判別式- 維基百科，自由的百科全書

判別式是代數學中的概念。

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判別式是代數學中的概念。

一個實係數或復係數多項式的判別式是一個與之相關的表達式。

判別式等於零當且僅當多項式有重根。

一元二次多項式的判別式 Δ {\displaystyle\Delta} 與其函數圖像之間的關係 當多項式的係數不是實數或複數域時，同樣有判別式的概念。

判別式總是係數域中的元素。

這時，判別式為零當且僅當多項式在它的分裂域中有重根。

判別式的通常形式為： a n 2 n − 2 ∏ i < j ( r i − r j ) 2 {\displaystylea_{n}^{2n-2}\prod_{i 0 {\displaystyleD>0\,}  ，那麼 P ( x ) {\displaystyleP(x)\,}  有兩個相異實根 x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystylex_{1,2}={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}}  ，即 P ( x ) {\displaystyleP(x)\,}  的圖像穿過 x {\displaystylex\,}  軸兩次。

如果 D = 0 {\displaystyleD=0\,}  ，那麼 P ( x ) {\displaystyleP(x)\,}  有兩個相等實根 x 1 = x 2 = − b 2 a {\displaystylex_{1}=x_{2}=-{\frac{b}{2a}}\,}  ， P ( x ) {\displaystyleP(x)\,}  的圖像與 x {\displaystylex\,}  軸相切。

如果 D < 0 {\displaystyleD<0\,}  ，那麼 P ( x ) {\displaystyleP(x)\,}  沒有實根，即 P ( x ) {\displaystyleP(x)\,}  的圖像與 x {\displaystylex\,}  軸沒有交點。

一般多項式的判別式編輯 對於一般的一個多項式 p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + … + a 1 x + a 0 {\displaystylep(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_{1}x+a_{0}}  ，其判別式等於（差一個係數）以下的 ( 2 n − 1 ) × ( 2 n − 1 ) {\displaystyle(2n-1)\times(2n-1)\,}  的矩陣的行列式（見西爾維斯特矩陣）： [ a n a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 0 … … 0 0 a n a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 0 … 0 ⋮   ⋮ 0 …   0 a n a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ( n − 2 ) a n − 2 …   a 1 0 … … 0 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ( n − 2 ) a n − 2 …   a 1 0 … 0 ⋮   ⋮ 0 0 … 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ( n − 2 ) a n − 2 …   a 1 ] . {\displaystyle\left[{\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots&a_{1}&a_{0}&0\ldots&\ldots&0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots&a_{1}&a_{0}&0\ldots&0\\&\vdots\&&&&&&&&\vdots\\&0&\ldots\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots&a_{1}&a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots\&a_{1}&0&\ldots&\ldots&0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots\&a_{1}&0&\ldots&0\\&\vdots\&&&&&&&&\vdots\\&0&0&\ldots&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots\&a_{1}\\\end{matrix}}\right].}  這個矩陣的行列式稱為 p ( x ) {\displaystylep(x)\,}  和 p ′ ( x ) {\displaystylep'(x)\,}  的結式，記為 R ( p , p ′ ) {\displaystyleR(p,p')\,}  。

p ( x ) {\displaystylep(x)\,}  的判別式 D ( p ) {\displaystyleD(p)\,}  由以下公式給出： D ( p ) = ( − 1 ) 1 2 n ( n − 1 ) 1 a n R ( p , p ′ ) {\displaystyleD(p)=(-1)^{{\frac{1}{2}}n(n-1)}{\frac{1}{a_{n}}}R(p,p')\,}  .例如，在 n = 4 {\displaystylen=4\,}  的情況下，以上的行列式是： | a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 | {\displaystyle{\begin{vmatrix}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\&0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\&0&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}}  這個四次多項式的判別式就是這個行列式除以 a 4 {\displaystylea_{4}\,}  。

作為等價條件，多項式的判別式等於： a n 2 n − 2 ∏ i < j ( r i − r j ) 2 {\displaystylea_{n}^{2n-2}\prod_{i