璃杯的容量為500豪公升;如果玻璃杯的容量是500毫公升,指的是當它裝滿水時,水的體積是500立方公分由上面的說明可以知道,容量是用來溝通液體的體積,以玻璃杯為例,如果討論的重點是水的體積,我們會說玻璃杯裝滿了500立方公分的水,如果討論的重點是容器的容量,我們會說玻璃杯的容量是500毫公升482615-1-:容量與容積體積容量容積液量認知及數學結構:一粒米或一顆沙的體積是固定的,但是一堆米或一堆沙的情境和液體相同,會流動並隨時改變周界的形狀,因此可以類比容量的概念,用容積來描述米或沙的量以一個長寬高都是10公分的容器為例,當這個容器裝滿液體時,我們稱該容器的容量是1公升,當這個容器裝滿米或沙等固體時,我們稱該容器的容積是1公升日常生活中有兩種描述米或沙的方式,第一種是用重量,現在的量販店中只販售包裝好的米,秤這些米的重量比測量這些米的體積方便,因此,包裝袋上都標示這包米有多重第二種是用容積,在沒有塑膠袋包裝的年代,用容器裝米來販售,會比挖一些米來秤重量方便,因此米店在零售米時,會用固定的容器為單位裝米來販售,例如稱裝滿一個量斗的米為1斗米我們也使用容積來溝通冰箱的大小,冰箱的容積是650公升,指的是冰箱內部完全裝滿固體時,這些固體的體積是650立方公寸(1公寸=10公分)49262第五章容量與體積-理念篇5-1-3:容量與液量認知及數學結構:學生必須先學會描述容器中有多少液量,才知道容器中最多裝了多少液體,教師可以透過倒水入容器的活動,幫助學生掌握液量的多寡,學生很容易發現,將液體倒入容器時,液體在容器中會愈來愈高,將液體倒出容器時,液體在容器中會愈來愈低教師也可以透過倒水活動,幫助學生形成液量保留概念,例如將水先倒出後再倒回容器,水量還是一樣多;或幫助學生察覺等量的水,倒入不同的容器中,水量還是一樣多當學生能察覺容器中液體的高度和液量的多寡有關之後,就可以開始學習如何描述液量,並說出容器的容量是多少例如將容器中的水倒入量杯中,測量出水有5毫公升,稱容器中水的液量是5毫公升,將容器中裝滿水再倒入量杯中,測量出水有8毫公升,稱容器的容量是8毫公升有刻度的量杯是測量液量的工具,常用的液量單位有公升分公升豪公升(公撮)和公秉(千公升),其中1公升指的是將長寬高都是10公分正方體容器裝滿水的水量,1公秉指的是將長寬高都是1公尺正方體容器裝滿水的水量,而10個1分公升合起來和1公升一樣多,1000個1豪公升合起來和1公升一樣多502635-1-4:體積與容量教學的迷失概念體積容量容積液量認知及數學結構:(一)最大容量與安全容量日常生活中用杯子裝水的時候,很少將杯子裝滿水,因為移動裝滿水的杯子時,水會從杯中灑出來,因此裝水時,大約只裝八分或九分滿有兩種溝通杯子容量是300毫公升的方式,第一種是最大容量,指的是當杯子裝滿水時,水的體積是300立方公分,它是一個確定的量,每一個人測量出來的答案都一樣,數學上所討論的容量多是最大容量第二種是安全容量,指的是儘量裝滿水,並且讓移動杯子時水不會灑出來時,水的體積是300立方公分,它不是一個確定的量,因為每一個人對水是否會灑出來的感覺不一定相同,日常生活中所稱的容量多是安全容量(二)cc是體積的單位日常生活中常說喝了500cc的水,飲料包裝盒上也經常使用500cc描述瓶中有多少飲料,因此很多人都認為cc是容量的單位,這是不正確的說法cc是英文cubiccentimeter(立方公分)的簡記,而立方公分是體積的單位,因此cc是體積的單位,ml(毫公升)才是容量的單位多數人混淆容量和體積的意義,因此誤認為cc是容量的單位51264第五章容量與體積-理念篇以瓶裝的果汁飲料為例,有三種描述瓶中有多少果汁的方法,第一種是500cc,第二種是500g,第三種是500ml用500cc描述有多少果汁時,訴求的重點是瓶中果汁的體積,說明瓶中果汁的體積是500立方公分;用500g描述有多少果汁時,訴求的重點是瓶中果汁的重量,說明瓶中果汁的重量是500g;也就是說,500cc和500g描述的主角是果汁,而不是瓶子的容量因為果汁的比重比1大,所以500cc的果汁比500g果汁多用500ml描述有多少果汁時,訴求的重點是瓶子的容量,說明瓶子的容量是500ml因為裝瓶時可能有誤差,因此瓶裝飲料的容量指的多是安全容量,而不是最大容量容量500ml指的是瓶內所裝果汁的體積是500cc當我們將瓶子裝滿水,這些水的體積是最大容量,最大容量一定比安全容量大,因此用量杯測量倒出來的水時,水的體積會比500cc多5265主題5-:長(正)方體體積公式長(正)方體體積公式5--1:長(正)方體體積公式認知及數學結構:(一)體積的測量單位和選擇單位面積的想法相同,因為點數排列整齊正方體的個數比較方便,因此數學上選擇正方體當作測量體積的單位,稱邊長1公分的正方體體積是1立方公分,稱邊長1公尺的正方體體積是1立方公尺(二)長邊寬邊及高都是整公分的長方體體積公式寬邊及高都是整公分的長方體體積公式長方體體積公式和長方形面積公式很相似,引入公式的想法也相同,長方形面積公式是利用一排有幾個,有幾排單位面積的方式引入公式長寬,長方體體積公式是利用一排有幾個,有幾排,合起來有幾層單位體積的方式引入公式長寬高但是入公式的流程並不相同,我們很容易在長方形上面覆蓋1平方公分的單位面積,並知道當將長方形蓋滿後,覆蓋單位面積的個數和就是長方形的面積但是我們無法在長方體甲的內部塞入1立方公分的單位體積,必須用1立方公分的單位體積先複製一個和長方體甲一模一樣的長方體乙,先討論如何算出長方體乙的體積,再透過比對長方體甲各邊邊長的公分數和長方體乙各邊單位體積個數的關係後,才能引導出長方體的體積公式下面53266第五章容量與體積-理念篇透過四個步驟,說明如何幫助學生理解長邊寬邊及高都是整公分的長方體體積公式步驟1:先建立單位體積1立方公分的概念,知道a個1立方公分合起來立體的體積是a立方公分學童知道邊長1公分的正方體體積是1立方公分,下圖中立體的體積和7個1立方公分合起來一樣大,所以圖中立體的體積是7立方公分步驟:給定一個長方體甲,再用1立方公分的白色積木堆疊出一個和長方體甲一模一樣的長方體乙,求出長方體乙的體積,並用乘法算式記錄計算體積的過程教師拿出一個長5公分寬4公分高3公分的長方體甲,要求學生計算長方體甲的體積是多少立方公分,因為無法在長方