數字規律題有萬能求解公式嗎,只要能找出一種規律就行...?

很多人都提到了，數字規律題答案其實完全是不唯一的。

... 一個小彩蛋：對於手頭有一些離散數據想找規律的朋友，可以參考這個網站：The On-Line Encyclopedia of ... 標籤：應用數學數列數學數學建模趣味數學 數字規律題有萬能求解公式嗎,只要能找出一種規律就行...? 12-04 類似這種題,能不能有萬能求解公式,不用管具體的題目? 謝邀。

為什麼會有數字規律題？以我的理解，這是在一個很早期的階段訓練人的歸納能力的工具。

很多人都提到了，數字規律題答案其實完全是不唯一的。

即使是插值，你可以用多項式插值，也可以用指數函數插值、也可以用Fourier級數去插值、也可以用其他更怪的方式去插值。

這樣得到的答案理論上來說都可以延續一個數列，但已經脫離了這個問題本來的目的。

我們在小時候往往會做到這樣的問題：一個圖中有幾朵花、一片葉子；或者是幾個水果、一個蛋糕，請大家圈出其中不同的東西。

我相信小朋友們是被期待選出葉子、選出蛋糕的。

但思維比較發散的人說：我覺得選某朵花才是對的，因為它是最小的；我覺得選那個葡萄才是對的，因為它有好多好多，其他的只有一個。

誰能說這種回答不對呢？道理很簡單，觀察和歸納的標準不一樣，得到的答案也會不一樣。

其實只要能自圓其說，怎麼說都行。

但這種題目出現在考試中是非常不妥的，因為它其實是沒有標準答案的。

只要你能自圓其說，都是正確答案。

不過萬一考試中真正遇到了，還是不要期待有萬能公式了。

你需要的是逆向推測出題人或者改卷人希望看到什麼答案，要把你的觀察和歸納能力拉到改卷人的那個水準。

一個小彩蛋：對於手頭有一些離散數據想找規律的朋友，可以參考這個網站：TheOn-LineEncyclopediaofIntegerSequences?(OEIS?) 樓上對自己都還不夠狠啊……比如2，4，6，7，8，（）。

你要是用4次多項式來擬合，就可以得出第六項的「答案」。

y=0.0833x^4-x^3+3.9167x^2-4x+3第六項是11.958但如果不嫌麻煩，拿5次多項式來擬合，第六項你想是幾就是幾。

比如喜歡第六項是3.1415926那規律就是y=-0.0738x^5+1.1906x^4-7.2747x^3+20.526x^2-24.227x+11.858孔子說得好，四個參數畫大象，五個參數鼻子晃。

如果你不限制多項式規律的話，連牛頓-拉格朗日插值多項式都不用。

直接不過，人們一般找規律都是希望找出比較簡單的規律。

這種情況下，一般只有三五個答案比較好。

數學規律題是訓練一種數學感覺的，並不是讓你們用更高級的方法來抬杠的，而且是專門針對初等數學教育的。

比如我們看到一串數，1，2，3，4，5，我們就會下意識的認為是一串等差數列，但實際上可能第六項就變成7了。

但是「我們下意識感覺」這一點還是很重要的，這是基於小時候的訓練而出現的，而數字規律題就是其中一種訓練。

因此，沒什麼必要找萬用公式，這不符合小學或初中教學大綱的要求。

當然有萬能公式但沒有唯一的答案有種方法叫作插值法但是幾個點怎麼擬合都行可以求出無數種解法 有。

下面這段C代碼可以找到任意數列的後續項，並列印出seed和後10項。

原理應該是非線性函數吧（逃#include& #include& intmain(intargc,char**argv){ intn=argc-1,i,max=0; int*prefix=(int*)malloc(n*sizeof(int)); unsignedintseed; for(i=0;i&max?prefix[i]:max; } ++max; for(seed=0;;++seed){ srand(seed); intok=1; for(i=0;i& 舉個例子：如果我要找1,2,3,...這個數列的後續項，我在終端里輸入：$./a.out123 我得到了：27 1232011030212 說明seed是27，並且這個數列的後10項分別是：2,0,1,1,0,3,0,2,1,2 從此再也不用擔心被小朋友的數字規律題難住了，這萬能方法真是碉堡了。

