109年基北區師大附中特招數學詳解 - 朱式幸福

109年基北區師大附中特招數學詳解. 基北區國立臺灣師範大學附屬高級中學. 109 學年度高級中等學校特色招生考試. 數學能力測驗詳解. 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2020年6月22日星期一 109年基北區師大附中特招數學詳解 基北區國立臺灣師範大學附屬高級中學 109學年度高級中等學校特色招生考試 數學能力測驗詳解 解： $$正方形面積=115=x^2\\中間矩形:\cases{周長=2(x+a+c)=4x\Rightarrowc=x-a\\面積=90=c(x+a)\Rightarrowc=90/(x+a)}\Rightarrowx-a={90\overx+a}\Rightarrowx^2-a^2=90\\\Rightarrowa^2=x^2-90=115-90=25\Rightarrowa=5;\\右邊矩形:\cases{周長=2(x-b+d)=4x\Rightarrowc=x+b\\面積=99=d(x-b)\Rightarrowd=99/(x-b)}\Rightarrowx+b={99\overx-b}\Rightarrowx^2-b^2=99\\\Rightarrowb^2=x^2-99 =115-99=16\Rightarrowb=4;\\因此a:b=5:4，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。

$$ 解： 過B點作直線\(\overline{BF}\)，使得\(\overline{CD}\parallel\overline{BF}\)，見上圖；由於\(\overline{CD}\parallel\overline{BF}\Rightarrow\angleFBE=\angleC>\angleABE\)，又\(\angleB+\angleABC=180^\circ\)，因此\(\angleB+\angleC>180^\circ\)； 同理作\(\overline{DH}\parallel\overline{BC}\)，則\(\angleGDH=\angleCa\Rightarrow\overline{AE}<2\overline{DE}\\同理\cases{梯形ABCE面積=27+12=39=(a+c)\timesh\div2\\梯形BCEC'面積=27+12+27=66=(2a+c)\timesh\div2}\Rightarrow{a+c\over2a+c}={13\over22}\\\Rightarrowc={4\over9}a\Rightarrow2c2\overline{AB}\\ ，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。

$$ 解： $$\cases{\triangleOAB為等腰\\\angleOAB=40^\circ}\Rightarrow\angleAOB=180^\circ-2\times40^\circ=100^\circ;\\又\stackrel{\huge{\frown}}{AC}=\stackrel{\huge{\frown}}{BC}\Rightarrow\angleAOC=\angleBOC=(360^\circ-100^\circ)\div2=130^\circ\\在等腰\triangleOAC\Rightarrow\angleOAC=\angleOCA=(180^\circ-130^\circ)\div2=25^\circ;\\A為切點\Rightarrow\angleOAD=90^\circ\Rightarrow\angleCAD=90^\circ-25^\circ=65^\circ\\\triangleCAD為等腰\Rightarrow\angleACD=180^\circ-2\times65^\circ=50^\circ\\\Rightarrow\angleOCD=\angleOCA+\angleACD=25^\circ+50^\circ=75^\circ ，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。

$$ 解： $$一開始\overline{甲乙}=5\Rightarrow\overline{A甲}=5\times2=10；\\由表格可知:每分鐘甲比乙快0.6公里，因此18分鐘後，甲追乙0.6\times18=10.8公里\\，也就是甲追過了乙，還超過了A地；\\因此甲車在乙車的西方，也在A地的西方,故選\bbox[red,2pt]{(4)}。

$$ 解： $$\overline{OC}=\overline{OF}\Rightarrow\angleFCO=\angleCFO=(180^\circ-52^\circ)\div2=64^\circ;\\又\cases{\overline{AB}=\overline{OD}\\\overline{OB}=\overline{CD}\\\overline{OC}=\overline{OA}}\Rightarrow\triangleABO\cong\triangleODC\Rightarrow\angleBOA=\angleFCO=64^\circ\Rightarrow\angleEOA=64^\circ-28^\circ=36^\circ\\\overline{OA}=\overline{OE}\Rightarrow \angleA=(180^\circ-36^\circ)\div2=72^\circ=\angleCOD(\because\triangleABO\cong\triangleODC)=52^\circ+\angleFOD\\\Rightarrow\angleFOD=72^\circ-52^\circ=20^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(1)}。

$$ 解：$$平均值在第二組，即61-80，因此選項(1)與(2)是錯誤；\\又第二組人數少於第一組，因此Q_1在第一組，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。