體甲的內部塞入1立方公分的白色積木,無法點數長方體甲和幾個白色積木合起來一樣大,因此教師應要求學生先用白色積木複製一個和長方體甲一模一樣的長方體乙,長方體乙的體積會和長方體甲的體積一樣大長方體乙是用白色積木堆疊出來的,因此可以先用一排有54267長(正)方體體積公式5個,有4排的方法,利用乘法算式54=0算出長方體乙的底層是由0個白色積木合成的,接著再用有3層的方法,利用乘法算式03=60算出長方體乙是由60個白色積木合成的,並用併式(54)3=60摘要的記錄解題過程因為長方體甲和長方體乙一模一樣,所以長方甲的體積也是60立方公分步驟3:察覺長方體甲長寬高邊長的公分數和長方體乙長寬高邊白色積木個數間的關係當學生能使用乘法(54)3=60算出長方體乙的體積是60立方公分後,教師可以透過比對長方體甲和長方體乙,幫助學生察覺乘法算式中5是長方體乙長邊白色積木的個數,和長方體甲長邊的長度5公分有關,4是長方體乙寬邊白色積木的個數,和長方體甲寬邊的長度4公分有關,3是長方體乙高邊白色積木55268第五章容量與體積-理念篇的個數,和長方體甲高邊的長度3公分有關透過邊長公分數和白色積木個數的關係,教師接著幫助學生察覺長方體甲長邊是5公分,也就是底層一排和5個白色積木一樣多,寬邊是4公分,也就是最底層和4排白色積木一樣多,高邊是3公分,也就是長方體甲和3層白色積木一樣多步驟4:利用長寬高邊的公分數,直接用乘法算出單位體積的個數,並形成長乘以寬乘以高公式算法的共識長方體甲的長邊是5公分,表示底層一排和5個白色積木接起來一樣長,寬邊是4公分,表示底層是由4排白色積木合起來,因此可以透過長邊及寬邊的公分數,利用一排有幾個,有幾排的方式算出長方體底層的體積,並得到長方體底層體積=長邊的公分數寬邊的公分數的結果長方體甲的高邊是3公分,表示長方體甲有3層,因此可以透過高邊的公分數,利用有幾層的方法算出長方體甲的體積,並得到長方體體積=(長邊的公分數寬邊的公分數)高邊的公分數的公式當學生有一些利用上述公式的解題經驗後,教師可以將公式長邊的公分數寬邊的公分數高邊公分數簡稱為長寬高562695--:長(正)方體體積公式的迷思概念長(正)方體體積公式認知及數學結構:(一)不宜透過堆疊白紙引入長方體體積公式先拿出一張已知長邊和寬邊的長方形白紙,告訴學生這張白紙的面積是長寬,再說明當很多張相同的白紙堆疊在一起時,就會疊成一個長方體,這個長方體體積的大小和高有關,得到長方體的體積公式是長寬高想想看,這種教學方式合理嗎?國小階段體積教學的重點是點數立體是由多少個單位體積合起來的,上面這種教學方式是本末倒置的教學,其目的是幫助學生記憶長方體的體積公式教師們都知道,平面是沒有厚度的,如果很多張白紙堆疊在一起會變成一個長方體,已經預告一張白紙也是有厚度的,也就是說,每一張白紙都是長方體必須先知道長方體的體積是長寬高,才能透過上面的方法導出白紙所堆疊成成長方體的體積例如一張白紙的長度是a寬度是b厚度是d,可以利用長方體體積公式算出這張白紙的體積是abd,因此當n張白紙堆疊成長方體時,長方體的體積是abd+abd+.+abd=ab(d+d+d+.+d)=abnd,也就是白紙所堆疊成成長方體的體積長寬n張白紙的厚度(二)不宜透過在長方體盒內堆疊白色積木引入長方體體積公式57270第五章容量與體積-理念篇拿出一個內部長5公分寬4公分高3公分的木盒,先用邊長1公分的白色積木裝滿底層,並用乘法算式54=0算出底層有0個白色積木,接著裝第二和第三層,發現裝三層後能將木盒裝滿,再用乘法算式(54)3=03=60算出三層共有60個白色積木,導出長方體的體積公式是長寬高想想看,這種教學方式合理嗎?採用這種教學方式的教師混淆長方體木盒體積和長方體木盒容積的意義體積是物體所佔空間的大小,長方體木盒的體積指的是木頭部份的體積,必須知道木頭厚度等資訊,才能求出長方體木盒的體積長方體木盒內能裝滿60個白色積木,指的是長方體木盒的容積是60毫公升,或堆疊出這60個白色積木的體積和是60立方公分,它們都與長方體木盒的體積無關58271主題5-3:角柱及圓柱體積公式角柱及圓柱體積公式5-3-1:角柱的體積公式認知及數學結構:(一)柱體的體積隨著柱體底面形狀的不同,可以給予柱體不同的名稱以利區別,例如底是圓形區域的柱體稱為圓柱,底是多邊形區域的柱體稱為角柱,其中底面是三角形區域的柱體稱為三角柱,底是四邊形區域的柱體稱為四角柱,底是五邊形區域的柱體稱為五角柱等,以此類推依據側面和底面是否垂直的關係,我們可以將角柱體區分成兩類,第一類是直角柱,直角柱的側面是長方形,側面和底面互相垂直;當直角柱的底面是正多邊形時,我們稱這類直角柱為正角柱另一類是斜角柱,斜角柱的側面是平行四邊形,側面和底面不垂直下圖中的圖一是直四角柱,其底是長方形側面是長方形,側面和底面互相垂直;圖二是正四角柱,其底是正四邊形側面是長方形,側面和底面互相垂直;圖三是斜四角柱,其底也是長方形,側面是平行四邊形,側面和底面不垂直國小課程只討論直角柱,並將直角柱稱之為角柱59272第五章容量與體積-理念篇圖一圖二圖三為了節省教學的時間,國小課本都沒有詳細說明引入角柱及圓柱體積公式的過程,只在形式上類比長方體體積公式,直接宣告角柱及圓柱的體積公式都是底面積高筆者同意不需要花太多的時間澄清柱體體積公式的意義,但是建議教師不能直接要求學童記憶柱體體積公式,仍要說明引入直角柱及直圓柱體積公式的過程,下面簡單說明如何引入直角柱及直圓柱的體積公式直四角柱就是長方體,長方體體積公式是學生的舊經驗,教師可以先將長方體的體積公式(長寬)高改記成底面積高,再說明為什麼其它直角柱的體積公式也是底面積高以底面積都是1平方公分高都是8公分的長方體和直三角柱為例(圖四),因為長方體的底面積是1平方公分,所以直四角柱的底層是由1個1立方公分的小正方體組成,也就是直四角柱底層的體積是1立方公分,直三角柱的底面積也是1平方公分,所以直三角柱底層的體積也是1立方公分;直四角柱和直三角柱的高都是8公分,也就是都有8層,可以利用底面積幾層(高60273角柱及圓柱體積公式的公分數)算出直四角柱和直三角柱的體積是96立方公分,也就是直角柱都可以透過公式底面積高算出體積圖四圖五61274第五章容量與體積-理念篇5-3-:圓柱的體積公式認知及數學結構:(一)圓柱依據上下兩