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從此再也不用擔心被小朋友的數字規律題難住了，這萬能方法真是碉堡了。

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【輕鬆一刻】今天居然被一道幼兒園的題難住了，啊啊啊！！！ 題目是這樣的：()()()24678，然後填空？抓耳撓腮想破天，大半天過去，還是想不出來這到底有什麼規律，最後實在是沒辦法了，看了下答案：（門前大橋下），（游過一群鴨），（快來快來數一數），24678。

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我只想說： 【被小朋友難到的尷尬】相信大家都有這種經歷吧：一回老家，總會有各種活動，7大姑8大姨，走走吃吃喝喝玩玩樂樂。

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當然作為上過大學的知識分子，有時還得承擔一下教育小輩的義務。

那些小孩，有的叫你哥哥姐姐，有的已經開始叫你不習慣的叔叔阿姨了。

然後有時就可能向我們請教問題，答得出來到也還算了，要是答不出來，類似開心一刻裡面的豬腳，還是頗有幾份尷尬的。

【轉化為數學問題】像類似的數字找規律問題，基本模型是：給出某些位置的數字，然後根據已知數字得出規律，把空位的位置補上合適的位置。

比如給出1，2，3，_,，那基本上就是填4了。

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當然一般來說，只要找到規律就行，不強求唯一性。

比如2，4，_，你可以認為是2倍關係，填8，也可以認為是加2關係，填6。

位置+數字---能想起什麼數學模型呢？一串數字，找規律。

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很容易想到吧，數列啊。

這不就是求數列的通項公式啊。

相當於已知數列某幾項，求數列的通項公式罷了，然後帶通項公式就行了，可以得到空白數字。

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【再進一步抽象】上一步已經找到了數列這一個數學模型了，因為數列可以看作是x取值為正整數的函數，所以實際上也就是一個函數的問題，1,2,3,_相當於已知f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,求f(4)？，顯然只要把f的解析式求出來就行了，一切都搞定了。

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小明：等等，那麼f是啥我都不知道啊，甚至連f是什麼類型的函數我都不知道啊？回復：既然不知道是什麼類型的，那麼沒有道理取複雜的類型，那就應該要最簡單的類型（這真是真理啊！）小明：那麼什麼函數最簡單呢？ 回復：當然是1,x,x^2,x^3這些組成的多項式類型的函數最簡單啊，一個值就是一個點，兩點定一條直線，3點定個拋物線。

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也就是傳說中的待定係數法。

小明：你確定這樣一定能解出來嗎？要是折騰半天，方程無解，那我豈不是丟臉更大了！以其這樣還不如直接裝逼一把，說這種題太簡單，哥我才懶得看呢，至少還留有幾分薄面。

我可不想折騰半天搞不出來，被一小屁孩嘲笑。

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【重大喜訊：有且只有一個解】小明的擔心是有道理的，所以必須得說明，用待定係數法求多項式函數的解的存在性質。

舉一個簡單的例子： 寫到這，大家發現了什麼了嗎： 這貨是不是很眼熟啊，似乎在哪裡見過？ 好好想想，是個矩陣哦，往矩陣那個方面想，矩陣，線性方程組，行列式，特徵向量。

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對了這貨不就是范德曼行列式那玩意嗎，哈哈認出來了。

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范德曼行列式的性質告訴我們，這個行列式 肯定不是0，所以方程肯定是有解的，而且只有一個解。

類似的問題肯定也是有且只有一個解，真是一個很好的結論啊。

【重磅喜訊：不用解方程！！！】小明：你雖然保證了哪種方法肯定有解，但是解那個方程還是挺費事的啊，難不成每次就得在那傻乎乎的解方程了，能不能不接方程就得出f的解析式，像變魔術似得？回復：還真讓你小子趕上了，還真有這種牛逼的招數，化腐朽為神奇，立馬能解出來！！！小明：你可別騙我啊，別拿魔術來騙我。

