首個世界邏輯日︰連結起20世紀兩大邏輯學家的日期

2019年1月14日是首個「世界邏輯日」，1月14日同時是邏輯學家哥德爾離世及塔斯基出生的日子。

標籤: 邏輯, 數學, 數理邏輯, Kurt Gödel, Alfred Tarski ... 集團資訊關於我們集團介紹我們的團隊旗下媒體關鍵評論網everylittled.INSIDE運動視界Cool3c電影神搜未來大人物歐搜哇旗下節目多元服務Ad2Taketla拿票趣關鍵議題研究中心Cr.EDShareParty達思智能科技與我們合作內容行銷與廣告業務異業合作原創內容暨內容媒體業者合作加入我們新聞中心 2019/01/14,科學PhotoCredit:UCBerkeley,BancroftLibraryKayueFactcheckLab執行編輯，曾任《關鍵評論網》編輯，最想寫的還是數學。

        看更多此作者文章...訂閱作者收藏本文邏輯學期刊《LogicaUniversalis》在今年1月14日舉辦首個「世界邏輯日」（WorldLogicDay），期刊主編北炯（Jean-YvesBéziau）希望能藉此推廣邏輯研究。

據期刊網站資料，不同國家的多家大學均會在當日安排活動響應，例如以邏輯學為主題的演講或研討會等。

把「世界邏輯日」訂在1月14日，其中一個原因是這日子巧合地跟20世紀兩大邏輯學家有關︰哥德爾（KurtGödel）在1978年這一天逝世，而塔斯基（AlfredTarski）於1901年該日出生。

這兩位同於1900年代出生（哥德爾生於1906年）的邏輯學巨人對上世紀數理邏輯發展舉足輕重。

哥德爾證明的「不完備性定理」（incompletenesstheorems）揭示了數學系統的限制，其證明亦屬「可計算性理論」（computabilitytheory，又稱遞歸論recursiontheory）早期發展的重要結果。

塔斯基則提出了形式語言中「真」和「邏輯後果」的定義，奠下了模型論（modeltheory）的基礎，並跟其學生將此領域發展成現代數理邏輯的一大支柱。

哥德爾不完備性定理常被詮釋成「存在真但不可證明的命題」，塔斯基也有一個跟不完備性定理有關的結果，稱為「真的不可定義」（undefinabilityoftruth）。

如果不熟悉邏輯學中對「真」的嚴格定義，很容易會望文生義，借題發揮。

本文希望藉此機會，盡量不使用符號去解釋，響應「世界邏輯日」推廣邏輯學研究的宗旨。

PhotoCredit:GeorgeBergman,GNUFreeDocumentationLicense,塔斯基如何定義及理解「真理」是哲學長久以來的一大問題，哲學家發展出不同的「真理理論」嘗試解釋何謂「真理」。

「真」這個看似普通的概念之所以難纏，一大原因是面臨各種悖論挑戰，當中最重要的相信是「說謊者悖論」——「這句話是假的」到底是不是真的？如果是的話，那句話就是假的；如果不是，又會變成真的了。

塔斯基從人工設計、有嚴格定義的形式語言着手，嘗試定義形式語言中「真」的意思。

他區分了「對象語言」和討論對象語言的「後設語言」，當我們在討論某個句子是不是「真」的時候，使用的是比對象語言包含更多的後設語言。

20世紀初期，數理邏輯發展受到數學家希爾伯特（DavidHilbert）的形式主義影響，出現各種邏輯及數學的形式系統。

粗略來說，形式系統是嘗試把數學、邏輯系統化約為符號的產物，在形式系統之中，有嚴格定義的語法、明確的公理和推理規則，這些系統中的「定理」就是從公理出發，一步一步按照規則變換符號而得出的語句。