$$ 解： $$abc>0\Rightarrow\cases{a,b,c>0\\a>0;b,c<0\\b>0;a,c<0\\c>0;a,b<0}\Rightarrow\overline{AB}:\overline{AC}=\cases{a/2:a/2=1:1\\5a/2:3a/2=5:3\\5a/2:a/2=5:1\\a/2:3a/2=1:3}，故選\bbox[red,2pt]{(1)}。

$$ 解： $$令a=b^2\Rightarrowb=10,11,\dots,31\\(1)\bigcirc:b=30\Rightarrowa有質因數2,3,5，即m=3>2\\(2)\bigcirc:b=11\Rightarrowa有質因數11，即m=1<2\\(3)\bigcirc:10\sqrta至少有質因數2,5，即n>2；若a=11^2，則n>m\\，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。

$$ 解： $$\triangleAPC面積=m=\overline{AP}\times\overline{CA'}\div2=\overline{AP}\\\triangleAPD面積=\cases{四邊形ABCP面積=m+23\\\overline{AP}\times\overline{A'D'}\div2={7\over2}\overline{AP}={7\over2}m}\Rightarrowm+23={7\over2}m\Rightarrowm=46/5=9.2\\，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$ 解：$$y=-(x-h)^2+k\Rightarrow圖形凹向下，(h,k)為頂點，k為最大值;\\因此拋物線上的點，其X坐標離h越遠，Y坐標越低\Rightarrowa>b>c；\\現在\cases{a=k-1\\b=k-4\\c=k-9\\|a|>|c|>|b|}\Rightarrow\cases{|k-1|>|k-9|\\|k-9|>|k-4|}\Rightarrow\cases{k>5\\k<13/2}\Rightarrow50\\b>0\\c<0}\\,故選\bbox[red,2pt]{(1)}。

$$ 解：$$10個連續整數的個位數相加=0+1+2+\cdots+9=45\Rightarrow十位數相加=92-45=47;\\假設最小的數=10x+y,其中1\lex\le9,0\ley\le9\\，並假設前a個數的十位數是x，後(10-a)個數的十位數是x+1\Rightarrowax+(10-a)(x+1)=47\\\Rightarrow10x+10-a=47\Rightarrow\cases{x=4\\a=3}\Rightarrow10個連續整數為47,48,49,50,\dots,56\\\Rightarrow最小的是47，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。

$$ 解：$$由於第1次相遇與第2次相遇之間兩人共跑了一圈=第2次相遇與第3次相遇之間兩人共跑了一圈\\\Rightarrow\cases{一圈的距離=300+120=420公尺\\小明與文武的速度比為300:120=5:2}\\\Rightarrow第1次相遇小明跑了80公尺\Rightarrow文武跑了80\times{5\over2}=200公尺\\兩人第12次相遇，文武跑了300\times11+200=3500=420\times8+140，相當於8圈又140公尺\\，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。

