高中物理(二上): Chap 3-1 力的量度 - 科學園

b. 靜力學(statics)：探討物體受力後保持靜止不動、或維持等速度運動的平衡狀態。

c. 動力學(dynamics) ：引入力和質量這二個物理量，討論引起運動的原因、運動的本質及 ... 高中物理(二上) 登入 科學園->高中物理(二上)->Chap3-1力的量度   Chap3-1力的量度 Chap3-1-1力的量度 一、力學簡介 1.力學(mechanics)：(以高中教學範圍為限)(1)質點與剛體力學：　a.運動學(kinematics)：研究物體運動狀態的描述，而不涉及運動的本質，或使物體運動發生的原因。

　b.靜力學(statics)：探討物體受力後保持靜止不動、或維持等速度運動的平衡狀態。

　c.動力學(dynamics)：引入力和質量這二個物理量，討論引起運動的原因、運動的本質及影響運動的各種因素。

(2)流體力學(hydromechanics,orfluidmechanics)。

【補充】力學的分支 2.古典物理的範圍：日常生活中可見的事件。

(1)常觀的、或巨觀的(macroview,ormacroscopicpointofview)大件物體。

(2)運動速率遠小於光速。

3.古典力學中討論質點(particle)及剛體(rigidbody)的問題：(1)給予已知其特性（如質量、電荷、磁性等）的質點。

(2)置於一可完全描述的環境（如重力場、電場、磁場）中，已知質點的位置、初速度。

(3)討論質點的運動性質。

二、力的認識 1.力產生的效應：(1)能使物體的形狀發生改變。

(2)能使物體的運動狀態發生改變，即能使物體獲得加速度。

2.力(force)的概念定義：(1)力是一個物體對另一物體的一種交互作用(action)。

【說明】作用為不可見。

　　　　作用的效應或結果為可見。

(2)一物體對另一物體產生推(push)或拉(pull)的作用，稱為力。

(3)使物體產生形狀改變的作用，稱為力。

(4)使物體運動狀態發生改變的作用，即能使物體獲得加速度的作用，稱為力。

3.力的三要素：(1)大小：即力的量值，以有向線段的長短表示。

(2)方向：即力的作用線，以有向線段的箭頭指向表示。

(3)施力點：或稱著力點、作用點，以有向線段的起點表示。

4.力的合成與分解：(1)力為向量，以「有向線段，或指向線段」表示。

(2)力的合成與分解依向量運算法則：　a.合成的結果稱為合力(resultantforce)或淨力(netforce)。

　b.分解的結果稱為分力(componentforce)。

(3)常見的分解法1：水平x軸分量和鉛直y軸分量。

　a.$\vec{F\;}\,=\,\vec{F\;}_x\,+\,\vec{F\;}_y\,=\,F\,_x\;\hat{i}\,+\,F\,_y\;\hat{j}\,=\,(F\,_x\;,\;F\,_y\;)$　b.$F\,_x\,=\,F\,\cos\,\theta\;$　　$F\,_y\,=\,F\,\sin\,\theta\;$　c.$F\,=\,\sqrt{F\,_x\,^2\,+\,F\,_y\,^2}\;\;;\;\;\tan\,\theta\,=\,\frac{F\,_y}{F\,_x}\quad\Rightarrow\quad\theta\,=\,\tan\,^{-\,1}\,\frac{F\,_y}{F\,_x}$　　 (4)常見的分解法2：平行x軸分量和垂直y軸分量。

　a.水平與鉛直、平行與垂直是不同的，例如斜面問題中，x軸平行於斜面、y軸垂直於斜面。

　b.$m\,\vec{g\;}\,=\,m\,\vec{g\;}\,_x\,+\,m\,\vec{g\;}\,_y$　c.$mg\,_x\,=\,mg\,\sin\,\theta\;$　　$mg\,_y\,=\,mg\,\cos\,\theta\;$　　 (5)常見的分解法3：切線(tangentline)分量和法線(normalline)分量。

