為何要假設為y=ax+b呢？ @ isdp2008am - 隨意窩

只要透過(2)－(1)×a，就可得出y－ax＝b，也就是y＝ax＋b，筆者認為這便是此公式的由來。

此時只要有兩組(x,y)的座標值，就可以解出a,b之值。

如何，是不是很 ... isdp2008am[交大理學院學士班數學小站]提供對數學有興趣的學生們課堂之外的線上學習園地，本網誌的內容走向希望朝向[數學理論]與[數學應用]兼備，成立目標是希望對數學有興趣的學生們可以在此吸收更多數學相關知識，達成跨領域學習的成效。

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)日誌相簿影音好友名片 201107261510為何要假設為y=ax+b呢？?幾何學   我們知道，在國中時學習直線方程式時，相信大家都曾解過一種題目，就是在已知某直線過兩點的條件下，求出該直線的方程式。

而不難理解的是，只要這兩點的x座標不同，就不會連成一條鉛垂線。

此時，我們常常把直線方程式假設為y＝ax＋b。

但是，這個公式的由來為何呢？本文將加以介紹。

   首先，我們先約定一件事情。

就是所有的直線都具有兩種特性：往某個方向與其反方向的兩端無窮延伸、而且不會轉彎。

在這樣子的直線特性下，我們可以找出四種類型的直線：(1)向上、下方向延伸的直線，也稱鉛直線；(2)向左、右方向延伸的直線，也稱水平線；(3)向左下、右上方向延伸的直線；(4)向右下、左上方向延伸的直線。

由我們的直覺來看，在這四種類型的直線中，除了第一種的鉛直線之外，其餘三種「非鉛直線」都會「恰好」與y軸交於一點。

這三類的直線有個特性，就是都可以假設為y=ax+b。

   但為什麼呢？我們可以假設非鉛直的直線與y軸交於P(0,b)這一點，而上一段所說的那三類[非鉛直]的直線，我們只看其中一類，因為其餘兩類其想法均類似。

請看下圖： 圖1 上圖中，過P(0,b)的直線L的走向為左下往右上(第一類)，它是我們有興趣的直線，我們想知道它的方程式應如何假設。

    首先，我們過P作一條水平線M，並在M上取一點Q滿足PQ=1，並過Q作鉛直線設交L於R點，此時我們假設QR=a。

接下來，假設在直線L上有任意點T，那麼，T的座標要如何表示呢？首先，我們過T作鉛直線交水平線M於S。

假設S點滿足PS=t，則S與T的x座標均為t，且S的座標為(t,b)。

此時，因為△PRQ與△PTS為相似三角形(AA相似，都有直角且角RPQ=角TPS)，所以可得PQ：RQ=PS：TS，即1:a=t:TS，因此線段TS＝a*t，於是可得T座標為(t,at+b)。

    又因為T是L上的任意點，假設T的座標為(x,y)，而所謂L的直線方程式，就是要把L上的任意點T的座標中x與y兩者的關係表示出來的數學式。

由上一段可知T(x,y)=T(t,at+b)，所以有下面結果： 只要透過(2)－(1)×a，就可得出y－ax＝b，也就是y＝ax＋b，筆者認為這便是此公式的由來。

此時只要有兩組(x,y)的座標值，就可以解出a,b之值。

如何，是不是很妙呢？     如果直線所過的兩已知點的x座標相同時，比如說是P(a,b)與Q(a,c)這兩點，b不等於c，那麼直線方程式又要如何假設呢？其實此時不必假設，其方程式就是x=a。

至於為何是x=a呢？我想，大家不妨動動腦筋想想看喔。

============(三年後...)=============    因為P(a,b)與Q(a,c)的連線是鉛直線，在此直線上若有動點T，則T只能上下移動(x座標恆為a)，因此T的座標可設為T(x,y)=(a,t)，t可為任意實數，如下圖：  圖2 T(x,y)的兩個座標x,y滿足 注意，因為圖中的點T(a,t)可任意上下移動到任何位置，因此可知t可以取任意實數。

第一個解釋方式是，我們如果想找出常數p,q,r滿足關係式 其中p,q不同時為0，則由(3),(4)式可知 因為pa與r是常數，所以qt=r−pa也必須是常數，因此唯一的方法就是取q=0(這樣才能將"會變化"的t消去)。

還有另外一種解釋方式，如果q不是0，則可由 qt=r−pa 推導出 注意(7)左式的t是個可以取值為任意實數的變數，但右式的(r−pa)/q是個常數，這不合，因為t只要取異於(r−pa)/q的數時，就發生不合。

因此q必須是0。

    把 q=0 代入(6)得 pa=r，將r=pa與q=0代入(5)，知鉛直線方程式為 因p,q不能同時為0，知p非零，消去p得x=a，此即所求的鉛直線方程式。

值得一提的是，方程式為x=a的這一類直線，也是坐標平面上唯一一類無法寫成y=ax+b的方程式。

  (本文作者：連威翔，曾任職於交大理學院科學學士班)isdp2008am/Xuite日誌/回應(2)/引用(0)沒有上一則|日誌首頁|沒有下一則回應 加我為好友日誌相簿影音 我的相簿 isdp2008am's新文章有用連結UsefulLinks關於雙週一題各學年度第一學期第一題的公布日期一道不等式問題的另解一道組合問題的遞迴解法一定要求出與正弦或餘弦相關的三角比數值嗎？一道高中數學競賽筆試問題的另解一道共線問題的再探一道徵答題的解法分享(雙週一題2022春季第7題)Anothersolutiontoanalgebraproblem一道線性方程組問題的推廣與另解一道排列組合問題的另解(JEE) 全部展開|全部收合 關鍵字 isdp2008am's新回應沒有新回應！