底圓心的連線和底面是否垂直的關係,可以將圓柱體區分成兩類,第一類是直圓柱,直圓柱上下兩底圓心的連線和底面垂直;第二類是斜圓柱,斜圓柱上下兩底圓心的連線和底面不垂直國小課程只討論直圓柱,並將直圓柱稱之為圓柱(二)圓柱的體積有兩種說明直圓柱體積公式底面積高的方法,第一種是類比上面說明直角柱體積公式的方法,先算出底層的體積,再乘上層數就可以算出直圓柱的體積;第二種是類比引入圓面積公式的方法,先將直圓柱切成兩個半圓柱,再將兩個半圓柱都切成很多個全等的扇形柱,將這兩個切成扇形柱的半圓柱上下交錯疊合起來,會變成一個接近直四角柱的立體(圖五),直四角柱的體積是底面積高,所以直圓柱的體積也是底面積高圖五6275角柱及圓柱體積公式(三)圓錐的體積國小階段並沒有引入錐體的體積公式,教師們能透過觀察具體現象,幫助學生察覺角錐的體積是等底等高角柱體積的三分之一,圓錐的體積是等底等高圓柱體積的三分之一可以用玻璃或透明塑膠做出同底等高的圓柱和圓錐容器,先在圓錐中裝滿水,然後將水倒入圓柱中,學生可以發現倒3次水之後,圓柱剛好裝滿水,因此圓柱的容量是圓錐的3倍如果學生理解容量就是液體體積的意義,就知道同底等高圓柱的體積是圓錐體積的3倍,也就是圓錐的體積是圓柱的三分之一當我們將圓柱和圓錐容器改為角柱及角錐容器,也能得到同底等高角錐的體積是角柱體積三分之一的結果63276第五章容量與體積-理念篇5-3-3:不規則物體的體積認知及數學結構:多數人都聽過阿基米德在洗澡的時候,利用排容原理發現如何辨識皇冠是否傪了其它物質的故事,國小階段可以利用排容原理算出不規則立體的體積教師可以準備一些1立方公分的積木(可以沉入水中),以及一個裝滿水的盒子,先將a個積木完全沉入水中,再用量杯測量排出的水量,幫助學生察覺a個1立方公分積木所排出的水量是a毫公升如果教師認為上面活動產生的誤差很大,也可以透過比較活動,幫助學生察覺a個1立方公分白色積木的體積和a毫公升水的體積一樣大例如拿出兩個相同的量杯,並裝了一樣多的水,先在其中一個量杯內放入a個白色積木,接著在另一個量杯內倒入a毫公升的水,幫助學生察覺兩個量杯中的水位還是一樣高,所以a個1立方公分積木和a毫公升水的體積一樣大當學生形成完全沉入水中物體的體積,和所排出水量的體積或量杯中升高的水量一樣多的共識後,就可以測量形狀不規則物體的體積,以測量一塊石頭為例,可以先將一個容器裝滿水,讓整個石頭沉入水中,再用量杯測量溢出來水的體積,溢出來水的體積就是石頭的體積64277主題5-1-1:體積與容量體積與容量撰寫者:房昔梅授課對象:國小五年級學生先備知識:1.認識體積,並能計算長方體與正方體的體積.知道邊長1公分的正方體體積是1立方公分,記成1cm33.認識容量,並能以1ml為單位,報讀容量的刻度教學目標:透過操作和觀察,了解物體排開的水量,和物體的體積是一樣的教學時間教學時間:40分鐘(一節課)教學說明:1.透過在原就盛有水的量筒中加入水的動作,幫助學童複習當量筒中的水位上升時,代表液量增加;相對的,把量筒中的水倒出部份,會看到水位下降,代表液量減少.教師透過在盛有水的量筒中投入積木的動作,引導學童觀察:當投入體積為1立方公分的積木時,量筒中的水位就會上升1小格(1毫升),代表1立方公分和1ml一樣多,可以記成1cm3=1cc=1ml(水的體積比較少用立方公分來描述,cc是立方公分的簡寫)3.將積木投入裝滿水的容器中時,溢出的水量會和投入的積木體積相等假設在裝滿水的容器中放入體積為10立方公分的積65278第五章容量與體積-案例篇木,將會溢出10cc(或10ml)的水,因此可以記成:10cm3=10cc=10ml4.透過實作,引導學童察覺:計算不規則物體的體積時,只要將不規則的物體沒入水中,計算水位上升的刻度,就可以得知物體的體積5.關於ml的說法,常用毫公升或毫升兩種,這兩種說法通用,以下皆以毫升表示教具準備:1.容量分別為50ml(每一刻度為1ml)和50ml(每一刻度為ml)的透明量筒及000ml(每一刻度為0ml)的透明量杯各一個.體積為1立方公分的正方體積木約30個3.大型可盛水容器一個4.不規則形狀且可沒入水中的物體若干個活動一活動一認識1立方公分積木的體積等於1ml活動目標:透過將積木沈入水中的活動,引導學童觀察1立方活動流程:公分積木的體積等於1ml1.教師拿出一支容量為50ml的量筒,在裡面倒入10ml的水,首先向學童展示並提問:這個量筒的每一個刻度代表幾毫升?說66279體積與容量說看,你是怎麼知道的?引導學童回答:1毫升因為從10毫升到0毫升之間共有10個刻度,所以我知道每一個刻度都是1毫升.教師接著提問:說說看,這個量筒中裝了多少毫升的水?請各組學童依序觀察後確認:量筒中有10毫升的水3.接著教師拿出一個邊長1公分的正方體積木,向學童提問:這個小積木的體積是多少立方公分?引導學童回答:1立方公分4.教師把體積為1立方公分的積木放進盛有10毫升水的量筒中,使積木完全沒入水中並且提問:說說看,量筒的水位有什麼變化?5.學童分批觀察量筒中水位的變化後,回答:量筒的水位上升了1格,從10毫升上升到11毫升的刻度6.教師提問:沒有放積木時,量筒的水位是10毫升的位置,放入積木後,量筒的水位指向11毫升,說說看,水位上升了幾67280第五章容量與體積-案例篇格?也可以說是幾毫升?7.引導學童回答:水位上升了1格,也就是1毫升8.教師引導學童歸納:放進1立方公分的積木,水位就上升1毫升說說看:積木的體積和水量有什麼關係?9.引導學童回答:投入的積木體積等於上升的水量10.教師引導學童作成記錄:1cm3=1cc=1ml11.教師接著用同一個量筒,裝入0ml的水之後,向學童展示並提問:說說看,量筒中裝了多少毫升的水?讓學童依序觀察後確認:量筒中有0毫升的水1.教師接著把5個體積為1立方公分的積木放進盛有0毫升水的量筒中,使積木完全沒入水中並且提問:說說看,現在量筒的水位是多少毫升?13.學童分批觀察量筒中水位高度的變化後,回答:量筒的水位68281體積與容量刻度指著5毫升14.教師提問:說說看,量筒的水位上升了幾格?也是幾毫升?引導學童回答:量筒的水位上升了5格,也就是5毫升15.教師向學童提問:你們知道量筒的水位為什麼會上升嗎?16.引導學童回答:因為放進了一些積木,放進量筒中的積木體積就等於上升的水量17.