力矩- 维基百科，自由的百科全书

磅。

力矩的表示符号是希腊字母 ... 力矩 語言 監視 編輯 在物理學裏，作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向，[1]稱為力矩（英語：torque或moment），也就是扭轉的力。

轉動力矩又稱為轉矩。

力矩能夠使物體改變其旋轉運動。

推擠或拖拉涉及到作用力 ，而扭轉則涉及到力矩。

如圖右，力矩 τ {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}\,\!} 等於徑向向量 r {\displaystyle\mathbf{r}\,\!} 與作用力 F {\displaystyle\mathbf{F}\,\!} 的外積。

在一個旋轉系統裏，作用力 F {\displaystyle\mathbf{F}\,\!} 、位置向量 r {\displaystyle\mathbf{r}\,\!} 、力矩 τ {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}\,\!} 、動量 p {\displaystyle\mathbf{p}\,\!} 、角動量 L {\displaystyle\mathbf{L}\,\!} ，這些物理量之間的關係。

簡略地說，力矩是一種施加於好像螺栓或飛輪一類的物體的扭轉力。

例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

根據國際單位制，力矩的單位是牛頓 ⋅ {\displaystyle\cdot} 米。

本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制單位，力矩的單位則是英尺 ⋅ {\displaystyle\cdot} 磅。

力矩的表示符號是希臘字母 τ {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}\,\!} ，或 M {\displaystyle\mathbf{M}\,\!} 。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力 F {\displaystyle\mathbf{F}\,\!} 、從轉軸到施力點的位移向量 r {\displaystyle\mathbf{r}\,\!} 、兩個向量之間的夾角 θ {\displaystyle\theta\,\!} 。

力矩 τ {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}\,\!} 以向量方程式表示為 τ = r × F {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}\,\!} 。

力矩的大小為 τ = r F sin ⁡ θ {\displaystyle\tau=rF\sin\theta\,\!} 。

目次 1定義 2力矩與角動量之間的關係 3單位 4矩臂方程式 5靜力概念 6力矩、能量和功率之間的關係 7力矩原理 8參閱 9參考文獻 10外部連結 定義編輯  用右手定則決定力矩方向 力矩等於作用於槓桿的作用力乘以支點到力的垂直距離。

例如，3牛頓的作用力，施加於離支點2米處，所產生的力矩，等於1牛頓的作用力，施加於離支點6米處，所產生的力矩。

力矩是個向量。

力矩的方向與它所造成的旋轉運動的旋轉軸同方向。

力矩的方向可以用右手定則來決定。

假設作用力垂直於槓桿。

將右手往槓桿的旋轉方向彎捲，伸直的大拇指與支點的旋轉軸同直線，則大拇指指向力矩的方向[2]。

 假設作用力 F {\displaystyle\mathbf{F}\,\!}  施加於位置為 r {\displaystyle\mathbf{r}\,\!}  的粒子。

選擇原點（以紅點表示）為參考點，只有垂直分量 F ⊥ {\displaystyleF_{\perp}\,\!}  會產生力矩。

這力矩 τ = r × F {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}\,\!}  的大小為 τ = | r | | F ⊥ | = | r | | F | sin ⁡ θ {\displaystyle\tau=|\mathbf{r}||\mathbf{F}_{\perp}|=|\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!}  ，方向為垂直於屏幕向外。

更一般地，如圖右，假設作用力 F {\displaystyle\mathbf{F}\,\!}  施加於位置為 r {\displaystyle\mathbf{r}\,\!}  的粒子。

選擇原點為參考點，力矩 τ {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}\,\!}  以方程式定義為 τ   = d e f   r × F {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}\{\stackrel{def}{=}}\\mathbf{r}\times\mathbf{F}\,\!}  。

力矩大小為 τ = | r | | F | sin ⁡ θ {\displaystyle\tau=|\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!}  ；其中， θ {\displaystyle\theta\,\!}  是兩個向量 F {\displaystyle\mathbf{F}\,\!}  與 r {\displaystyle\mathbf{r}\,\!}  之間的夾角。

力矩大小也可以表示為 τ = r F ⊥ {\displaystyle\tau=rF_{\perp}\,\!}  ；其中， F ⊥ {\displaystyleF_{\perp}\,\!}  是作用力 F {\displaystyle\mathbf{F}\,\!}  對於 r {\displaystyle\mathbf{r}\,\!}  的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量 r {\displaystyle\mathbf{r}\,\!}  和作用力 F {\displaystyle\mathbf{F}\,\!}  。

