什么是应变(Strain) - 知乎专栏

1.应变的引入应变(strain)是连续介质力学中一个非常重要的概念，其是为了定量地描述物体变形（伸缩与扭转）而引入的。

一般地，我们需将应变定义为一个无量纲的数， ... 首发于地球物理笔记无障碍写文章登录/注册1.应变的引入应变(strain)是连续介质力学中一个非常重要的概念，其是为了定量地描述物体变形（伸缩与扭转）而引入的。

一般地，我们需将应变定义为一个无量纲的数，如在一维情况下：\varepsilon=\frac{L-L_{0}}{L_{0}},\varepsilon^{'}=\frac{L-L_{0}}{L},e=\frac{L^{2}-L_{0}^{2}}{2L^{2}},\tilde{\varepsilon}=\frac{L^{2}-L_{0}^{2}}{2L_{0}^{2}}....其中，L是变形后的长度，L_{0}是原长。

能这样定义应变的前提是变形场是均匀的，即每个点的应变都相同（等于总的平均应变），因此可采用总的长度变化来定义每个点的应变。

以上4个式子尽管形式不同，但都定量地描述变形。

如若L=1.01,L_{0}=1.00时，上述四个式子结果都等于（或约等于）0.01。

这说明在小变形下，这些应变近似相等。

实际的应变定义也是门派林立，如工程应变，Hencky应变，Green应变，Cauchy应变，Alamansi应变等。

在弹性力学里，应变一般是指Cauchy应变。

值得一提的是，有两个厉害的家伙，将各种应变统一起来了，这就是塞斯-希尔应变度量(Seth-HillStrainmeasure)，这可谓应变定义的“大一统”工作。

就科学史而言，strain一词源于WilliamJohnMacquornRankine于1851年的论文。

2.应变的定义对物体中的任一点(x_{1},x_{2},x_{3})，当物体变形时，该点会发生相应的位移，新坐标变为(x_{1}',x_{2}',x_{3}')，则该点的位移为u_{i}=x_{i}'-x_{i}。

注意x_{i}'是x_{i}的函数，则u_{i}也是x_{i}的函数（u_{i}(x_{1},x_{2},x_{3})）。

一般地，考查物体中无限邻近的两个任意点，若变形前这两点之间的径矢为dx_{i}；物体变形后，这一径矢变为dx_{i}’。

则物体变形前，这两点之间距离的平方为：dl^{2}=d{x_{1}^{2}}+d{x_{2}^{2}}+d{x_{3}^{2}}=dx_{i}^{2}.变形后，这两点之间距离的平方为：dl'^{2}=d{x_{1}'^{2}}+d{x_{2}'^{2}}+d{x_{3}'^{2}}=(dx_{i}+du_{i})^{2}.同时，注意u_{i}是x_{i}的函数，则：du_{i}=\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{1}}dx_{1}+\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{2}}dx_{2}+\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{3}}dx_{3}=\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{k}}dx_{k}.则，dl'^{2}=d{l}^{2}+2dx_{i}du_{i}+du_{i}\cdotdu_{i}=d{l}^{2}+2dx_{i}\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{k}}dx_{k}+\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{k}}\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{l}}dx_{k}dx_{l}.其中，有个技巧，指标轮换：\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{k}}dx_{k}dx_{i}=\frac{\partialu_{k}}{\partialx_{i}}dx_{i}dx_{k},\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{k}}\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{l}}dx_{k}dx_{l}=\frac{\partialu_{l}}{\partialx_{k}}\frac{\partialu_{l}}{\partialx_{i}}dx_{k}dx_{i}.则，dl'^{2}=d{l}^{2}+dx_{i}(\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{k}}+\frac{\partialu_{k}}{\partialx_{i}})dx_{k}+dx_{i}\frac{\partialu_{l}}{\partialx_{k}}\frac{\partialu_{l}}{\partialx_{i}}dx_{k}=d{l}^{2}+dx_{i}\cdot2\varepsilon_{ik}\cdotdx_{k}其中：dx_{i}\cdot\varepsilon_{ik}\cdotdx_{k}=[dx_1,dx_2,dx_3]\begin{pmatrix}\varepsilon_{11}&\varepsilon_{12}&\varepsilon_{13}\\\varepsilon_{21}&\varepsilon_{22}&\varepsilon_{23}\\\varepsilon_{31}&\varepsilon_{32}&\varepsilon_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx_1\\dx_2\\dx_3\end{pmatrix}则应变定义为：\varepsilon_{ik}=\frac{1}{2}(\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{k}}+\frac{\partialu_{k}}{\partialx_{i}}+\frac{\partialu_{l}}{\partialx_{k}}\frac{\partialu_{l}}{\partialx_{i}}).显然\varepsilon_{ik}=\varepsilon_{ki}，为对称张量，且无量纲。

该应变张量为Green应变，其物理意义是现长度平方与原长度平方的差与原长平方之比的一半。

扩展阅读：对称是一个非常好的性质。

根据线性代数知识，对称意味着应变张量可以对角化，且特征向量是相互正交的。

那么，对任何一个点，总可以找到相互正交的坐标系——在其中，只有对角分量(\varepsilon_{ii})不为0，其他非对角分量都为0。

这样的坐标轴（主轴）就是应变张量的特征向量\overrightarrowx，而相应的对角分量（主值）为特征值\lambda（\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}\overrightarrowx=\lambda\overrightarrowx）。