教師作結論:同學們也可以這樣記:5cm3=5cc=5ml18.教師接著拿出AB二支同樣裝了0毫升水的量筒,並請兩位同學上台一位同學在A量筒中倒入5ml水,另一位同學在B量筒中置入5顆體積為1立方公分的小積木,請同學分組往前觀察:AB二支量筒的水位都指著5ml的刻度教師向學生說明:這個現象可以證明5cm3=5cc=5ml19.教師向學童展示一個已經投入0個體積為1立方公分的積木的量筒,首先提問:這個量筒的每一個刻度都是多少毫升?說說看,你是怎麼知道的?引導學童回答:這個量筒的每一個刻度都是毫升因為從10到30是0毫升,但是只有10個刻度,所以我知道一個刻度是毫升教師接著提問:量筒的水位是多少毫升?69282第五章容量與體積-案例篇0.引導學童觀察後確認:量筒的水位是130毫升1.接著教師當學童的面,將量筒中的積木全數取出後,對學童提問:現在量筒的水位是多少毫升的刻度?.讓學童依序觀察後回答:量筒的水位指著110毫升的刻度3.教師提問:剛才共拿出多少個1立方公分的小積木?請學童點數後回答:拿出0個小積木4.教師繼續提問:拿出0個小積木後,水位下降幾毫升?說說看,你是怎麼知道的?5.引導學童回答:因為=0,所以我知道拿出0個小積木後,水位下降了0毫升6.教師引導學童作成記錄:0cm3=0cc=0ml7.如果學童難以相信積木的體積等於上升的水量,教師可以準備70283體積與容量一個裝滿水的量筒,放在一個大型可盛水的容器中8.接著教師將50個體積為1立方公分的積木,投入裝滿水的量筒中,並使積木完全沒入水中,讓學童觀察水溢出的情形9.教師向學童提問:能不能知道溢出的水量有多少?30.學童可能回答:因為50cm3=50cc=50ml,所以放入50個1立方公分積木應該會溢出50毫升的水31.教師提問:怎麼檢驗溢出的水是不是50毫升呢?3.引導學童將溢出的水倒入量筒中並報讀:溢出的水有50毫升33.教師提問:50個1立方公分積木的體積和50毫升水一樣多,怎麼記錄?34.引導學童作成紀錄:50cm3=50cc=50ml活動二計算不規則物體的體積活動目標:理解可以透過固體體積與水的體積相等的想法,活動流程:計算不規則形體的體積1.教師拿出一個不規則形狀的物體,請問學童:如何測量物體的體積?.學童可能回答:我先拿一個可以放進物體的透明量杯,裝進足夠淹沒物體的水量,記下刻度接著將物體放入量杯並沒入水71284第五章容量與體積-案例篇中,再記錄刻度500ml60ml3.最後將兩個刻度相減,計算上升的水量,就知道物體的體積上升的水量是=10(ml)所以不規則物體的體積就是10立方公分4.教師接著展示另一組量筒,請學童計算不規則物體的體積5.學童的作法如下:未放入物品前的水量是1000ml,放入物體後的水量是1360ml;增加的水量是=360(ml)所以物體的體積就是360立方公分教學注意事項:1.教師在透明量筒中裝水讓學童觀察時,可以滴一些顏料在水中,將水稍稍染色,方便學童觀察7285體積與容量.學童觀察量筒中的水量時,教師應指導學童視線對齊水平面,以免觀察的角度不同,導致觀察結果不同3.學童將溢出的水倒進量筒中檢驗時,必定會殘留部份水滴在大型容器中,部份學童可能因此質疑量筒中的水量不足教師應向學童解釋:這類些微的誤差是可以被接受的4.教師應注意量筒上的最小刻度,指導學童作正確的報讀如果量筒的最小刻度是1ml,學童可以報讀的最小單位就是1毫升;如果量筒上的最小刻度是5ml,學童只能夠以5毫升為單位報讀;如果量筒上的最小刻度是10ml,學童只能夠以10毫升為單位報讀指定作業:一每一個小積木的體積都是1立方公分填一填,容器內的水會上升到哪個刻度?是多少毫升?(1),放進3個小積木後,是()毫升(),放進17個小積木後,是()毫升73286第五章容量與體積-案例篇(3),放進18個小積木後,是()毫升(4),放進19個小積木後,是()毫升(5),放進16個小積木後,是()毫升二填一填,積木的體積是多少立方公分:(1)積木的體積是()立方公分()積木的體積是()立方公分(3)積木的體積是()立方公分74287體積與容量(4)積木的體積是()立方公分(5)積木的體積是()立方公分三計算不規則物體的體積(1)()(3)(4)指定作業解答:一(1)73毫升()54毫升(3)4毫升(4)65毫升(5)81毫升75288第五章容量與體積-案例篇二(1)立方公分()8立方公分(3)4立方公分(4)46立方公分(5)44立方公分三(1)100立方公分()148立方公分(3)43000立方公分(4)9.18立方公尺教學參考資料:周筱亭等(民95)國小數學教材分析-體積和角度三峽:國家教育研究院周筱亭等(民95)國小數學教材分析-重量和容量三峽:國家教育研究院76289主題5--1:長(正)方體體積公式長方體體積公式撰寫者:房昔梅~長方體的體積公式授課對象:國小五年級學生先備知識:1.知道長方形面積公式,並能進行運算.知道邊長為1公分的正方體體積是1立方公分,並能以1立方公分為單位,計數立體積木的體積教學目標:透過以小正方體積木一層一層堆疊成長方體的活動,認識長方體的體積公式,並能進行運算教學時間教學時間:40分鐘(一節課)教學說明:1.教師給定一個長方體積木甲,指導學童使用1立方公分的積木堆疊出一個和積木甲一模一樣的長方體乙,並算出所使用1立方公分積木的個數.引導學童使用乘法公式記錄計數1立方公分積木的過程3.指導學童將長方體乙用透明膠帶黏貼固定後,再用長方體乙的各邊積木數比對積木甲的各邊長,確認長方體甲的長寬高邊各等於幾個積木4.指導學童利用長寬高邊的積木數相乘,算出所需正方體積77290第五章容量與體積-案例篇木的總個數,形成以長寬高的公式計算長方體體積的共識5.引導學童透過計算長方體體積的方式,計算複合形體的體積6.教師引導學童探討:欲求出容器體積時,可以使用直接計算容器各部份的體積再相加;或計算容器外部體積後,扣除容器內部容積等兩種方法教具準備:1.教師為每位學童準備1立方公分的正方體積木約30個.教師準備若干個長4公分寬3公分高公分的長方體實心積木供各組學童使用,每組1個3.厚度為整公分的方形容器若干個4.邊長為整公分的長方體及正方體積木若干個活動一計數堆疊成長方體所需的1立方公分積木的個數活動目標:透過點數1立方公分的正方體積木,計算長方體積木的體積活動流程:1.