擲兩個公正骰子的樣本空間，元素個數是21個還是36個 - 隨意窩

筆者在某次的教學現場中，和高職學生阿博檢討一題作業，該問題如下： [問題1]：同時擲兩個公正骰子，試問點數和小於5的機率。

筆者的解法如下： [解答]：樣本空間 ... isdp2008am[交大理學院學士班數學小站]提供對數學有興趣的學生們課堂之外的線上學習園地，本網誌的內容走向希望朝向[數學理論]與[數學應用]兼備，成立目標是希望對數學有興趣的學生們可以在此吸收更多數學相關知識，達成跨領域學習的成效。

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)日誌相簿影音好友名片 201605101937擲兩個公正骰子的樣本空間，元素個數是21個還是36個?機率與財務工程   筆者在某次的教學現場中，和高職學生阿博檢討一題作業，該問題如下： [問題1]：同時擲兩個公正骰子，試問點數和小於5的機率。

筆者的解法如下： [解答]：樣本空間為 S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),    (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),     (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),     (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),    (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),       (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}    共有36個元素。

而點數和小於5的事件如下 E={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} E共有6個元素，因此機率p=6/36=1/6。

   但是阿博給的答案卻是4/21。

筆者看到分母是21，大概知道阿博他用的樣本空間是下面的這個樣本空間： S'={{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6}, {2,2},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6}, {3,3},{3,4},{3,5},{3,6}, {4,4},{4,5},{4,6}, {5,5},{5,6}, {6,6}} 這個樣本空間內的元素是集合{a,b}的樣式，而非S中的元素是數對(a,b)的樣式，因此，S'中有了{1,2}後，就不會有{2,1}，因為兩者的角色相同。

對於樣本空間S'，點數和小於5的事件如下 E'={{1,1},{1,2},{1,3},{2,2}} 所以他的答案，應該是直接看E'和S'的元素個數是4個和21個，得到答案是4/21。

再次強調，阿博用的樣本空間中，因為{1,2}和{2,1}是一樣的，所以在S'和E'裡面只會都出現一個(即{1,2})。

筆者告訴他，樣本空間的元素採用21個的看法是不對的，但是當時並沒有時間查資料。

現在翻了一下資料，發現高職數學的某本講義(見[1])上教的機率，採取了下面這個前提： "每一個樣本出現的機會均等." 書本上關於隨機試驗的機率，完整的定義如下： [機率定義]：設一隨機試驗的樣本空間中，每一樣本出現的機會均等。

若A⊂S(讀作"A包含於S"，但可簡單稱為"A落在S裡面")，則A事件發生的機率以P(A)表示，且P(A)=n(A)/n(S)。

    而採用樣本空間S'的看法的話，也不是不行，只是{1,2}和{1,1}出現的機會就不等，因為前者有兩種可能，後者只有一種可能，因此前者出現的機會較高，這和高職數學所教機率的前提--"每一個樣本出現的機會均等" 不合，這樣子就不能用P(A)=n(A)/n(S)這個公式了。

至於為何出現{1,1}的方式只有一種可能，而{1,2}有兩種可能，可以這樣子解釋： [解釋]：丟下兩顆骰子後若得到一顆是2點，另一顆是1點，此時把原本擲出2點的那顆翻面到1點的面，並把另外一顆原本擲出1點的骰子翻到2點，這就是另外一種可能出現{1,2}的方法，因此為有兩種方法；反觀{1,1}，你就只有擲下去的那一種方法得到{1,1}。

   回到當天的教學現場，因為筆者不能教阿博"不正確"的東西。

因此，當時筆者決定要說服阿博，讓他接受兩個骰子的樣本空間是36個。

   阿博說：老師你說樣本空間有36個，是因為(1,2)和(2,1)不同，那你同時擲下個骰子，掉下去之後，你知道哪個骰子是2，哪個骰子是1嗎？不知道吧，所以應該只能有一個(1,2)。

   至此，筆者發現問題的癥結，或許在於我們是"找不到方法"來區分兩個骰子的點數，於是，筆者採用的第一個講解方法如下： [方法1]：你可以在其中一顆骰子上面做個小記號，那麼，同時擲下後，把點數記成(a,b)，其中a是有記號骰子的，b是無記號的點數，這樣就可以區分了(1,2)和(2,1)不同了。

