根軌跡圖- 维基百科，自由的百科全书

根軌跡圖（root locus）是控制理論及穩定性理論中，繪圖分析的方式，可以看到在特定參數（一般會是回授系統的环路增益）變化時，系統極點的變化。

根軌跡圖是由Walter ... 根軌跡圖 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 一個根軌跡圖，部份的極點在右半平面，表示當時的系統會不穩定 根軌跡圖（rootlocus）是控制理論及穩定性理論中，繪圖分析的方式，可以看到在特定參數（一般會是回授系統的環路增益）變化時，系統極點的變化。

根軌跡圖是由WalterR.Evans（英語：WalterR.Evans）所發展的技巧，是經典控制理論中的穩定性判據，可以判斷線性非時變系統是否穩定。

根軌跡圖是在複數s-平面中，系統閉迴路傳遞函數的極點隨著增益參數的變化（參照極零點圖（英語：Pole–zeroplot））。

目次 1用途 2定義 2.1角度條件 2.2量值條件 3繪製根軌跡圖 4相關條目 5參考資料 6延伸閱讀 7外部連結 用途[編輯] 極點位置及二階系統中自然頻率及阻尼比的關係 除了確認系統的穩定性外，根軌跡圖也可以用來設計回授系統的阻尼比（ζ）及自然頻率（ωn）。

定阻尼比的線是從原點往外延伸的線，而固定自然頻率的線是圓心在原點的圓弧。

在根軌跡圖上選擇有想要的阻尼比及自然頻率的點，可以計算增益K並且實現其控制器。

在許多教材科書上有利用根軌跡圖設計控制器的精細技巧，例如超前-滯後補償器、PI、PD及PID控制器都可以用此技巧來近似設計。

以上使用阻尼比及自然頻率的定義，前提是假設整個回授系統可以用二階系統來近似，也就是說系統有一對主要的複數極點，不過多半的情形都不是如此，因此在實做時仍需要針對系統再進行模擬，確認符合需求。

定義[編輯] 回授系統的根軌跡圖是用繪圖的方式在複數s-平面上畫出在系統參數變化時，回授系統閉迴路極點的可能位置。

這些點是根軌跡圖中滿足角度條件（anglecondition）的點。

根軌跡圖中特定點的參數數值可以用量值條件（magnitudecondition）來計算。

假設有個回授系統，輸入信號 X ( s ) {\displaystyleX(s)} 、輸出信號 Y ( s ) {\displaystyleY(s)} 。

其順向路徑傳遞函數為 G ( s ) {\displaystyleG(s)} ，回授路徑傳遞函數為 H ( s ) {\displaystyleH(s)} 。

此系統的閉迴路傳遞函數為[1] T ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) {\displaystyleT(s)={\frac{Y(s)}{X(s)}}={\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}}} 因此，閉迴路傳遞函數的極點為特徵方程式 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 {\displaystyle1+G(s)H(s)=0} 的根，方程式的根可以令 G ( s ) H ( s ) = − 1 {\displaystyleG(s)H(s)=-1} 來求得。

若是一個沒有純粹延遲的系統， G ( s ) H ( s ) {\displaystyleG(s)H(s)} 的乘積為有理的多項式函數，可以表示為[2] G ( s ) H ( s ) = K ( s + z 1 ) ( s + z 2 ) ⋯ ( s + z m ) ( s + p 1 ) ( s + p 2 ) ⋯ ( s + p n ) {\displaystyleG(s)H(s)=K{\frac{(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots(s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots(s+p_{n})}}} 其中 − z i {\displaystyle-z_{i}} 為 m {\displaystylem} 個零點， − p i {\displaystyle-p_{i}} 為 n {\displaystylen} 個極點，而 K {\displaystyleK} 為增益。

一般而言，rootlocusdiagram會標示在不同參數 K {\displaystyleK} 時，傳遞函數極點的位置。

而rootlocusplot就會畫出針對任意 K {\displaystyleK} 值下，使 G ( s ) H ( s ) = − 1 {\displaystyleG(s)H(s)=-1} 的極點，但無法看出 K {\displaystyleK} 值變化時，極點移動的趨勢。