教師拿出一個長4公分寬3公分高公分的長方體實心積木,向各組學童提問:這個積木的體積是多少立方公分?.教師請每位學童使用桌面上的1立方公分積木堆疊成與積木甲78291長方體體積公式相同大小的長方體乙3.教師提問:怎麼知道你堆出來的積木乙和積木甲一樣大呢?請學童比對積木甲和積木乙,進行檢驗4.請學童拿出透明膠帶將堆疊好的積木乙各邊固定,接著依序進行長邊寬邊及高邊的比對,確定積木乙的各邊長都和積木甲相等5.教師提問:數一數,積木乙是用幾個白色積木堆成的?指導學童進行點數,並說明點數的方法6.學童回答:是用4個積木堆成的7.說說看,你是怎麼數的?學童回答:我先算出一層有1個積木,堆了層,1,就是4個積木8.教師提問:怎麼算出一層有幾個積木呢?學童回答:我先算一排有4個積木,一層有3排,43=1,就知道一層有1個積木了9.教師請學童用一個乘法算式把數積木的過程記錄下來學童可能的記法如下:43=479292第五章容量與體積-案例篇教師:說說看,算式中的數字各表示什麼?引導學童回答:4代表積木甲的長邊正好和4個積木合起來一樣長,表示一排有4個積木;3表示積木甲的寬邊正好和3個積木合起來一樣長,表示一層共有3排積木,也就是43=1個;表示積木甲的高邊正好和個積木合起來一樣長,代表積木共有層,共用了1=4個積木10.教師引導學童作結論:所以計算長方體體積,應該要知道哪些條件?引導學童回答:計算長方體體積時,只要知道長方體的長邊寬邊和高邊的公分數,就可以把它想成是由幾個白色積木堆疊而成的,長邊代表一排有幾個,寬邊代表一層有幾排,高代表積木共有幾層;就可以用長寬高的算式計算長方體體積11.接著,教師拿出一顆邊長各為5公分5公分和10公分的長方體積木,請問學童:如果不透過堆疊1立方公分的正方體積木,怎樣才能知道積木的體積?1.引導學童回答:只要量出各邊的長度,就可以想像成堆疊積木的樣子13.教師提問:量出長方體各邊的長度代表什麼?14.引導學童回答:長邊代表一排有幾個,寬邊代表一層有幾排,高代表積木共有幾層;量出長方體的長寬高分別是5公80293長方體體積公式分5公分和10公分,就可以把長方體積木想像成一組堆疊好的小積木:一排有5個小積木,每一層都排了5排小積木,往上堆疊了10層,就和長方體積木一樣大了15.教師提問:怎麼數出這堆積木共有幾個呢?16.引導學童回答:一排5個積木,合併5排積木是一層,代表一層有55=5個小積木,每一個小積木都是1立方公分,每以一層就有5立方公分往上排了10層,代表全部的積木有510=50個,也就是50立方公分用這種數積木的想法,就可以算出長方體積木的體積了17.教師引導學童歸納:所以日後計算長方體的體積時,可以用什麼方法?18.引導學童回答:只要分別測量出長方體的長寬高再相乘,就可以計算長方體的體積了活動二計算複合形體的體積活動目標:透過計算長方體體積的方式,計算複合形體的體積活動流程:1.教師展示如下圖由兩個長方體組成的複合形體積木,請學童計算積木的體積,並說明想法81294第五章容量與體積-案例篇17cm.學童可能的作法一:分別計算1和兩個長方體積木的體積再相加作法如下:===568答:568立方公分3.學童可能的作法二:(10+8)151===568答:568立方公分4.教師展示如下圖的形體,請學童計算體積並說明想法:5.學童可能的想法一先將積木想成一個大的長方體(以虛線補足),再扣除中間較小的長方體(由虛線所補足的部份),作法如下:8295長方體體積公式大的長方體:(5+5+50)550=15000小的長方體:=18750相減:=10650答:10650立方公分6.學童可能的想法二將積木分成左中右等三個長方體,分別計算體積後相加作法如下:左側長方體:5550=3150中間長方體:=1500右側長方體:=6500相加:=10650答:10650立方公分7.教師展示如下圖容器,請學童計算容器的體積:8.學童可能的作法一先將容器內容空心部份補足成實心長方體,計算體積後,再扣除補足部份的體積作法如下:實心長方體體積:8810=640補足部份的體積:448=18相減:640-18=51答:51立方公分83296第五章容量與體積-案例篇9.學童可能的作法二將容器想成前後左右及底部等五個長方體,分別計算出體積後相加作法之一:先算左右:(810)=30再算前後:(410)=160計算底部:44=3相加:=51答:51立方公分作法之二:先算左右:(88)=56再算前後:(48)=18計算底部:88=18相加:=51答:51立方公分活動三計算柱體的體積活動目標:透過計算長方體體積的方式,計算柱體的體積活動流程:1.教師展示如右圖的長方體積木84297長方體體積公式並請學童說明計算這個長方體體積的方法.引導學童回答:我先算出一層的體積,再乘以高有幾層,就可以計算出長方體的體積一層是43=1,這個長方體共有層,所以用43=4,就可以算出長方體的體積3.教師提問:說說看,我們可以用計算長方體體積的方式,算出這個四角柱的體積嗎?為什麼?4.引導學童回答:因為柱體的兩個底全等,從上到下都一樣粗,所以可以用計算長方體體積的方法,先計算一層的體積,再把一層的體積乘以高有幾層,就可以算出四角柱的體積了5.教師歸納:同學說的一層的體積,我們稱為底面積;所只要我們可以用底面積高的算式來計算各種柱體的體積6.教師提問:下面這個柱體的底面是平行四邊形,請同學們計算這個柱體的體積7.學童可能的作法一:先算底面積:146=84再乘以高:848=70485298第五章容量與體積-案例篇答:704立方公分8.學童可能的作法二:=704答:704立方公分9.教師揭示一個底面是三角形的三角柱,請學童計算體積:10.學童可能的作法:=385答:385立方公分11.教師揭示底面為梯形的四角柱,請學童計算體積:學童可能的作法:(5+3)310=10答:10立方公分1.教師揭示如右圖的圓柱,請學童計算體積(單位:公分,圓周率以3.14計算)13.學童可能的作法:(00)=510答:510立方公分教學注意事項:1.教師不宜透過堆疊白紙引入長方體體積公式,因為平面是沒有厚度的,如果很多張白紙堆疊在一起會變成一個長方體,已經86299長方體體積公式預告一張白紙也是有厚度的,也就是說,每一張白紙都是長方體.