   阿博聽了之後，說：你在其中一顆骰子做個顏色的記號，已經影響到"隨機試驗"的前提了，所以這樣子不行。

     其實，做個小顏色記號的影響，對那顆骰子應該是非常非常的小，幾乎完全沒有影響的，不過筆者願意想更好的方法，想出"不要動到骰子外表"的方法。

於是有了下面的方法： [方法2]：題目只說"同時"擲下，沒說要同一隻手拿。

我們可以一手拿一個骰子，兩個骰子同時擲下，點數記成(a,b)，其中a是左手擲出的點數，b是右手擲出的點數，這樣就可以區分了(1,2)和(2,1)不同了。

   阿博又說：那如果兩個骰子滾來滾去後，出現2和1，但你眼睛花掉不知道哪個是2哪個是1怎麼辦呢？還有，這樣每次都要專心盯著骰子看哪個是左手的點數、哪個是右手的，避免亂掉，但這樣會不會太累了呢？    說的好像有點道理，但其實只要兩隻手離遠一點，要區分骰子是來自左手或右手，其實應該不難。

不過沒關係，可以再想想更棒的方法。

因此筆者提出下面的[方法3]於是： [方法3]：我們可以用基本上剛剛的[方法2]一樣的方法，一手拿一個骰子同時擲下，但是加上"超高速攝影機"的輔助，進行快速攝影後，再慢速播放(讓骰子運動的速度很慢很慢)，這樣就知道哪個骰子是哪個點數了，不會搞混。

因此，就可以區分了(1,2)和(2,1)不同了。

   此時阿博先支吾了一下。

但隨後阿博說：你這樣子會用兩個螢幕來播對不對，你不知道螢幕是會動來動去的嗎？這樣子你分得清楚嗎？(亂掰的理由，螢幕會動來動去？講什麼東西)    筆者有點不想理他，反正這個方法是一定可行且絕對不會搞混的，不過因為要動用到"超高速攝影機"，實在有點麻煩，因此想找個更簡單的方法。

因此有了[方法4]： [方法4]：一手拿一個骰子讓骰子自由落下，兩手下方的中間隔一片大透明板，兩個骰子同時擲下，因為大透明板可隔開兩顆骰子，絕對不會搞混。

我們把點數記成(a,b)，其中a是落在板子左邊骰子的點數，b是落在板子右邊骰子的點數，這樣就可以區分了(1,2)和(2,1)的不同了。

   阿博再說：那就不是隨機了啊，有受到板子的影響，不是嗎？    其實，就算撞到板子，那並不會影響到兩個骰子滾出1~6的哪個點數的機率吧？不過既然有影響，筆者再動動腦，提出下面的[方法5]： [方法5]：有個人，他一手拿一個骰子，他附近只有空蕩蕩的光滑地板，沒有任何障礙物，他將兩個骰子同時往身體的兩側丟，其中右手的骰子往右邊丟，左手的往左邊丟，看兩個骰子在地上滾出幾點。

其中左手丟出的骰子點數記為a，右手丟出的點數記為b，兩個點數記成(a,b)。

根據經驗或者根據物理原理，兩個骰子往不同方向跑，停止滾動前只會愈分愈開，不可能會混在一起。

這樣就可以區分了(1,2)和(2,1)的不同了。

   阿博因為是個有點嘴硬的學生，這時候又講出一些奇怪的理由。

不過筆者已經不想理他了，因為筆者知道，他的心理應該是有點接受了，只是嘴硬而已。

   那堂課，筆者只是想讓他知道，其實有方法可以區分兩個骰子的點數，而且還很多種。

相信那堂課之後，阿博應該可以接受擲兩顆公正骰子的樣本空間的元素個數是36個的說法才對，而非21個。

   其實筆者在那堂課上，也有跟阿博說過：你考試的時候如果出這種擲兩個骰子的題目，你用21個元素的樣本空間，就等著錯吧。

不過，這個說法其實不好的，有點功利主義，好像只為了考試成績而要學生接受此觀念，而不求讓學生了解。

   正在螢幕前的您呢？對於擲兩個公正骰子的樣本空間的元素個數，到底是21個還是36個，您有困惑過嗎？看過本篇後，是否更加了解了呢？    [參考資料]： [1]p185，超簡單(高職)數學B,C複習講義，龍騰文化。

(本文作者：連威翔，曾任職於交大理學院科學學士班)isdp2008am/Xuite日誌/回應(0)/引用(0)沒有上一則|日誌首頁|沒有下一則回應 加我為好友日誌相簿影音 我的相簿 isdp2008am's新文章有用連結UsefulLinks一道高中數學競賽筆試問題的另解一道共線問題的再探一道徵答題的解法分享(雙週一題2022春季第7題)Anothersolutiontoanalgebraproblem一道線性方程組問題的推廣與另解一道排列組合問題的另解(JEE)一道組合問題的遞迴解法一碗三球問題的另解一道趣味問題的求解過程分享(Whena/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)=1...)兩道代數題的另解 全部展開|全部收合 關鍵字 isdp2008am's新回應沒有新回應！