因為只有 K {\displaystyleK} 的係數以及簡單的單項，此有理多項式的值可以用向量的技巧來計算，也就是將量值相乘或是相除，角度相加或是相減。

向量公式的由來是因為有理多項式 G ( s ) H ( s ) {\displaystyleG(s)H(s)} 的每一個因式 ( s − a ) {\displaystyle(s-a)} 就表示一個s-平面下由 a {\displaystylea} 到 s {\displaystyles} 的向量，因此可以透過計算每一個向量的量值及角度來計算多項式。

根據矩陣數學，有理多項式的相角等於所有分子項的角度和，減去所有分母項的角度和。

因此若要測試s-平面上的一點是否在根軌跡圖上，只要看開迴路的零點及極點即可，這稱為角度條件。

有理多項式的量值也是所有分子項的量值乘積，再除以所有分母項量值的乘積。

若只是要確認一個s-平面上的點是否在根軌跡圖上，不需要計算有理多項式的量值，因為 K {\displaystyleK} 值會變，而且可以是任意的整數。

針對根軌跡圖上的每一點，都可以計算其對應的 K {\displaystyleK} 值，此即為量值條件。

以前繪製根軌跡圖會使用名叫Spirule的特殊量角器，可以用來確認角度並且繪製根軌跡圖[3] 根軌跡圖只能提供在增益 K {\displaystyleK} 變化時，閉迴路極點的位置資訊。

K {\displaystyleK} 的數值不影響零點的位置，閉迴路零點和開迴路的零點相同。

角度條件[編輯] 複數s平面上的點 s {\displaystyles} 若滿足下式，即符合角度條件（anglecondition） ∠ ( G ( s ) H ( s ) ) = π {\displaystyle\angle(G(s)H(s))=\pi} 也就是說 ∑ i = 1 m ∠ ( s + z i ) − ∑ i = 1 n ∠ ( s + p i ) = π {\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\angle(s+z_{i})-\sum_{i=1}^{n}\angle(s+p_{i})=\pi} 開迴路零點到 s {\displaystyles} 點角度的和，減去開迴路極點到 s {\displaystyles} 點角度的和，需等於 π {\displaystyle\pi} 或180度。

量值條件[編輯] 主條目：量值條件 在根軌跡圖上的特定點 s {\displaystyles} ，數值 K {\displaystyleK} 若使下式成立，就符合量值條件（magnitudecondition） | G ( s ) H ( s ) | = 1 {\displaystyle|G(s)H(s)|=1} 也就是說 K | s + z 1 | | s + z 2 | ⋯ | s + z m | | s + p 1 | | s + p 2 | ⋯ | s + p n | = 1 {\displaystyleK{\frac{|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots|s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots|s+p_{n}|}}=1} . 繪製根軌跡圖[編輯] RL=根軌跡圖，ZARL=zeroanglerootlocus 利用一些基本的技巧，可以用根軌跡法繪製Ｋ值變化時，極點的軌跡。

