电磁学简要总结及重要公式重要结论，推理过程 - 知乎专栏

电场电场是人们对电磁现象最早的认识，其中静电场又是电场中最简单的部分。

静电场库仑( Coulomb )定律指出，两个带电点电荷之间相互作用大小为： ... 无障碍写文章登录/注册电场电场是人们对电磁现象最早的认识，其中静电场又是电场中最简单的部分。

静电场库仑(Coulomb)定律指出，两个带电点电荷之间相互作用大小为：\vec{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qq}{r^3}\vec{r}\tag{1}其中常数k={1\over4\pi\epsilon_0}。

不妨定义电场强度以去除检验电荷的影响，有\vec{F}=q\vec{E}，从而得到：\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^3}\vec{r}\tag{2}考虑到（场论内容）：\nabla\times{\vec{r}\overr^3}=0以及\nabla\cdot\frac{\vec{r}}{r^3}=4\pi\delta(r)，故有：\nabla\times\vec{E}=0\tag{3}\nabla\cdot\vec{E}=\frac{Q}{\epsilon_0}\delta(r)=\frac{\rho}{\epsilon_0}\tag{4}分别写成积分形式则有：\oint\vec{E}\cdotd\vec{l}=0\tag{5}\oint_\Sigma\vec{E}\cdotd\vec{S}=\frac{\sumQ}{\epsilon_0}\tag{6}考虑到总电荷中包含有自由电荷和感应电荷两部分，即Q=Q_0+Q_P、\rho=\rho_0+\rho_P，为了去除感应电荷，从而使得式子中只有自由电荷（有利于解方程等），定义一个电极化强度矢量\vec{P}=\lim_{V\rightarrow0}\frac{\sum\vec{p}}{V}，通过推导可以得到：\nabla\cdot\vec{P}=-\rho_P\tag{7}\oint_\Sigma\vec{P}\cdotd\vec{S}=-Q_P\tag{8}从而可以定义一个新的量\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}，称为电位移矢量，将上两式分别代入(4)和(6)中，得到：\nabla\cdot\vec{D}=\rho_0\tag{9}\oint_\Sigma\vec{D}\cdotd\vec{S}=Q_0\tag{10}以上两式即为MaxwellEquations微分形式和积分形式的第一式。

电磁感应法拉第(Faraday)根据多年的实验得到电磁感应定律，总结为公式：\oint\vec{E}\cdotd\vec{l}=-\frac{\rm{d}}{\rm{d}\it{t}}\iint_S\vec{B}\cdotd\vec{S}\tag{11}需要说明一下，这个形式不是法拉第总结出来的，是由诺埃曼(F.E.Neumann)和韦伯(W.E.Weber)给出的，等号后面的负号是由楞次(Lenz)建议增加以表示产生的电流形成的磁场会减弱原磁场大小。

将(11)式改写为微分形式：\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partialt}\tag{12}以上两式即为MaxwellEquations积分形式和微分形式的第二式。

磁场静磁场安培(Ampere)经过实验得到了线圈与线圈之间相互作用大小为：\vec{F}=\frac{\mu_0}{4\pi}\iint\frac{I_1d\vec{l_1}\times\left(Id\vec{l}\times\vec{r}\right)}{r^3}\tag{13}需要再次说明，这个公式也不是安培给出的，安培给出了另一个超级复杂而且还有不少奇怪的系数的公式，不过那个公式竟然也是对的，这里就按照标准形式给出了。

由于这个公式过于长，将它写为两个公式：\vec{F}=\intI_1d\vec{l_1}\times\vec{B}\tag{14}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{Id\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}\tag{15}上式是最常用的计算磁感应强度的公式，称为：毕奥-萨伐尔-拉普拉斯公式。

考虑到有时导线有横截面积，将公式改写为涉及电流密度的形式：\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiintdV\frac{\vec{J}\times\vec{r}}{r^3}\tag{16}通过对(15)取散度并进行简单的运算可以得到：\nabla\cdot\vec{B}=0\tag{17}或者写成积分形式为\oint_\Sigma\vec{B}\cdotd\vec{S}=0\tag{18}以上两式即为MaxwellEquations微分形式和积分形式的第三式。

