111年大學學測-數學A詳解 - 朱式幸福
文章推薦指數: 80 %
111年大學學測-數學A詳解. 111學年度學科能力測驗試題-數學A考科. 一、單選題(占30 分). 解答:$$C^n_2 \gt 100 \Rightarrow {n(n-1)\over 2} \gt ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2022年1月22日星期六 111年大學學測-數學A詳解 111學年度學科能力測驗試題-數學A考科一、單選題(占30分) 解答:$$C^n_2\gt100\Rightarrow {n(n-1)\over2} \gt100\Rightarrown^2-n-200\gt0\\\Rightarrown\gt{1+\sqrt{801}\over2}\Rightarrown\ge15(28\lt\sqrt{801}\lt29)\\當n=15時,至少提供C^{15}_1+C^{15}_2=15+{15\times14\over2}=120種選法,故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$ 解答:$${9\over4}\log_ab=\log_ba={\log_aa\over\log_ab}\Rightarrow(\log_ab)^2={4\over9}\Rightarrow\log_ab={2\over3}\Rightarrowa^{2/3}=b\Rightarrowa^2=b^3,故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$ 解答:$$黑點分佈情形趨近直線y=2x(藍色直線),\\因此將黑點投影到與y=2x垂直的紅色直線y=-x/2時,\\黑點會集中投影到原點,此時變異數最小,故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$ 解答:$$\loga_1,\loga_3,\loga_6成等差\Rightarrow\loga_1+\loga_6=2\loga_3\Rightarrow\log(a_1a_6)=\loga_3^2\\\Rightarrow a_1a_6=a_3^2\Rightarrowa_1(a_1+5d)=(a_1+2d)^2\Rightarrowa_1^2+5a_1d=a_1^2+4a_1d+4d^2\\\Rightarrow a_1d-4d^2=0\Rightarrowd(a_1-4d)=0\Rightarrowa_1=4d\\\Rightarrow\loga_1,\loga_3,\loga_6的公差=\loga_3-\loga_1=\log{a_3\overa_1}=\log{6d\over4d}=\log{3\over2},故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$ 解答:$$P={染病且採檢為陰\over染病且採檢為陰+未染病且採檢為陰}={ 30\%\times20\%\over 30\%\times20\%+70\%\times60\%} \\\RightarrowP'={染病且採檢3次皆為陰\over染病且採檢3次皆為陰+未染病且採檢3次皆為陰}={ 30\%\times(20\%)^3\over 30\%\times(20\%)^3+70\%\times(60\%)^3}\\\Rightarrow{P\overP'}={ 30\%\times20\%\over 30\%\times20\%+70\%\times60\%}\times{30\%\times(20\%)^3+70\%\times(60\%)^3\over30\%\times(20\%)^3}=8,故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$ 解答:$$三直線所圍三角形為正三角形\RightarrowL_1與L_2的角平分線與L垂直\\\Rightarrow直線L斜率為-{9\over11}\RightarrowL:y=-{9\over11}(x-2)+{1\over3}\Rightarrow27x+33y=65,故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$二、多選題(占30分) 解答:$$(1)\times:n=0滿足原式,但不滿足|5n-7n|\ge21\\(2)\bigcirc:|5n-21|\ge7|n|\Rightarrow{7|n|\over|5n-21|}\le1\Rightarrow-1\le{7n\over5n-21}\le1\\(3)\times:n=0滿足原式,但不滿足7n\le5n-21\\(4)\bigcirc:|5n-21|\ge7|n|\Rightarrow(|5n-21|)^2\ge(7|n|)^2\\(5)\times:|5n-21|\ge7|n|\Rightarrow(5n-21)^2\ge49n^2\Rightarrow24n^2+210n-441\le0\\\qquad\Rightarrow3(4n-7)(2n+21)\le0 \Rightarrow-{21\over2}\len\le{7\over4}\\\qquad\Rightarrown=-10,-9,\dots,0,1,共12個\\,故選\bbox[red,2pt]{(2,4)}$$ 解答:$$(1)\bigcirc:\cases{A(0,2)\\B(1,0)\\C(4,1)}\Rightarrow\cases{\overline{AB}=\sqrt5\\\overline{BC}=\sqrt{10}\\\overline{AC}=\sqrt{17}}\Rightarrow\overline{AC}最長\\(2)\times:\overline{BC}\gt\overline{AB}\Rightarrow\sinA\gt\sinC\\(3)\times:\cases{\overline{AB}^2=5\\\overline{BC}^2=10\\\overline{AC}^2=17}\Rightarrow\overline{AC}^2\gt\overline{AB}^2+\overline{BC}^2\Rightarrow\angleB為鈍角\Rightarrow\triangleABC為鈍角三角形\\(4)\bigcirc:\cosB={\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-\overline{AC}^2\over2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BC}}={-2\over10\sqrt2}=-{\sqrt2\over10}\Rightarrow\sinB={7\sqrt2\over10}\\(5)\times:{\overline{AC}\over\sinB}=2R\RightarrowR={1\over2}\times{\sqrt{17}\over7\sqrt2/10}={5\over14}\sqrt{34}\gt{5\over14}\times{28\over5}=2\RightarrowR\gt2\\\qquad註:{28\over5}=5.6\Rightarrow5.6^2=31.36\lt34\Rightarrow\sqrt{34}\gt{28\over5}\\,故選\bbox[red,2pt]{(1,4)}$$ 