理論上，任何人只要懂得按規則辦事，即使完全不明白符號代表甚麼意思，都能夠證明定理。

這一類只處理符號問題的研究，在邏輯學中屬於「語法」（syntax）範疇。

例如形式主義的一項計劃，就是希望透過證明數學的形式系統不會透過規則變換得出「0=1」這類引起矛盾的句子，來證明數學系統並無矛盾，這就屬於語法的進路。

但單看符號不會有真假的問題，只有詮釋了符號才能討論真假，這屬於邏輯學中的「語意」（semantics）範疇。

塔斯基的研究進路，令邏輯學家逐漸擺脫希爾伯特的影響，開始使用集合論等數學工具來研究邏輯問題。

（當然這並非塔斯基一人的影響，在他以前亦有其他邏輯學家發展及使用相關概念。

）PhotoCredit:APPhoto1951年，哥德爾（右二）與物理學家許文格（右一）同獲首屆愛因斯坦獎，愛因斯坦（左一）於其72歲生日（3月14日）頒發獎項。

而哥德爾證明的不完備定理，同樣對形式主義影響深遠。

透過把算術的形式系統編碼，哥德爾找到一個讓算術系統描述自身的方法︰透過描述數字之間的關係，再「翻譯」成對應的形式系統語句。

假設這個算術形式系統一致——即不會同時證明A和¬A（「¬」在邏輯系統中代表「非」或「否定」）兩條定理——哥德爾構造了一個形式上類似說謊者悖論的「不可判定句」G，而這個系統既無法證明G，也無法證明¬G。

這代表該算術系統「不完備」，而且其他更強的算術系統同樣受此限制。

哥德爾的定理打擊了希爾伯特的形式主義計劃，但詳情涉及技術細節，在此略過。

塔斯基在提出形式語言中「真」的定義時，利用了哥德爾的編碼技巧，證明在一些算術系統中無法定義「算術真理」而不引致矛盾，原因同樣跟說謊者悖論有關，這項定理稱為「真的不可定義」。

不過必須注意這項結果只局限於形式系統之中，而非我們平日使用的自然語言。

回到算術系統的問題，數學家可以利用集合論定義自然數及其加法和乘法，這個結構滿足我們對自然數的直覺及理解，稱為「標準模型」。

在構想算術系統的公理和推理規則時，數學家也是按照以往研究自然數的特性來設計，而且我們能夠透過詮釋系統的符號，令形式系統跟標準模型對應。

透過算術系統證明出來的定理，經詮釋後都符合上述「標準模型」，通常會稱為「真」的算術語句——此處「真」的意思其實是「在標準模型中為真」。

然而透過不完備定理，我們知道並非所有「真」的算術語句都能夠透過算術系統證明，甚至不存在一個能完整描述標準模型的算術系統。

這就是坊間常稱不完備定理表示「存在真但無法證明的算術命題」的意思。

PhotoCredit:UCBerkeley,BancroftLibrary哥德爾另一項重要的數學結果，是證明了集合論中的「連續統假設」（ContinuumHypothesis）及「選擇公理」（AxiomofChoice）跟集合論的其他公理一致——即不會產生矛盾。

後來數學家寇恩（PaulCohen）則證明了集合論公理無法推論出這兩個命題，換言之，兩個命題均是集合論的「不可判定句」。

這兩項結果的證明方法令集合論迅速發展。

12»全文閱讀不想分頁？試試看我們的新服務猜你喜歡Tags：邏輯數學數理邏輯KurtGödelAlfredTarski哥德爾不完備定理成為會員，在關鍵評論網暢所欲言成為會員成為會員別高估反習勢力能耐，「穩固習近平延任」絕對是二十大之前的主旋律1則觀點【TNL沙龍本週議題】發生火災怎麼辦，你了解逃生指南嗎？1則觀點烏克蘭意外擋住俄羅斯，讓拜登獲得天上掉下來的大禮1則觀點「以戰求勝，驕兵必敗」，孫子如果在世，一定把俄烏戰爭當成兵法案例1則觀點營造業缺工達歷史新高，為什麼這一代勞動年齡層不願意做工地？1則觀點當戰爭不能寫是戰爭——新聞審查下，那些拒絕背叛讀者的傳媒機構1則觀點2022韓國總統大選：尹錫悅以史上最小差距勝出，帶領保守派時隔五年重返青瓦臺1則觀點從「請教母姊」到「月經日誌」，不同年代的國中健康教育課本如何談「經期保健」？1則觀點如何向長輩解釋「俄羅斯幹嘛打烏克蘭」？歡迎使用可直接貼到LINE群組的懶人包1則觀點俄羅斯建構的平行宇宙1則觀點