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回復：呃，我那不是魔術，那叫拉格朗日多項式。

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小明：我去，拉格朗真牛逼，多項式都被征服了。

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回復：這。

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【拉格朗日多項式：萬能公式來啰】直接上公式了，公式就能看明白，為了簡化，我就不寫一般n的情況了，類推一下就行。

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過兩點（x1,y1),(x2,y2)的多項式 小明：哎喲我去，好複雜啊。

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回復：如果太簡單了，怎麼能顯示學過高等數學的你的水平呢？要是都和1+1=2那麼簡單，也就不用折騰這麼多了，是吧？既然你要的是萬能公式，要處理千千萬萬種情況，那麼為了處理好這些萬能的情況，公式就必須高度抽象，很可能就導致了高度複雜，這是你需要萬能公式所需要付出的代價，你應該做好相應心理準備而不是一邊叫著嚷著要處理萬能情況，一邊抱怨公式太複雜了。

端起碗吃飯，放下筷子罵娘這種行為有意思嗎？能什麼好事，什麼便宜都讓你佔了啊？哪有那麼多免費的午餐啊。

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【理解拉格朗日插值多項式】公式雖然複雜，但是理解了也就那麼一回事，就不複雜了。

從公式中可以看出，對於任意給的n個點，都可以唯一得出一個n-1次的多項式來經過這n個點，也就得出來函數的解析式，所以數列的通項公式就搞定了，於是就找到了規律。

分析2，3，4點的式子，可以看得出，這個多項式，有多少點，就有多少項，每項都是Ai*yi的形式，yi很好理解，就是已知的2，4，6，7，8.然後Ai都是一個分式bi/ci,bi很簡單，就是(x-xj)的連乘少本身(x-xi)，ci也很簡單，就是當前的xi,減去xj...(xi-xj)的連乘少本身（xi-xi）。

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為什麼要這樣呢？你試著帶一下數字進去就發現期中的玄機了：x1帶進去，A1=1,A2,A3...全是0，所以f(x1)=y1，同理對於每個點xi,都有f(xi)=yi。

也就是按照只有一個Ai為1，其他為0，用這種類似鶴立雞群式思路構造了這個多項式。

理解之後，這個多項式就變得很簡單了。

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【牛刀小試】 _,_,_,2，4，6，7，8真的只能門前大橋下。

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神馬的嗎，真的解不出來嗎？如果沒學過拉格朗日多項式，那也罷了，既然學了，這種題，其實也是可以解的，看著： 可以算出來f(1)=36,f(2)=12,f(3)=3,解析式是：f(x)=(1/12)x^4-2x^3+(209/12)x^2-127/2x+84 【學成出山打怪去，gogogo】小朋友：大哥哥，幫忙看下這個題目吧。

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你：我瞧瞧，哦，數字規律題啊，很簡單啊。

小朋友：啊，太好了，你會做啊，教教我啊，求求你了。

你：這東西得學了高等數學才能講清楚，現在我就不講了，告訴你公式吧（然後寫下公式讓小朋友去算。

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）小朋友：算了半天，終於算好了，發現還真對啊，頓時： 出題老師可以寫上數列前20項，再補空。

我看哪個鑽牛角尖學生敢跟我玩插值法。

20項不行那就30項，40項…… 解無定法，觀察得知 題主知道圖靈停機問題么？ 1.4.9.第四位數是 對於給出前n項的數列要求第n+1項的填空題，可以無腦抄上第一項。

這是一個以n為周期的循環數列。

Ztransform.Forexample,DerivationoftheFibonacci-Formula-FibonacciSearch 謝腰。

哎呦。

看見數學頭就大。

請邀請學霸邱老師。

@ctbzy。

謝邀，但本人是數學白痴連強答都答不上。

有的，用高階等差數列，無論出現幾個數，是什麼數，都可以算通項。

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