教師不宜透過在長方體紙盒內堆疊白色積木引入長方體體積公式以免混淆長方體紙盒的體積和長方體紙盒容積的意義3.教師在引導學童計算柱體體積時,首先應幫助學童澄清柱體的底面在哪裡?因為角柱可以有多種不同的擺放方式,部份學童可能誤認為柱體的底面永遠在上下方,而不考慮柱體的擺放方式如果學童易混淆,初期教師可將柱體的兩個底分別朝向上下方,待學童確認該形體為柱體無誤後,再以其他方式擺放,供學童觀察,培養學童判別柱體的能力指定作業:習題一習題一計算長方體的體積:(1)()(3)(4)(5)(6)87300第五章容量與體積-案例篇習題二習題二計算複合形體的體積:(1)()(3)單位:公分(4)單位:公分習題三題三計算柱體的體積:(1)()88301長方體體積公式(3)(4)(5)(單位:公分)(6)指定作業解答:一計算長方體的體積:(1)35立方公分()4000立方公分(3)1040立方公分(4)1080立方公分(5)640立方公分(6)540立方公分二計算複合形體的體積:(1)480立方公分()414立方公分(3)37立方公分(4)115立方公分三計算柱體的體積:(1)10立方公分()414立方公分89展开 Similardocuments 康軒版-(三上年級課程)對照表康軒版-三上年級課程單元01-一萬以內的數基礎下冊-單元七-討論一02-四位數的加減計算基礎上冊-單元二-討論一03-周長與面積基礎下冊-單元八-討論一二04-乘法基礎上冊-單元一-討論一05-重量基礎上冊-單元四-討論一-題型二06-加減法的應用基礎下冊-單元七-討論三 Moreinformation 目次3ONTNTS1相似形上國民中學數學第五冊習作表示為仿會考或特招題1-1比例線段31-相似多邊形相似三角形的應用圓形-1點線圓4-圓心角圓周角與弦切角外心內心與重心3-1推理證明三角形與多 給同學的話1..內3.內內目次3ONTNTS1相似形上國民中學數學第五冊習作表示為仿會考或特招題1-1比例線段31-相似多邊形81-3相似三角形的應用13118圓形-1點線圓4-圓心角圓周角與弦切角9343外心內心與重心3-1推理證明403-三角形與多邊形的心4535131-1比例線段本節性質與公式摘要 Moreinformation MicrosoftWord-0.5bh.doc 198FG7.199HG8E圖中,DE為一正方形,=及為一邊長1cm的等邊三角形,而為此=90若DE的面積為10cm,三角形內的任意一點(如圖所示)若至三邊求的面積及的垂直距離的總和為xcm,求x的值Inthefigureshown,DEisasquareandisanequilateraltriangle Moreinformation 00=10=01==11=00=1 00=10=01=011=11=00=1:={0,1}:3(,,)=+(,,)=++(,)=+(,,,)=(+)(+)+(+)(+)+=+==++=+=(+)+=+(+)()=()(+)=++=(+)(+)+==+0 Moreinformation _題目卷 東大附中國三數學科:-練習卷年班座號:姓名:一單一選擇題.()如圖,中,分別為上的點,則下列哪個條件無法推得//?():=:():=:():=:():=:7.()如圖,為直角三角形,且分別為的中點,已知=,=4,則的面積為多少平方單位?()()8()4()48.()如圖,中,=,=, Moreinformation 4 練習9A(9.特殊角的三角比T(在本練習中,不得使用計算機如有需要,答案以根式或分數表示.試完成下表三角比θ0460sinθcosθtanθ求下列各數式的值(.cos60.sin44.tan4.cos04tan07.sin4cos48.cos60tan49.tan60sin00.sin60cos Moreinformation 推理證明本節性質與公式摘要1推理與證明:1已知2求證3證明2思路分析與證明:3輔助線:四邊形四邊中點連線性質:例ABCDEFGHAC6BD8EFGHACBD14EAHBFCGD 403-1推理證明本節性質與公式摘要1推理與證明:1已知2求證3證明2思路分析與證明:3輔助線:124四邊形四邊中點連線性質:例H68H14H4141基礎題1aba366b122a36證明10分10分P1312a366b1221a6b122366b1266b1266b186b636b3b1b3b1 Moreinformation ok313正餘弦定理 1主題一三角形面積公式若ab和c分別表BC三內角表示BC的面積則111bcsincasinBabsinCB和C的對邊長例題1在BC中已知B10C810求BC的面積ns:0311BC面積BCsin108sin1003ShowxesShow底10Show底8C81010B類題 Moreinformation (編號:5-3-2)教材重點:三角形內角和為180度的應用班學生姓名:下圖三角形的形的角為60度,角為60度,角是幾度?三角形的三個內角和是180度,角是60度,角也是60度,所以180度減去角和角,剩下的就是角的角度180-6 編號編號5-3-1教材重點認識三角形的三個內角和為180度下圖哪一個三角哪一個三角形的內角形的內角和最大內角和最大和最大丙乙甲你是怎麼知道的把三角形的每個剪下來拼湊在一起發現一樣大每個三角形的內角和都是180度用量角器量三角形每一個角再把三個角度加起來甲三角形的內角和是180度乙丙三角形的內角和都是180度一先用量角器量先用量角器量量 Moreinformation 新北市立江翠國中103學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷P.1測驗說明:(一)範圍:康軒版第四冊2-3~3-3(二)本試卷含題目卷共4頁(雙面列印)及答案卷1張(三)題目卷包含12題單選題6題填充題4題綜合題,請將正確答 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本計劃經費來自品健康福利捐支應衛生福利部國民健康署我名字為了以下理由1.2.3.4.5.