力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

力矩與角動量之間的關係編輯  地心重力 F g {\displaystyle\mathbf{F_{g}}\,\!}  的力矩造成角動量 L {\displaystyle\mathbf{L}\,\!}  的改變。

因此，陀螺呈現進動現象。

假設一個粒子的位置為 r {\displaystyle\mathbf{r}\,\!}  ，動量為 p {\displaystyle\mathbf{p}\,\!}  。

選擇原點為參考點，此粒子的角動量 L {\displaystyle\mathbf{L}\,\!}  為 L = r × p {\displaystyle\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\,\!}  。

粒子的角動量對於時間的導數為 d L d t = d r d t × p + r × d p d t = v × m v + r × m d v d t = r × m a {\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{d\mathbf{L}}{dt}}&={\frac{d\mathbf{r}}{dt}}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times{\frac{d\mathbf{p}}{dt}}\\&=\mathbf{v}\timesm\mathbf{v}+\mathbf{r}\timesm{\frac{d\mathbf{v}}{dt}}\\&=\mathbf{r}\timesm\mathbf{a}\\\end{aligned}}\,\!}  ；其中， m {\displaystylem\,\!}  是質量， v {\displaystyle\mathbf{v}\,\!}  是速度， a {\displaystyle\mathbf{a}\,\!}  是加速度。

應用牛頓第二定律， F = m a {\displaystyle\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,\!}  ，可以得到 d L d t = r × F {\displaystyle{\frac{d\mathbf{L}}{dt}}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}\,\!}  。

按照力矩的定義， τ   = d e f   r × F {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}\{\stackrel{def}{=}}\\mathbf{r}\times\mathbf{F}\,\!}  ，所以， τ = d L d t {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}={\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}}\,\!}  。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量 L {\displaystyle\mathbf{L}\,\!}  對於時間 t {\displaystylet\,\!}  的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的淨力矩 τ n e t {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}_{\mathrm{net}}\,\!}  共同決定角動量的對於時間的變化： τ 1 + ⋯ + τ n = τ n e t = d L d t {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}_{1}+\cdots+{\boldsymbol{\tau}}_{n}={\boldsymbol{\tau}}_{\mathrm{net}}={\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}}\,\!}  。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動， L = I ω {\displaystyle\mathbf{L}=I{\boldsymbol{\omega}}\,\!}  ；其中， I {\displaystyleI\,\!}  是物體對於固定軸的轉動慣量， ω {\displaystyle{\boldsymbol{\omega}}\,\!}  是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數： τ n e t = d L d t = d ( I ω ) d t = I d ω d t = I α {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}_{\mathrm{net}}={\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}}={\frac{\mathrm{d}(I{\boldsymbol{\omega}})}{\mathrm{d}t}}=I{\frac{\mathrm{d}{\boldsymbol{\omega}}}{\mathrm{d}t}}=I{\boldsymbol{\alpha}}\,\!}  ；其中， α {\displaystyle{\boldsymbol{\alpha}}\,\!}  是物體的角加速度。

單位編輯 力矩的定義是距離乘以作用力。

根據國際單位制，力矩的單位是牛頓 ⋅ {\displaystyle\cdot}  米[3]（Nm）。

雖然牛頓與米的次序，在數學上，是可以交換的，但是國際重量測量局（BureauInternationaldesPoidsetMesures）規定這次序應是牛頓 ⋅ {\displaystyle\cdot}  米，而不是米 ⋅ {\displaystyle\cdot}  牛頓[4]。

根據國際單位制，能量與功量的單位是焦耳，定義為1牛頓 ⋅ {\displaystyle\cdot}  米。

但是，焦耳不是力矩的單位。

因為，能量是力點積距離的純量；而力矩是距離叉積作用力的向量。

當然，因次相同並不儘是巧合，使1牛頓 ⋅ {\displaystyle\cdot}  米的力矩，作用1全轉，需要恰巧 2 π {\displaystyle2\pi\,\!}  焦耳的能量： E = τ θ {\displaystyleE=\tau\theta\,\!}  。

