108年大學指考數學甲詳解 - 朱式幸福

108年大學指考數學甲詳解. 108學年度指定科目考試試題. 數學甲. 第壹部分：選擇題 一、單選題. 解：$$丟第一次的期望值：800\times ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2019年7月8日星期一 108年大學指考數學甲詳解 108學年度指定科目考試試題 數學甲 第壹部分：選擇題 一、單選題 解：$$丟第一次的期望值：800\times\frac{1}{4}+800\times\frac{1}{2}+400\times\frac{1}{4}=200+400+100=700\\丟第二次的期望值也是700，但需在第一次出現兩個正面(機率為1/4)，\\也就是第二次的期望值為700\times\frac{1}{4}=175\\總期望值為700+175=875，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$ 解： $$\frac{F_{13}}{F_{12}}=\frac{2^{2^{13}}+1}{2^{2^{12}}+1}\Rightarrow\log{\frac{F_{13}}{F_{12}}}=\log{\frac{2^{2^{13}}+1}{2^{2^{12}}+1}}\approx\log{\frac{2^{2^{13}}}{2^{2^{12}}}}=2^{13}\log{2}-2^{12}\log{2}\\=\left(2^{13}-2^{12}\right)\log{2}=2^{12}\log{2}=2^{12}\times0.301=4096\times0.301=1232.896，故選\bbox[red,2pt]{(5)}。

$$ 解： $$令塔高為h，A至塔底的距離為a=h\cot{14^o}，B至塔底的距離為b=h\cot{18^o30'}\\直角\triangleABC\Rightarrowa^2+b^2=65^2\Rightarrowh^2(\cot^2{14^o}+\cot^2{18^o30'}=65^2\Rightarrowh^2(4.01^2+2.99^2)\\\approxh^2(4^2+3^2)=25h^2=65^2\Rightarrowh=13\\離塔底越近仰角越大，C至直線\overline{AB}的距離x即為所求，即65x=ab\\\Rightarrow65x=h^2(4.01\times2.99)\approxh^2(4\times3)=13^2\times12\Rightarrowx=13\times12\div5=31.2，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$ 二、多選題 解： $$假設A=(7,0),B=(0,7/2)\\\left(1\right)經過A,B最小的圓就是以\overline{AB}為直徑的圓,\\半徑r=\frac{1}{2}\overline{AB}=\frac{1}{2}\sqrt{7^{2}+\left(7/2\right)^{2}}=\frac{7}{4}\sqrt{5}<4\\(2)圓心O=(A+B)/2=(7/2,7/4)\Rightarrow(x-7/2)^{2}+(y-7/4)^{2}=\frac{245}{16}\\(0,0)代入\Rightarrow(7/2)^{2}+(7/4)^{2}=\frac{49}{4}+\frac{49}{16}=\frac{245}{16}\Rightarrow(0,0)在圓上\\(3)該直線平行\overline{AB}，仍可能與圓不相交\\(4)\overline{AB}的中垂線:y-7/4=2(x-7/2)經過第四象限\Rightarrow圓心可在第四象限\\(5)圓心O(x,y)在中垂線上:y-7/4=2(x-7/2)\RightarrowO(x,2x-21/4)\\\Rightarrowr=\overline{OB}=\sqrt{x^{2}+(2x-35/4)^{2}}=\sqrt{5{\left(x-7/2\right) }^{2}+245/16}>\sqrt{5{\left(7/2\right) }^{2}+245/16}\\\Rightarrowr>\sqrt{5{\left(7/2\right) }^{2}+245/16}=35/4>8$$故選\(\bbox[red,2pt]{(2,5)}\)。

解： (1)\(\bigcirc:\)取出第一顆為紅球的機率為2/6=1/3、不是紅球的機率為2/3； 若取出第1球是紅球，第2球取出是紅球的機率為1/5、若取出第1球不是紅球，第2球取出是紅球的機率為2/5，因此取出第二球為紅球的機率為\(\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}+\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}=5/15=1/3\) (2)\(\times:\)第2次取出紅球的機與第1次是否取到紅球有相關，兩者不是獨立事件 (3)\(\times:\)取出第一顆為紅球，第二顆也能取白球或藍球，所以兩者不互斥 (4)\(\times:\)第一、二顆皆為紅球的機率為\(\frac{2}{6}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{15}\)；第一、二顆皆為白球的機率為\(\frac{3}{6}\times\frac{2}{5}=\frac{1}{5}\)；兩者不同 (5)\(\bigcirc:\)前三顆皆為白球的機率\(\frac{3}{6}\times\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{20}\)；前三顆為異色的機率\(3!\times\frac{3\times2\times1}{6\times5\times4}=\frac{3}{10}>\frac{1}{20}\)； 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,5)}\) 解：$$\left(1\right)\times:無法判定\\(2)\times:與\lim_{n\to\infty}{a_{n}}=4矛盾\\(3)\bigcirc:\left為遞增\Rightarrow\left為遞增\\(4)\bigcirc:\lim_{n\to\infty}{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}{a_{n+1}}=4\Rightarrow\lim_{n\to\infty}{b_{n}^{2}}=4(夾擊)\\(5)\times:\lim_{n\to\infty}{b_{n}}不一定存在，例:\cases{a_n=4-{1\overn}\\b_n=(-1)^n\sqrt{4-{1\overn+0.5}}\Rightarrowb_n^2=4-{1\overn+0.5}}\\\qquad，滿足\cases{a_n0\Rightarrowf''(0)>0\) (3)\(\bigcirc\):圖形在\(x=0\)，斜率是正數，即\(f'(0)>0\Rightarrowc>0\) (4)\(\times\):上圖只有一實根 (5)\(\bigcirc\):反曲點在上圖的A點處，其Y坐標為正；若a>0，反曲點仍在X軸之上 故選\(\bbox[red,2pt]{(2,3,5)}\) 解：$$(1)\bigcirc:\left|2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left|-4\overrightarrow{OC} \right|=4\left|\overrightarrow{OC} \right|=4\\(2)\times:\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA} \right|\left|\overrightarrow{OB} \right|\cos{\angleAOB}=\cos{\angleAOB}可能為正\\(3)\times:2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=0\Rightarrow2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=-4\overrightarrow{OC}\Rightarrow{\left(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right) }^{2}=16{\left|\overrightarrow{OC} \right| }^{2}\\\Rightarrow4{\left|\overrightarrow{OA} \right| }^{2}+9{\left|\overrightarrow{OB} \right| }^{2}+12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=16{\left|\overrightarrow{OC} \right| }^{2}\Rightarrow13+12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=16\\\Rightarrow\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{1}{4}=\left|\overrightarrow{OA} \right|\left|\overrightarrow{OB} \right|\cos{\angleAOB}=\cos{\angleAOB}\Rightarrow\cos{\angleAOB}=\frac{1}{4}\\同理可得\cos{\angleBOC}=-\frac{7}{8},\cos{\angleAOC}=-\frac{11}{16}\Rightarrow\angleBOC>\angleAOC>\angleAOB\\(4)\times:\cos{\angleAOB}=\frac{{\overline{OA} }^{2}+{\overline{OB} }^{2}-{\overline{AB} }^{2}}{2\cdot{\overline{OA} }\cdot{\overline{OB} }}\Rightarrow\frac{1}{4}=\frac{2-{\overline{AB} }^{2}}{2}\Rightarrow{\overline{AB} }^{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow{\overline{AB} }a)\\b=4/3\end{cases}\Rightarrow(a,b)=\left(\bbox[red,2pt]{\frac{1}{3},\frac{4}{3}} \right) $$ 解： $$z=a+bi\Rightarrowz+5-2\sqrt{3}i=\left(a+5\right)+\left(b-2\sqrt{3} \right)i\\令\begin{cases}A=(a,b)\\B=(a+5,b-2\sqrt{3})\\O=(0,0)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\overline{OA}=\overline{OB} \\\angleAOB=120°\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a^{2}+b^{2}=(a+5)^{2}+(b-2\sqrt{3})^{2}\\\overline{AB}=\sqrt{3}\cdot\overline{OB} \end{cases}\\\Rightarrow\begin{cases}a^{2}+b^{2}=(a+5)^{2}+(b-2\sqrt{3})^{2}\\5^{2}+(2\sqrt{3})^{2}=3\cdot\left(a^{2}+b^{2}\right) \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=\left(10a+37\right)/4\sqrt{3} \\a^{2}+b^{2}=37/3\end{cases}\\\Rightarrowa^{2}+\frac{\left(10a+37\right)^{2}}{48}=37/3\Rightarrow48a^{2}+\left(10a+37\right)^{2}=592\Rightarrow148a^{2}+740a+777=0\\\Rightarrow4a^2+20a+21=0\Rightarrow(2a+7)(2a+3)=0\Rightarrow\begin{cases}a=-\frac{7}{2}\\a=-\frac{3}{2}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=\frac{1}{2\sqrt{3}}\\b=\frac{11}{2\sqrt{3}}\end{cases}\\\Rightarrow\begin{cases}A=(-\frac{7}{2},\frac{1}{2\sqrt{3}}),B=(\frac{3}{2},-\frac{11\sqrt{3}}{6})\\A=(-\frac{3}{2},\frac{11}{2\sqrt{3}}),B=(\frac{7}{2},-\frac{\sqrt{3}}{6})(逆時針)\end{cases}\Rightarrowz的實部為a=\bbox[red,2pt]{-\frac{7}{2}}$$ 第貳部分：非選擇題 解： (1)$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{OP}\right|\cos{\angleAOP}=\sqrt{1+2+1}\cdot2\cdot\frac{1}{2}=\bbox[red,2pt]{2}$$ (2)$$假設P=(x,y,z)\Rightarrow\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}=2\Rightarrow(x,y,z)\cdot(1,\sqrt{2},1)=x+\sqrt{2}y+z=2\\\RightarrowE:\bbox[red,2pt]{x+\sqrt{2}y+z=2}$$ (3)$$令\vec{u}=\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=(1,\sqrt{2},1)\times(2,0,0)=(0,2,-2\sqrt{2})\\\Rightarrow該直線方向向量即為\vec{u}=\bbox[red,2pt]{(0,2,-2\sqrt{2})}$$ (4)$$Q=(x,y,z)\Rightarrow\begin{cases}\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}=2\cdot2\cdot\cos{60^o}=2\\\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OB}=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+\sqrt{2}y+z=2\\2x=2\Rightarrowx=1\end{cases}\\任找一點符合以上兩式,如(1,0,1)，再由直線向量(0,2,-2\sqrt{2})可得Q=(1,2t,-2\sqrt{2}t+1)\\\Rightarrow|\overrightarrow{OQ}|=2\Rightarrow\sqrt{1+4t^2+1-4\sqrt{2}t+8t^2}=2\Rightarrow6t^2-4\sqrt{2}t-2=0\\\Rightarrow\begin{cases}t={\sqrt{2}\over2}\\t={-\sqrt{2}\over6}\end{cases}\Rightarrow\bbox[red,2pt]{\begin{cases}Q=(1,\sqrt{2},-1)\\Q=(1,-{\sqrt{2}\over3},{5\over3})\end{cases}}$$ 解： (1)$$xf(x)=3x^4-2x^3+x^2+\int_1^x{f(t)\,dt}\Rightarrow1\cdotf(1)=3-2+1+0\Rightarrowf(1)=\bbox[red,2pt]{2}$$(2)$$xf(x)=3x^4-2x^3+x^2+\int_1^x{f(t)\,dt}\Rightarrowf(x)+xf'(x)=12x^3-6x^2+2x+f(x)\\\Rightarrowf'(x)=(12x^3-6x^2+2x)/x=\bbox[red,2pt]{12x^2-6x+2}$$(3)$$f(x)=\int{f'(x)\,dx}=\int{12x^2-6x+2\,dx}=4x^3-3x^2+2x+C\\由f(1)=2\Rightarrow4-3+2+C=2\RightarrowC=-1\Rightarrowf(x)=\bbox[red,2pt]{4x^3-3x^2+2x-1}$$(4)$$令g(a)=\int_0^a{f(x)\,dx}=\int_0^a{4x^3-3x^2+2x-1\,dx}=\left.\left[x^4-x^3+x^2-x\right]\right|_0^a\\=a^4-a^3+a^2-a=a^3(a-1)+a(a-1)=(a^3+1)(a-1)\Rightarrowg(1)=0\\\Rightarrowg'(a)=f(a)=4a^3-3a^2+2a-1=4a\left(a^2-\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}\right)-1\\=4a\left[\left(a-\frac{3}{8}\right)^2+\frac{1}{2}-\frac{9}{64}\right]-1=4a\left[\left(a-\frac{3}{8}\right)^2+\frac{23}{64}\right]-1\\\Rightarrowg'(1)=4\left(\frac{48}{64}\right)-1>0且g'(a)>0對a\ge1\\也就是說對a\ge1，g(a)為嚴格遞增，即g(m)1，使用g(a)=1，即\int_0^a{fx)\,dx}=1$$ --END  (僅供參考) -- 張貼者： C.-H.Chu 於 下午3:18 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 指考, 高中數學 2則留言: Hi2021年6月29日下午2:43第六題的選項5舉例那邊的(b_{n})^{2}=4-\frac{1}{n+0.5}打錯了回覆刪除回覆C.-H.Chu2021年6月30日上午9:251→4,已修訂,謝謝!刪除回覆回覆回覆新增留言載入更多… 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 標籤 319鄉 (3) 工程數學 (70) 公費留考 (1) 心得 (3) 目次 (7) 身障升大學 (19) 身障升四技 (40) 指考 (43) 研討會 (45) 科學班 (6) 海外遊 (30) 特招 (26) 高中數學 (261) 高普考 (122) 高職數學 (186) 國小數學 (2) 國中數學 (103) 國內遊 (54) 基測 (24) 教甄 (92) 教檢 (2) 單車 (39) 統計 (50) 統測 (79) 微分方程 (9) 微積分 (35) 會考 (13) 路跑 (11) 運動績優 (16) 電腦管理 (22) 臺澎金馬 (6) 論文徵稿 (2) 學力鑑定 (40) 學測 (15) 應用數學 (2) 轉學考 (41) 警專 (26) DIY (59) GeoGebra (5) GIMP (1) LaTex (5) matlab (18) octave (25) python (8) R (1) Scratch程式設計 (7) 熱門文章 110年國中教育會考-數學詳解 109年國中教育會考數學詳解 108年國中教育會考數學詳解 105年國中教育會考數學詳解 106年國中教育會考數學詳解 網誌存檔 ►  2022 (50) ►  四月 (1) ►  三月 (13) ►  二月 (26) ►  一月 (10) ►  2021 (137) ►  十二月 (20) ►  十一月 (13) ►  十月 (4) ►  九月 (7) ►  八月 (15) ►  七月 (11) ►  六月 (14) ►  五月 (16) ►  四月 (4) ►  三月 (17) ►  二月 (7) ►  一月 (9) ►  2020 (130) ►  十二月 (11) ►  十一月 (11) ►  十月 (8) ►  九月 (5) ►  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