決定從年月日起簽署人(簽章)見證人(簽章)年月日a準備戒V環境的準備排除讓自己想吸自己戒的環境V心理的準備瞭解自己的吸的環境建立能提醒行為強化戒決心V身體的準備評估身體的尼古丁依賴度必要時找尋藥物降低戒戒的難度 Moreinformation 我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形:平行四邊形梯形,並將之前學過的菱形鳶形作個整理平行四邊形平行四邊形的定義:兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形如下圖,若AB//CD且AD//BC,則ABCD稱為平行四邊形,以ABCD表示ADBC 我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形:平行四邊形梯形,並將之前學過的菱形鳶形作個整理平行四邊形平行四邊形的定義:兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形如下圖,若//且//,則稱為平行四邊形,以表示平行四邊形的性質:從平行四邊形的性質來看,我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成,以下列出5點性質,我們將一一來證明 Moreinformation 509/26-09/30-2.探索三角形SSSSASAAA(或AA)相似性質9-s-03C-C-0.紙筆測驗60/03-0/07-3相似三角形的應用.能利用相似性質進行簡易的測量2.兩個相似三角形,其內部對應的線段比,例如高角平分線中線,都與原來三角形的 臺北市立百齡高中(國中部)05學年度第學期九年級數學學科/領域(彈性學習/選修)課程計畫教科書/自選教材版本:康軒版編撰教師姓名:國中部數學科團隊本學期學習目標.能知道相似多邊形的意義,並理解兩個相似的圖形中,對應邊的邊長成比例對應角相等2.理解與證明三角形相似性質,並應用於平行截線和實體測量3.探討點直線與圓的關係與兩圓的位置關係. Moreinformation 3-2連比例連比的運算性質abc0abc(am)(bm)(cm 1143-2連比例1連比與連比例式2應用問題主題1連比與連比例式12153615361536連比15361533615660012015367213-2連比例115242306124135121224415363061251215363061215365 Moreinformation 基本數學核心能力測驗_行為觀察記錄紙_G2版本 基本數學數學核心能力測驗G2行為觀察記錄記錄紙學校:班級:姓名:日期:記錄者:~學生作答時,請他(她)將雙手皆置於桌面~認識數字(三):數列(共1頁)注意事項逐題觀察並作底下記錄,等分測驗做完後,每一個策略任選一題問這一題你是怎麼算的?(如果只運用一種策略,則再任選2-3題訪問)利用學生的回答來作為自己觀察記錄的證據 Moreinformation 理性真的普遍嗎注意力的爭奪戰科學發展2012年12月,480期13 12科學發展2012年12月,480期你可能不知道的媒體影響劉正山若用選戰的角度來看選舉和參與選舉,你大腦裡情感的作用一定大過理性的作用,便會很習慣地拿各種媒體或別人的觀點來使自己的選擇合理化2012理性真的普遍嗎注意力的爭奪戰科學發展2012年12月,480期1314科學發展2012年12月,480期agendasetting報紙和網路新聞的頭版空間有限, Moreinformation 第五週第六週第七週第八週第九週3/8-3/143/17-3/213/24-3/283/31-4/44/7-4/11第二章平面幾何圖形2-1平面圖形(1)第二章平面幾何圖形2-2垂直平分與線對稱(1)第一次段考第二章平面幾何圖形2-3尺規作圖(1) 高雄市立蚵寮國中102學年度第二學期八年級數學學習領域彈性課程教學計畫表一教材來源:選用(南一版第四冊)二教學節數:每週(1)節,學期共(20)節三各單元內涵分析:週次第一週第二週第三週第四週2/11-2/142/17-2/212/24-2/283/3-3/7教材準備週第一章數列與等差級數1-1數列(1)第一章數列與等差級數 Moreinformation untitled 北年度領參II北III陸錄參錄IVV1234參錄56參錄78910111213141516171819202122232425262712122829(三)教學方法躍華小學語文課程中的第一個板塊教科書教學採用單元整體教學的思路教授一個主題單元時可以把教學過程分成幾個模塊自學模塊字詞 Moreinformation MicrosoftWord-_m30.doc 12345678公式2421能整除因此後玩者贏且關鍵數字為3的倍數3031不能整除所以先拿餘數2關鍵數字是4的倍數2先玩者贏4041能整除因此後玩者贏且關鍵數字為5的倍數5051不能整除所以先拿餘數2關鍵數字是6的倍數2先玩者贏7061能整除因此後玩者贏且關鍵數字為7 Moreinformation 46201111467數位遊戲式學習系統7201111467473DBGameSys48201111467正規化資料模組如何配置並儲存電子化資料以便減少資料被重覆儲存的程序DBGameSys的主要功能模組包學習者審核評分模組含正規化資料模組審核評分模組高分列表模組3大區塊系統資料庫在正規化資料模組的執行高分列表模組過程中先要求學習者瀏覽遊戲 Moreinformation 第二節研究方法本論文第一章緒論說明研究動機與目的研究方法及研究的範圍及限制並對飲食散文的義界作一觀念的釐清第二章文獻探討就將本研究的理論建構中的概念作釐清分別為現代文學飲食文學的重要論著等兩個部分來描述目前文獻的研究成果並探討其不足待補述的地方本研究以文化研究為主要研究基礎統攝整個研究架構在不同章節裡佐以相關研究方法進行論述茲圖示如下研究方法 Moreinformation 臺北市103學年度國民中學（含完全中學國中部）學校課程計畫審閱 臺北市立百齡高中(國中部)10學年度第2學期七年級數學學科/領域(彈性學習/選修)課程計畫教科書/自選教材版本:康軒版編撰教師姓名:七年級數學領域教師本學期學習目標(以條列式文字敘述)1.能理解二元一次聯立方程式及其解的意義,並能由具體情境中列出二元一次聯立方程式2.