　a.瞬時速度的方向在運動路徑的切線方向，法線則與切線垂直。

　b.$\vec{F\;}\,=\,\vec{F\;}_t\,+\,\vec{F\;}_n$　c.$F\,_t\,=\,F\,\cos\,\theta\;$　$F\,_n\,=\,F\,\sin\,\theta\;$　d.$F\,=\,\sqrt{F\,_t\,^2\,+\,F\,_n\,^2}\;\;;\;\;\tan\,\theta\,=\,\frac{F\,_n}{F\,_t}\quad\Rightarrow\quad\theta\,=\,\tan\,^{-\,1}\,\frac{F\,_n}{F\,_t}$　　 三、力的分類 1.實際力與假想力：(1)實際力(realforce)：施力者與受力者皆存在，力藉著介質或場的作用而傳遞，又稱真實力。

　a.接觸力(contactforce)：施力者與受力者需相互接觸，才能產生力的作用，如摩擦力、浮力等。

　b.非接觸力：施力者與受力者不需相互接觸，力可超越空間而傳遞，具有超距作用(actioninadistance)，又稱場力(fieldforce)，如萬有引力(重力)、電力、磁力、核力等。

【註】　(a)場力藉著場的傳遞進行交互作用，而場的傳遞速度以光速為極限，但傳統上多稱為超距力。

　(b)依據近代物理學的知識，自然界僅有四種不同性質的力。

核力(強交互作用)與弱交互作用僅在學習原子核物理時才出現；大多數日常的物理應用僅與電磁力與重力有關。

　(c)表： 力的種類 力的來源 相對強度(於短距離) 範圍 重　力 質量 ~$10^{-38}$ 長 弱交互作用 所有基本粒子 ~$10^{-15}$ 短 電磁力 所有含電荷的物體 ~$10^{-2}$ 長 強交互作用 質子、中子、介子等 1 短 　(d)近代有人宣稱發現第五種力的存在，但仍未證實。

(2)假想力(fictitiousforce)：僅有受力者的存在，在加速度坐標系中為了解釋慣性運動物體的加速度現象，以便符合牛頓運動定律而引入的慣性力(inertialforce)，又稱虛力(phonyforce)、虛擬力(virtualforce)，如離心力（國中以前談論離心力，但高中之後則只談論向心力）等。

2.內力與外力：(1)外力：系統外界對系統整體或系統內某一部份的作用力，外力能使系統的質心（質量中心）獲得加速度，即能使系統的運動狀態發生改變。

(2)內力：質點系統內某一部份對另一部份的作用力，內力不能使系統的質心獲得加速度，即不能使系統的運動狀態發生改變。

【註】其他的分類還有作用力與反作用力、牛頓力與非牛頓力、保守力與非保守力等，將在適當章節介紹。

四、力的單位 1.因次：$[\,F\,]\,=\,[\,ma\,]\,=\,M\frac{L}{T\,^2}\,=\,LMT^{-2}$ 2.單位： 單位制 絕對單位 重力單位 SI 牛頓N 公斤重kgw MKS 牛頓nt 公斤重kgw CGS 達因dyne 公克重gw FPS 磅達$pd\ell$(poundal) 磅(磅力)$\ellb$ 3.操作型定義：(1)由$F\,=\,ma$定義：　a.1牛頓：使質量為1公斤的物體獲得1公尺/秒2的加速度時，所需的作用力稱為1牛頓。

　　$1\,kg\,\times1\,m/s^2\,=\,1\,kg-m/s^2\,=\,1\,N$　b.1達因：使質量為1公克的物體獲得1公分/秒2的加速度時，所需的作用力稱為1達因。

　　$1\,g\,\times1\,cm/s^2\,=\,1\,g-cm/s^2\,=\,1\,dyne$　c.單位換算：　　$1\,N\,=\,10^5\,dyne$ 【補充教材】英制單位的力　(a)1磅達：使質量為1磅的物體獲得1英尺/秒2的加速度時，所需的作用力稱為1磅達。