$$ 解： $$切第n刀可多得n個區域，n=10時可得1+1+2+\cdots+10 =\bbox[red,2pt]{56}$$ 解： $$\cases{B(0,0)\\A(a,b)\\C(c,d)}\RightarrowG=(A+B+C)/3=({a+c\over3},{b+d\over3})\Rightarrow\cases{D=(G+A+B)/3=({4a+c\over9},{4b+d\over9})\\E=(G+A+C)/3=({4a+4c\over9},{4b+4d\over9})}\\\Rightarrow\overline{DE}=\sqrt{(c/3)^2+(d/3)^2}={1\over3}\sqrt{c^2+d^2}={1\over3}\overline{BC}={1\over3}\times45=\bbox[red,2pt]{15}$$ 解： $$先求最接近小數後第208位的n，令f(n)=\overbrace{1+2+\cdots+n}^{0的數量}+\overbrace{n}^{1的數量}=(n^2+3n)/2\\\Rightarrowf(19)=209\Rightarrow\cases{第208位是0\\第209位是1\\第210位是0}\Rightarrow\bbox[red,2pt]{010}$$ 解： $$\cases{{\triangleDEG\over\triangleDGC}={12\over12}={\overline{EG}\over\overline{GC}}={\triangleEGP\over\triangleGPC}={\triangleEGP\over甲}\\{\triangleABF\over\triangleBFP}={14\over14}={\overline{AF}\over\overline{FP}}={\triangleAEF\over\triangleEFP}={10\over\triangleEFP}}\Rightarrow\cases{\triangleEGP=甲\\\triangleEFP=10}\\又\cases{\triangleCDE=12+12=24\\\triangleABE=14+10=24}\Rightarrow{\triangleABE\over\triangleCDE}={1\over1}={\overline{AE}\over\overline{ED}}={\triangleAEP\over\triangleDEP}={10+10\over12+甲}\Rightarrow甲=\bbox[red,2pt]{8}$$ 解：$$A-B-\cases{C\\D\\E\\F}\Rightarrow4個\triangle，\quadA-C-\cases{D\\E\\F}\Rightarrow3個\triangle,\quadB-C-\cases{D\\E\\F}\Rightarrow3個\triangle,\\B-D-\cases{E\\F}\Rightarrow2個\triangle,B-E-F\Rightarrow1個\triangle,C-D-\cases{E\\F}\Rightarrow2個\triangle,\\C-E-F\Rightarrow1個\triangle，因此共有4+3+3+2+1+2+1=\bbox[red,2pt]{16}個\triangle$$ 解： $$令\cases{小正方形邊長為a\\大正方形邊長為b}\Rightarrow\triangleCDE=9=a\overline{CE}\div2\Rightarrow\overline{CE}=18/a\\在直角\triangleABE\Rightarrow\overline{AE}^2=a^2+(a+\overline{CE})^2=a^2+(a+{18\overa})^2=(3\sqrt{10})^2=90\\\Rightarrow2a^2-54+{18^2\overa^2}=0\Rightarrow(a-{18\overa})(a-{9\overa})=0\Rightarrowa=\cases{3\\3\sqrt2}\Rightarrow\overline{CE}=\cases{6\\3\sqrt2}\\\Rightarrowb^2=a^2+\overline{CE}^2=\cases{3^2+6^2=45\\(3\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2=36}\Rightarrowb=\cases{3\sqrt5\\6}\\\Rightarrowa^2+b^2+2\times9=\cases{9+45+18\\18+36+18}=\bbox[red,2pt]{72}$$ 解： $$A\xrightarrow{1}C\xrightarrow{4}B\\A\xrightarrow{1}C\xrightarrow{1}D\xrightarrow{1}E\xrightarrow{2}B\\A\xrightarrow{1}C\xrightarrow{1}D\xrightarrow{1}F\xrightarrow{2}B\\A\xrightarrow{2}D\xrightarrow{1}E\xrightarrow{2}B\\A\xrightarrow{2}D\xrightarrow{1}F\xrightarrow{2}B\\A\xrightarrow{3}F\xrightarrow{2}B\\共\bbox[red,2pt]{6}種不同走法，時間均是5小時$$ 解： $$100(0)\to50(1)\equiv\cases{40(1)\to20(3)\\10(1)}\Rightarrow(a,b)=(3,1)\\100(0)\equiv\cases{20(0)\\80(0)\to40(1)\to20(3)\to10(7)}\Rightarrow(a,b)=(0,7)\\100(0)\equiv\cases{40(0)\to20(1)\\\cases{40(0)\to20(1)\\20(0)}\to20(2)\to10(5)}\Rightarrow(a,b)=(1,5)\\100(0)\equiv\cases{\cases{40(0)\to20(1)\\20(0)}\to20(2) \\40(0)\to20(1)\to10(3)}\Rightarrow(a,b)=(2,3)\\共有\bbox[red,2pt]{4}種組合$$ 解： $$(40+30)^2\pi-(40-30)^2\pi=\bbox[red,2pt]{4800}\pi$$ 解： $$N(x,y)代表在(x,y)的糖果數量，則\\0=N(0,0)=N(0,1-1)=N(1,0)\xrightarrow{a=0,b=0}N(0,1)=N(1,0)+1=1\\\xrightarrow{a=2}N(2,0)=N(0,1)=1\xrightarrow{a=1,b=0}N(1,1)=N(0,1)+1=2\xrightarrow{a=0,b=1}N(0,2)=N(1,1)+1=2\\\cdots見上圖，可得N(2,3)=\bbox[red,2pt]{13}$$ -END- 張貼者： C.-H.Chu 於 晚上9:37 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 特招, 國中數學 沒有留言: 張貼留言 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 標籤 319鄉 (3) 工程數學 (84) 公費留考 (1) 分科測驗 (1) 心得 (3) 目次 (7) 身障升大學 (19) 身障升四技 (40) 指考 (45) 研討會 (45) 科學班 (8) 海外遊 (30) 特招 (29) 高中數學 (285) 高普考 (130) 高職數學 (189) 國小數學 (2) 國中數學 (107) 國內遊 (54) 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