能熟練使用代入消去法與加減消去法求二元一次聯立方程式的解3.能理解平面直角坐標系. Moreinformation 攜手拼出圓滿的幸福2 國立台灣師範大學家庭教育研究與發展中心編撰教育部出版中華民國96年9月攜手拼出圓滿的幸福2國立台灣師範大學家庭教育研究與發展中心主任林育瑋3目錄幸福拼圖序文...p.2引言能和心愛的人共度一生,就是最大的幸福!...p.6幸福方程式:我+你=幸福關鍵一我...p.10關鍵一你...p.20關鍵一+...p.28如果你還想知道更多撇步附錄一...p.48 Moreinformation 目次CONTENTS21乘法公式與多項式二次方根與畢氏定理因式分解一元二次方程式 給同學的話1234目次CONTENTS21乘法公式與多項式1-131-271-3111162二次方根與畢氏定理2-1202-2242-3292333因式分解3-1373-2413-3453494一元二次方程式4-1534-2574-36146531-1乘法公式本節性質與公式摘要1分配律:ddd Moreinformation 點線圓本節性質與公式摘要1圓的切線:兩圓位置關係與公切線數量:O1r1O2r2r1r2O1O2r1r2O1O2r1rO1O2r1rr1r2O1O2r 242-1點線圓本節性質與公式摘要1圓的切線:122兩圓位置關係與公切線數量:1r12r2r1r212r1r212r1r22212r1r221r1r212r1r22012r1r210012r1r2003圓外切四邊形:例4弦心距:例MMMM Moreinformation 表二105年國中教育會考英語科閱讀與聽力答對題數對應整體能力等級加標示對照表閱讀答對題數聽力答對題數待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強 表一105年國中教育會考國文科社會科與自然科能力等級加標示與答對題數對照表國文社會自然A++46-4860-6351-54A+42-4844-4554-6358-5946-5449-50A42-4354-5746-48B++37-4145-5337-45B+20-4131-3624-5338-4420-4530-36B20-3024-37 Moreinformation <3939A455AED1B3E62E786C73> 奧林匹亞國小數學單元本與各版本對照表單元本:每本35元班名:電話:總金額:南一版南一99.1下奧林匹亞學用數量教用數量南一99.4下奧林匹亞學用數量教用數量1數到501181乘法和除法4012長度1142概數5183幾月幾日1153小數的加減421418以內的加法1124統計圖表511518以內的減法1125 Moreinformation 509(ii)(iii)(iv)(v)200,,,,C57 59(ii)(iii)(iv)(v)500,000500,00059I18(ii)(iii)(iv)200,00056509(ii)(iii)(iv)(v)200,000200,000200,000500,0005743C57(ii)609014550,00043F43C(ii)2822440(1B)2440(1)58 Moreinformation MicrosoftWord-MP2018_Report_Chi_12Apr2012_.doc 人力資源推算報告香港特別行政區政府二零一二年四月此頁刻意留空-2-目錄頁前言詞彙縮寫及注意事項摘要第一章:第二章:第三章:第四章:附件一:附件二:附件三:附件四:附件五:附件六:附件七:引言及技術大綱人 Moreinformation 南華大學數位論文 1i--------------------------------------------------iiiiiivvvivii36~39108viii15108ix123301~4323~16124453686447158-----594456431078971011121011129137 Moreinformation 李天命的思考藝術 iiiiiivvviviiviiiixx31234456789510121161213781415161718919202122102324231125267272812132930312832143334353651531234567891011 Moreinformation 皮肤病防治.doc ...1...1...2...3...4...5...6...7...7...9...10...11...12...14...15...16...18...19...21I...22...22...24...25...26...27...27...29...30...31...32...33...34...34...36...36...37...38...40...41...41...42II Moreinformation 性病防治 ...1...2...3...4...5...5...6...7...7...7...8...8...9...9...10...10...11...11I...12...12...12...13...14...14...15...17...20...20...21...22...23...23...25...27...33...34...34...35...35II...36...38...39...40...41...44...49...49...53...56...57...57...58...58...59...60...60...63...63...65...66 Moreinformation 中国南北特色风味名菜_一） ...1...1...2...3...3...4...5...6...7...7...8...9...10...11...13...13...14...16...17I...18...19...20...21...22...23...24...25...27...28...29...30...32...33...34...35...36...37... 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