所以，应变张量的对称性是主轴存在的根本原因。

若\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{k}}非常小，则\frac{\partialu_{l}}{\partialx_{k}}\frac{\partialu_{l}}{\partialx_{i}}为高阶小量，可略去，此时：\varepsilon_{ik}=\frac{1}{2}(\frac{\partialu_{i}}{\partialx_{k}}+\frac{\partialu_{k}}{\partialx_{i}}).这就是在弹性力学里应变张量的定义（Cauchy应变），其必须在小变形假设下才能成立。

此处应注意区分位移与应变，位移指物体各点空间位置的改变，应变指物体内部的伸缩与扭转。

当物体位移很大时，其可能也是小应变甚至无应变（如刚体运动）。

3.应变的几何意义\varepsilon_{11},\varepsilon_{22},\varepsilon_{33}代表沿x_{1},x_{2},x_{3}轴的伸缩，如在x_{1}方向，若原始状态蓝色正方形边长为h，则\varepsilon_11=\frac{u_0}{h}.图片来源：MIT-StructuralMechanics\varepsilon_{12},\varepsilon_{13},\varepsilon_{23}代表角度的变换，如在x_{1}x_{2}平面内，图片来源：MIT-StructuralMechanics设\alpha,\beta分别是虚线与x1轴，x2轴的夹角。

\varepsilon_{12}=\frac{1}{2}(\frac{\partialu_{1}}{\partialx_{2}}+\frac{\partialu_{2}}{\partialx_{1}})=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}(tan\alpha+tan\beta)=\frac{1}{2}tan(\alpha+\beta)上图中：\varepsilon_{12}=\frac{1}{2}(\frac{u_0}{h}+\frac{u_0}{h})=\frac{u_0}{h}注：工程应用中，把2\varepsilon_{ij}称为剪应变（剪切变形）。

4.简单剪切(Simpleshear)与纯剪切(Pureshear)在地球科学中，简单剪切与纯剪切的概念也很重要，现用图片展示：简单剪切（simpleshear），图片来源Wikipedia.纯剪切(pureshear)，图片来源：http://www.geosci.usyd.edu.au/users/prey/Teaching/Geol-3101/Strain/STRAINd.htm.5.平面应变(Planestrain)平面应变是弹性力学里一个非常重要的概念，很多实际问题可简化为平面应变问题，其具有非常广泛的应用。

这个概念非常简单，实质就是应变集中在一个平面内，在另外一个方向上(长轴)的所有应变都为0。

此时，应变张量矩阵为（假设长轴为x_{3}方向）：{\displaystyle{\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon_{11}&\varepsilon_{12}&0\\\varepsilon_{21}&\varepsilon_{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}，\varepsilon下面画两横，代表其为一个二阶张量。

图示为：平面应变问题，长轴理想情况下应为无限长（图片来源Wikipedia）应注意：在平面应变问题中，长轴方向应力\sigma_{33}不等于0，因为其用于平衡由于另两个方向变形导致长轴方向的变形，保证\varepsilon_{33}等于0；或从应力应变关系\sigma_{ij}=\lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij}，也能很好的证明。

此时，应力张量为：{\displaystyle{\underline{\underline{\boldsymbol{\sigma}}}}={\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&0\\\sigma_{21}&\sigma_{22}&0\\0&0&\sigma_{33}\end{bmatrix}}}.2020-08-18更新：在应变学习过程中，经常会用一个二维微元体来进行推导，如图所示。

但有的书推导过程写的不够详细，有的地方可能会对我们理解造成困难，在此做一个补充。

初始状态无穷小的微元体ABCD长宽分别为dx，dy。

经过变形，变成了微元体abcd，若a点相对于A点的坐标是(u_x(x,y),u_y(x,y)),则：b点相对于B点坐标为：(u_x(x+dx,y),u_y(x+dx,y)),c点相对于C点坐标为：(u_x(x,y+dy),u_y(x,y+dy)),d点相对于D点坐标为：(u_x(x+dx,y+dy),u_y(x+dx,y+dy)).解释：由于变形是一致的，b点相对于B点坐标只需在a点相对于A点坐标中的x分量加上dx即可。

注意这不是说b点与a点只在x方向有差异，而是指b与a的差异是由初始状态下B与A在x方向差dx造成的。

根据小变形假设，利用泰勒展开式，忽略二阶及以上的项，可得图中所标的各量。

如，对b点x坐标取一阶泰勒展为：u_x(x+dx,y)=u_x(x,y)+\frac{\partialu_x}{\partialx}dx，而u_x(x,y)恰好是B点到b点前虚线之间x方向上的间距，因此b相对其前面的虚线长度为\frac{\partialu_x}{\partialx}dx。

编辑于2022-03-2119:26连续介质力学弹性力学应变​赞同142​​27条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录地球物理笔记基本概念，基本方程，基本原理