对(16)取旋度后简单运算可以得到：\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}\tag{19}或者写成积分形式：\oint\vec{B}\timesd\vec{l}=\mu_0I\tag{20}考虑到总磁场一部分是磁化强度\vec{M}，总电流一部分来源于感应电流\vec{J}=\vec{J_0}+\vec{J_M}，磁化强度定义为：\vec{M}=\lim_{V\rightarrow0}{\sum\vec{m}\overV}\tag{21}通过物理上的运算可以得到：\nabla\times\vec{M}=\vec{J_M}\tag{22}将(22)代入(19)并定义磁场强度\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}，从而得到：\nabla\times\vec{H}=\vec{J_0}\tag{23}改写为积分形式有：\oint\vec{H}\timesd\vec{l}=I_0\tag{24}位移电流引入麦克斯韦在给出麦克斯韦方程创造性的引入了位移电流，从而解决了不自恰的问题，我们现在回顾一下这个问题。

根据旋度场无源的道理（场论），对(19)取散度有：\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\mu_0\nabla\cdot\vec{J}\tag{25}=0然而根据电荷守恒表达式：\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial\rho}{\partialt}=0\tag{26}明显可以看出只有在静磁场中关系式才满足，为了让非静磁场也能自恰，麦克斯韦将(19)改为：\nabla\times\vec{B}=\mu_0\left(\vec{J}+\vec{C}\right)\tag{27}我们只是暂时不知道增加的矢量是什么，对此式取散度并与(26)对比：\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\mu_0\nabla\cdot\left(\vec{J}+\vec{C}\right)=\mu_0\left(\nabla\cdot\vec{C}-\frac{\partial\rho}{\partialt}\right)=0\tag{28}根据(4)可以得到：\nabla\cdot\vec{C}=\frac{\partial\rho}{\partialt}=\epsilon_0\nabla\cdot\frac{\partial\vec{E}}{\partialt}\tag{29}从而得到位移电流：\vec{C}=\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partialt}\tag{30}将(30)代入(27)，并考虑到总电流由自由电流、磁化电流、极化电流构成\vec{J}=\vec{J_0}+\vec{J_M}+\vec{J_P}，其中极化电流满足\vec{J_P}=\frac{\partial\vec{P}}{\partialt}，代入全部式子并引入磁场强度和电位移矢量定义得到：\nabla\times\vec{H}=\vec{J_0}+\frac{\partial\vec{D}}{\partialt}\tag{31}写成积分形式为：\oint\vec{H}\cdotd\vec{l}=I_0+\frac{\partial}{\partialt}\iint\vec{D}\cdotd\vec{S}\tag{32}以上两式即为MaxwellEquations微分形式和积分形式的第四式。

电磁场为了能对麦克斯韦方程组有一个总的印象，现将方程组罗列出来，(33)为微分形式。

\left\{\begin{matrix}\nabla\cdot\vec{D}=\rho_0\\\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partialt}\\\nabla\cdot\vec{B}=0\\\nabla\times\vec{H}=\vec{J_0}+\frac{\partial\vec{D}}{\partialt}\end{matrix}\tag{33}\right.(34)为积分形式。

\left\{\begin{matrix}\oint_\Sigma\vec{D}\cdotd\vec{S}=Q_0\\\oint\vec{E}\cdotd\vec{l}=-\frac{\rm{d}}{\rm{d}\it{t}}\iint_S\vec{B}\cdotd\vec{S}\\\oint_\Sigma\vec{B}\cdotd\vec{S}=0\\\oint\vec{H}\cdotd\vec{l}=I_0+\frac{\partial}{\partialt}\iint\vec{D}\cdotd\vec{S}\end{matrix}\tag{34}\right.磁矢势通过(33)第三式并且考虑到旋度场无源，假设磁感应强度为一个矢量的旋度，这个矢量称为磁矢势，满足：\nabla\times\vec{A}=\vec{B}\tag{35}广义电势将(35)代入(33)第二式，整理得到：\nabla\times\left(\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partialt}\right)=0\tag{36}考虑到梯度场无旋，故有：\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partialt}=-\nabla\varphi\tag{37}式中定义的\varphi为广义电势，不仅仅和电场相关，也与磁场相关。

发布于2021-09-1721:35电磁学电动力学麦克斯韦​赞同38​​7条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​