　　$1\,\ellb-mass\,\times1\,ft/s^2\,=\,1\,\ellb-ft/s^2\,=\,1\,pd\ell$　(b)1磅力：使質量為1斯勒格的物體獲得1英尺/秒2的加速度時，所需的作用力稱為1磅力，現多不再使用。

　　　$1\,slug\,\times1\,ft/s^2\,=\,1\,slug-ft/s^2\,=\,1\,\ellb-force$ (2)由$W\,=\,mg$定義：　a.地表重力加速度：$g\,=\,9.8\,m/s^2\,=\,980\,cm/s^2$　b.1公斤重：質量為1公斤的物體，在地表重力場的重量稱為1公斤重。

　　$1\,kgw\,=\,1\,kg\,\times\,9.8\,m/s^2\,=\,9.8\,kg-m/s^2\,=\,9.8\,N$　c.1公克重：質量為1公克的物體，在地表重力場的重量稱為1公克重。

　　$1\,gw\,=\,1\,g\,\times\,980\,cm/s^2\,=\,980\,g-cm/s^2\,=\,980\,dyne$ Chap3-1-2　常見的一些力 一、假想力 1.假想力：在加速度坐標系中引入的慣性力。

2.在慣性坐標系（即靜止坐標系及等速度坐標系）中，牛頓定律恆能成立；在加速度坐標系中，牛頓定律不一定會成立。

(1)車靜止於地面時：　a.單擺的擺錘靜止於鉛垂線上。

　b.地面為靜止坐標系；車為靜止坐標系。

　c.對地面的觀察者而言：　　(a)擺錘m保持靜止，即：　　　　$v\,=\,0$　　　$\Delta\,v\,=\,0\quad\Rightarrow\quada\,=\,0$　　(b)擺錘m受力：　　　$\Sigma\,F\,=\,T\,-\,mg\,=\,0$　　(c)牛頓定律$\Sigma\,F\,=\,ma$能成立。

　d.對車內的觀察者而言：　　(a)擺錘m保持相對靜止，即：　　　　$v\,=\,0$　　　$\Delta\,v\,=\,0\quad\Rightarrow\quada\,=\,0$　　(b)擺錘m受力：　　　$\Sigma\,F\,=\,T\,-\,mg\,=\,0$　　(c)牛頓定律$\Sigma\,F\,=\,ma$能成立。

（圖） (2)車等速前進時：　a.單擺的擺錘於鉛垂線上，隨車等速前進。

　b.地面為靜止坐標系；車為等速度坐標系。

　c.對地面的觀察者而言：　　(a)擺錘m隨車前進，保持等速運動，即：　　　　$v\,=$定值　　　$\Delta\,v\,=\,0\quad\Rightarrow\quada\,=\,0$　　(b)擺錘m受力：　　　$\Sigma\,F\,=\,T\,-\,mg\,=\,0$　　(c)牛頓定律$\Sigma\,F\,=\,ma$能成立。

　d.對車內的觀察者而言：　　(a)擺錘m保持相對靜止，即：　　　　$v\,=\,0$　　　$\Delta\,v\,=\,0\quad\Rightarrow\quada\,=\,0$　　(b)擺錘m受力：　　　$\Sigma\,F\,=\,T\,-\,mg\,=\,0$　　(c)牛頓定律$\Sigma\,F\,=\,ma$能成立。