其中， E {\displaystyleE\,\!}  是能量， θ {\displaystyle\theta\,\!}  是移動的角度，單位是弧度。

根據英制，力矩的單位是英尺 ⋅ {\displaystyle\cdot}  磅。

矩臂方程式編輯  矩臂圖 在物理學外，其他的學術界裡，力矩時常會如以下定義： τ = ( momentarm ) ⋅ force {\displaystyle{\boldsymbol{\tau}}=({\text{momentarm}})\cdot{\textrm{force}}\,\!}  。

右圖顯示出矩臂（momentarm）、前面所提及的相對位置 r {\displaystyle\mathbf{r}\,\!}  、作用力 F {\displaystyle\mathbf{F}\,\!}  （force）。

這個定義並沒有指出力矩的方向，只有力矩的大小。

所以，並不適用於三維空間問題。

靜力概念編輯 當一個物體在靜態平衡時，淨力是零，對任何一點的淨力矩也是零。

二維空間的平衡要求是 ∑ F x = 0 {\displaystyle\sumF_{x}=0\,\!}  ， ∑ F y = 0 {\displaystyle\sumF_{y}=0\,\!}  ， ∑ τ = 0 {\displaystyle\sum\tau=0\,\!}  。

這裡， F x ,   F y {\displaystyleF_{x},\F_{y}\,\!}  是作用力 F {\displaystyle\mathbf{F}\,\!}  分別在x-軸與y-軸的分量。

假若，這三個聯立方程式有解，則稱此系統為靜定系統；不然，則稱為靜不定系統。

力矩、能量和功率之間的關係編輯 假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。

類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。

對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達， W = ∫ θ 1 θ 2 τ   d θ {\displaystyleW=\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\tau\\mathrm{d}\theta\,\!}  ；其中， W {\displaystyleW\,\!}  是機械功， θ 1 {\displaystyle\theta_{1}\,\!}  、 θ 2 {\displaystyle\theta_{2}\,\!}  分別是初始角和終結角， d θ {\displaystyle\mathrm{d}\theta\,\!}  是無窮小角位移元素。

根據功能定理， W {\displaystyleW\,\!}  也代表物體的旋轉動能 K r o t {\displaystyleK_{\mathrm{rot}}\,\!}  的改變，以方程式表達， K r o t = 1 2 I ω 2 {\displaystyleK_{\mathrm{rot}}={\tfrac{1}{2}}I\omega^{2}\,\!}  。

功率是單位時間內所做的機械功。

對於旋轉運動，功率 P {\displaystyleP\,\!}  以方程式表達為 P = τ ⋅ ω {\displaystyleP={\boldsymbol{\tau}}\cdot{\boldsymbol{\omega}}\,\!}  。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。

發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。

採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。

力矩原理編輯 力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的淨力所產生的力矩。

力矩原理又名伐里農定理(Varignon'stheorem)[5]（以法國科學家兼神父皮埃爾·伐里農命名），以方程式表達， ( r × F 1 ) + ( r × F 2 ) + ⋯ = r × ( F 1 + F 2 + ⋯ ) {\displaystyle(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_{1})+(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_{2})+\cdots=\mathbf{r}\times(\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\cdots)\,\!}  。

參閱編輯 馬力 扭力轉換器 剛體動力學 機械平衡（mechanicalequilibrium） 扭矩扳手（torquewrench）參考文獻編輯 ^Serway,R.A.andJewett,Jr.J.W.(2003).PhysicsforScientistsandEngineers.6thEd.BrooksCole.ISBN978-0-534-40842-8. ^*喬治亞州州立大學（GeorgiaStateUniversity）線上物理網頁：力矩的右手定則,[2007-09-08],（原始內容存檔於2007-08-19）  ^SIbrochureEd.8,Section5.1,BureauInternationaldesPoidsetMesures,2006[2007-04-01],（原始內容存檔於2007-05-19）  ^SIbrochureEd.8,Section2.2.2,BureauInternationaldesPoidsetMesures,2006[2007-04-01],（原始內容存檔於2005-03-16）  ^EngineeringMechanics:Equilibrium,byC.Hartsuijker,J.W.Welleman,page64 Tipler,Paul.PhysicsforScientistsandEngineers:Mechanics,OscillationsandWaves,Thermodynamics(5thed.).W.H.Freeman.2004.ISBN978-0-7167-0809-4. 外部連結編輯 模擬力矩平衡的Java小程式（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） TorqueandAngularMomentuminCircularMotion（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）onProjectPHYSNET（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. TorqueUnitConverter（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=力矩&oldid=72568812」