根軌跡圖可以看出回授系統在不同 K {\displaystyleK} 下的穩定性以及動態特性[4][5]。

其規則如下： 標示開迴路的極點及零點 將實軸上，在奇數個極點及零點左邊的線段標示下來（例如一個、三個極點及零點）。

找漸近線 令P為極點的個數，Z為零點的個數，兩者相減即為漸近線的數量： P − Z = numberofasymptotes {\displaystyleP-Z={\text{numberofasymptotes}}\,} 漸近線和實軸的交點在 α {\displaystyle\alpha} （稱為形心），往外延伸的角度為 ϕ {\displaystyle\phi} ： ϕ l = 180 ∘ + ( l − 1 ) 360 ∘ P − Z , l = 1 , 2 , … , P − Z {\displaystyle\phi_{l}={\frac{180^{\circ}+(l-1)360^{\circ}}{P-Z}},l=1,2,\ldots,P-Z} α = ∑ P − ∑ Z P − Z {\displaystyle\alpha={\frac{\sum_{P}-\sum_{Z}}{P-Z}}} 其中 ∑ P {\displaystyle\sum_{P}} 為所有極點數值的和， ∑ Z {\displaystyle\sum_{Z}} 為所有明確零點數值的和 根據測試點的相位條件判斷其往外延伸的角度 計算分離點（breakaway/break-inpoints） 根軌跡圖上的分離點（二條根軌跡圖上的軌跡相交的點）是滿足下式的根 d G ( s ) H ( s ) d s = 0  or  d G H ¯ ( z ) d z = 0 {\displaystyle{\frac{dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{or}}{\frac{d{\overline{GH}}(z)}{dz}}=0} 只要解開z，實根即為分離點，若是虛數，表示沒有分離點 相關條目[編輯] 勞斯–赫爾維茨穩定性判據 奈奎斯特穩定判據 增益裕度及相位裕度 波德圖 相位裕度 參考資料[編輯] ^Kuo1967，第331頁. ^Kuo1967，第332頁. ^Evans,WalterR.,SpiruleInstructions,Whittier,CA:TheSpiruleCompany,1965  ^Evans,W.R.,GraphicalAnalysisofControlSystems,Trans.AIEE,January1948,67(1):547–551,ISSN 0096-3860,doi:10.1109/T-AIEE.1948.5059708  ^Evans,W.R.,ControlSystemsSynthesisbyRootLocusMethod,Trans.AIEE,January1950,69(1):66–69,ISSN 0096-3860,doi:10.1109/T-AIEE.1950.5060121  Kuo,BenjaminC.,RootLocusTechnique,AutomaticControlSystemssecond,EnglewoodCliffs,NJ:Prentice-Hall:329–388,1967,ASIN B000KPT04C,LCCN 67016388,OCLC 3805225  延伸閱讀[編輯] Ash,R.H.;Ash,G.H.,NumericalComputationofRootLociUsingtheNewton-RaphsonTechnique,IEEETrans.AutomaticControl,October1968,13(5),doi:10.1109/TAC.1968.1098980  Williamson,S.E.,DesignDatatoassistthePlottingofRootLoci(PartI),ControlMagazine,May1968,12(119):404–407  Williamson,S.E.,DesignDatatoassistthePlottingofRootLoci(PartII),ControlMagazine,June1968,12(120):556–559  Williamson,S.E.,DesignDatatoassistthePlottingofRootLoci(PartIII),ControlMagazine,July1968,12(121):645–647  Williamson,S.E.,ComputerProgramtoObtaintheTimeResponseofSampledDataSystems,IEEElectronicsLetters,May15,1969,5(10):209–210,doi:10.1049/el:19690159  Williamson,S.E.,AccurateRootLocusPlottingIncludingtheEffectsofPureTimeDelay(PDF),Proc.IEE,July1969,116(7):1269–1271,doi:10.1049/piee.1969.0235  外部連結[編輯] Wikibooks:ControlSystems/RootLocus CarnegieMellon/UniversityofMichiganTutorial Excellentexamples.Startwithexample5andproceedbackwardsthrough4to1.Alsovisitthemainpage Theroot-locusmethod:Drawingbyhandtechniques "RootLocs":Afreemulti-featuredroot-locusplotterforMacandWindowsplatforms "RootLocus":Afreeroot-locusplotter/analyzerforWindows RootLocusatControlTheoryPro.com RootLocusAnalysisofControlSystems MATLABfunctionforcomputingrootlocusofaSISOopen-loopmodel Wechsler,E.R.,RootLocusAlgorithmsforProgrammablePocketCalculators(PDF),NASA:60–64,January–March1983[2017-06-02],TDAProgressReport42-73,（原始內容(PDF)存檔於2016-12-24）  Mathematicafunctionforplottingtherootlocus（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=根軌跡圖&oldid=69402635」 分類：​控制理論經典控制 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةDeutschEnglishEspañolفارسیहिन्दीBahasaIndonesiaItalianoPolskiРусскийTürkçeTiếngViệt 編輯連結