（圖） (3)車等加速度前進時：　a.單擺的擺錘向後擺起某一固定角度，隨車等加速度前進。

　b.地面為靜止坐標系；車為等加速度坐標系。

　c.對地面的觀察者而言：　　(a)擺錘m隨車前進，保持等加速度運動，即：　　　$a\,=$定值　　(b)擺錘m受力：　　　$\Sigma\,\vec{F}\,=\,\vec{T}\,-\,m\vec{g}$　　　$\Sigma\,F\,=\,mg\,\tan\theta$　　(c)牛頓定律能成立$\Rightarrow\quad\Sigma\,\vec{F}\,=\,m\vec{a}$　　　$\Sigma\,F\,=\,mg\,\tan\theta\,=\,ma$　　(d)由擺錘向後擺起的角度，可推算車的加速度。

　　　$mg\,\tan\theta\,=\,ma\quad\Rightarrowa\,=\,g\,\tan\theta$　d.對車內的觀察者而言：　　(a)擺錘m對觀察者保持相對靜止，即：　　　　$v\,=\,0$　　　$\Delta\,v\,=\,0\quad\Rightarrow\quada\,=\,0$　　(b)擺錘m受力：　　　$\Sigma\,\vec{F}\,=\,\vec{T}\,+\,m\vec{g}\,\neq\,0$　　(c)牛頓定律$\Sigma\,\vec{F}\,=\,m\vec{a}$不能成立。

　　(d)引入假想力$\vec{f}$，使牛頓定律能成立，則　　　$\Sigma\vec{F'}\,=\,\vec{T}+m\vec{g}+\vec{f}\,=\,0$　　　$\Rightarrow$假想力$\vec{f}\,=\,-\,(\vec{T}+m\vec{g})\,=\,-\,m\vec{a}$　　(e)假想力的求法：　　　(i)假想力=物體質量×物體對坐標系的相對加速度　　　(ii)$\vec{f}\,=\,-\,m\vec{a}$　　　(iii)假想力的大小：$f\,=\,ma$ （圖） 3.另一種想法：車子作等加速度前進時，車內除了原有地球重力給予的重力加速度外，又承受了車子加速度的相對值，故車內形成了一個合成的加速度場，車內的觀察者所見的加速度稱為視加速度ao。

(1)$\vec{a}_o\,=\,\vec{g}+(-\,\vec{a})$(2)$a_o\,=\,\sqrt{g^2+a^2}\,=\,g\,\sec\theta$(3)物體視重：$W_o\,=\,ma_o\,=\,m\sqrt{g^2+a^2}\,=\,mg\,\sec\theta$ (4)在重力加速度場中，單擺向下垂、汽球向上飄、桶內的水面呈水平、U型管內的水面等高。

（圖） (5)車等加速度前進時，在車內為$\vec{a}_o$加速度場，此時觀察者所見到的鉛垂線為向後偏斜θ角，認為斜向前上方為上，斜向後下方為下，則仍以為單擺向下垂、汽球向上飄、桶內的水面呈水平、U型管內的水面等高；但車外的觀察者則見到單擺向後下方垂、汽球向前上方飄、桶內的水面呈前下後上傾斜、U型管內的水面前管較低、後管較高。

（圖） 二、張力 1.張力(tension)：當繩子或彈性材料兩端拉緊時，在其任意截面上所呈現的作用力。

2.張力的性質：(1)方向：張力與繩平行，於任一橫截面上，恆垂直於截面，且指向截面外方。

【註】通常講的壓力，其方向為指向內側。

(2)張力的大小：　a.不計繩的質量，繩的二端拉力相等時，張力等於任一端的拉力。

（圖） 　b.粗細均勻的繩子，二端拉力不等時（此時繩質量不能忽略），張力可由內插法推算：　　(a)$F_1\,\,F_2$：　　　$\bigtriangleup\,I\,\sim\,\bigtriangleup\,II\quad\Rightarrow\quad\frac{\Delta\,F}{F_1-F_2}=\,\frac{x}{\ell}$　　　∴$T\,=\,F_1\,-\,\DeltaF\,=\,F_1\,-\,\frac{x}{\ell}(F_1-F_2)$ （圖） 　　(c)中點張力：$T\,=\,\frac{F_1+F_2}{2}$ 【注意】　(1)對連結的物體而言，繩的質量甚小，可以忽略不計。

若其二端拉力不等時，有人說張力應等於二端的拉力較小者，這種說法違反牛頓運動定律，故為錯謬。

　說明：若繩子所受淨力為$\SigmaF\,=\,F_1\,-\,F_2\,\neq\,0$，則必作等加速度運動，此時$a\,\neq\,0$。

但因$m\,=\,0$，則$ma\,=\,0\timesa\,=\,0$，則牛頓定律$\SigmaF\,=\,ma$不能成立。

　(2)繩子不作加速度運動，或繩子的質量甚小可忽略不計時，其二端的拉力必相等，則繩上的張力應處處相等，等於任一端的拉力。

　(3)不論繩子的粗細，若連結成一串，則張力在其上傳遞時，其大小恆相等。

　(4)滑輪問題中的張力：（參看Ch.4牛頓運動定律）　　a.不計繩子與滑輪間摩擦力時，二端張力相等。

　　b.考慮繩子與滑輪間有摩擦力，帶動滑輪轉動時，二端張力不相等。

（圖） 三、正向力 1.正向力(normalforce)：垂直於接觸表面的相互作用力。

2.正向力的性質：(1)光滑表面僅有正向力的作用。

(2)粗糙表面除了有正向力作用外，另外亦有摩擦力的作用。

3.正向力的方向：(1)面與面接觸：正向力與接觸面垂直。

(2)點與面接觸、或點與線接觸：正向力與接觸面或線垂直。

（圖）　　　　 （特例）　　 4.有時方向向下時，則稱為正壓力。

【補充】兩物體接觸時，未必一定要有力的作用。

四、平行力 1.平行力的定義：(1)平行力：凡力的作用方向相互平行者。

(2)平行力的心：平行力合力的作用點。

(3)平衡力：在平行力的心，加一個與各平行力的合力大小相等方向相反的力，即可使所有的作用力達成平衡，該反向力稱為平衡力(balanceforce)。

　$\vec{F}_b\,=\,-\,\Sigma\vec{F}$ （圖） 2.平行力的合力：(1)合力：$\Sigma\vec{F}\,=\,\vec{F}_1\,+\,\vec{F}_2$(2)合力的著力點：以力矩平衡的條件求得。

(3)解法：　a.二同向平行力F1與F2相距d時：　　$\SigmaF\,=\,F_1\,+\,F_2$　　$F_1x\,=\,F_2(d-x)\quad\Rightarrow\quadx\,=\,\frac{F_2d}{F_1\,+\,F_2}$　b.二反向平行力F1與F2相距d時：若$F_1\,>\,F_2$　　$\SigmaF\,=\,F_1\,-\,F_2$　　$F_1x\,=\,F_2(d+x)\quad\Rightarrow\quadx\,=\,\frac{F_2d}{F_1\,-\,F_2}$ （圖）　　 【範例】某甲以長2米的扁擔挑東西，A端懸掛50公斤重物，B端懸掛30公斤重物，則某甲肩頭需施力若干公斤？支點距A端若干才能平衡？ 【解答】施力：$F\;=\;\Sigma\,F\;=\;W_1\;+\;W_2\;=\;50\;+\;30\;=\;80\;\;(kgw)$　　　　支點：$50\;\times\;x\;=\;30\;\times\;(2\;-\;x)\quad\Rightarrow\quadx\;=\;0.75\;\;(m)$ （圖） 五、彈簧的恢復力：虎克定律 1.虎克定律：(1)虎克定律：在彈性限度內，彈簧恢復力的大小與其形變的大小成正比，而方向恆相反。

(2)$\vec{F}\,=\,-\,k\,\vec{x}$(3)形變：即伸長量或壓縮量，$x\,=\,\Delta\,x\,=\,\ell\,-\,\ell_0$　$\Delta\,x\,>\,0$為伸長量；$\Delta\,x\,