解答:$$為節省版面,令\vecu=\overrightarrow{AB},\vecv=\overrightarrow{AC},\vecp=\overrightarrow{AP},\vecq=\overrightarrow{AQ},\vecr=\overrightarrow{AR};\\(1)\times:若\cases{a=0.4\\b=0.05},則0\lta+b\lt1\Rightarrow\overrightarrow{AR}=0.4\cdot\overrightarrow{AB}+0\cdot\overrightarrow{AC}\RightarrowR\in\overline{AB},R不在內部\\(2)\times:\cases{|\overrightarrow{AP}|^2=|a\vecu+b\vecv|^2=a^2|\vecu|^2+b^2|\vecv|^2+2ab\vecu\cdot\vecv\\|\overrightarrow{AQ}|^2=|b\vecu+a\vecv|^2=b^2|\vecu|^2+a^2|\vecv|^2+2ab\vecu\cdot\vecv}\Rightarrow|\overrightarrow{AP}|^2-|\overrightarrow{AQ}|^2=(|\vecu|^2-|\vecv|^2)(a^2-b^2)\\\qquad由題意知:a\neb,除非\overline{AB}=\overline{AC},否則|\overrightarrow{AP}|\ne|\overrightarrow{AQ}|\\(3)\bigcirc:\triangleABP={1\over2}\sqrt{\mathcal{P}}={1\over2}\sqrt{|\vecu|^2|\vecp|^2-(\vecu\cdot\vecp)^2}\Rightarrow\mathcal{P}=|\vecu|^2|a\vecu+b\vecv|^2-(\vecu\cdot(a\vecu+b\vecv))^2\\\qquad=|\vecu|^2(a^2|\vecu|^2+b^2|\vecv|^2+2ab(\vecu\cdot\vecv))-(a|\vecu|^2+b(\vecu\cdot\vecv))^2\\\qquad=(a^2|\vecu|^4+b^2|\vecu|^2|\vecv|^2+2ab|\vecu|^2(\vecu\cdot\vecv))-(a^2|\vecu|^4+b^2(\vecu\cdot\vecv)^2+2ab|\vecu|^2(\vecu\cdot\vecv))\\\qquad=b^2(|\vecu|^2|\vecv|^2-(\vecu\cdot\vecv)^2)\\\qquad同理,\triangleACQ面積={1\over2}\sqrt{\mathcal{Q}}={1\over2}\sqrt{|\vecv|^2|\vecq|^2-(\vecv\cdot\vecq)^2}\Rightarrow\mathcal{Q}=|\vecv|^2|b\vecu+a\vecv|^2-(\vecv\cdot(b\vecu+a\vecv))^2\\\qquad=b^2(|\vecu|^2|\vecv|^2-(\vecu\cdot\vecv)^2)\\\qquad\Rightarrow \mathcal{P}=\mathcal{Q},即\triangleABP=\triangleACQ\\(4)\bigcirc:\cases{\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AQ}=(-a\vecu-b\vecv)+(a\vecv+b\vecu)= (a-b)(-\vecu+\vecv)\\\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-u+v}\\\qquad\Rightarrow\overrightarrow{PQ}\parallel\overrightarrow{BC}\Rightarrow\text{dist}(P,\overline{BC})=\text{dist}(Q,\overline{BC})\Rightarrow\triangleBCP面積=\triangleBCQ面積\\(5)\times:由(3)知:\triangleABP={1\over2}\sqrt{b^2(|\vecu|^2||\vecv|^2-(\vecu\cdot\vecv)^2}\Rightarrow\triangleABR={1\over2}\sqrt{(b-0.05)^2(|\vecu|^2||\vecv|^2-(\vecu\cdot\vecv)^2}\\\qquad若b=0.0001\Rightarrowb^2\lt(b-0.05)^2,此時\triangleABP\lt\triangleABR(本題無限制R在\triangleABC內)\\故選\bbox[red,2pt]{(3,4)}$$ 解答:$$(1)\bigcirc:g(x)=f(-x)-3=-ax^3+bx^2-cx+3-3=-ax^3+bx^2-cx\\\qquad\Rightarrow(0,0)在y=g(x)圖形上;又(1,0)為y=g(x)的對稱中心\Rightarrow(2,0)也在y=g(x)圖形上\\\qquad\Rightarrowg(0)=g(1)=g(2)=0\Rightarrowg(x)=0有三相異實根0,1,2\\(2)\bigcirc:由(1)知:g(x)=kx(x-1)(x-2)\Rightarrowg(-1)=-6k\lt0\Rightarrowk\gt0\Rightarrow-a\gt0\Rightarrowa\lt0\\(3)\times:y=g(x)的對稱中心坐標為({b\over3a},g({b\over3a}))=(1,0)\Rightarrow{b\over3a}=1\\\qquad\Rightarrowy=f(x)的對稱中心坐標為(-{b\over3a},f(-{b\over3a}))=(-1,f(-1)),\\\qquad又f(-x)=g(x)+3\Rightarrowf(-1)=g(1)+3=0+3=3\Rightarrowy=f(x)的對稱中心坐標為(-1,3)\\(4)\times:g(x)=kx(x-1)(x-2)\Rightarrowf(x)=k(-x)(-x-1)(-x-2)+3=-kx(x+1)(x+2)+3\\\qquad\Rightarrowf(100)=-k\cdot100\cdot101\cdot102+3\Rightarrow只要0\ltk
延伸文章資訊
- 1學測數A太難,老師盼「給學生一個不討厭數學的機會」
111學測被視為檢視新課綱成效的重要大考,但數A考完,不但考生哀鴻遍野,高中老師、大學教授也覺得違背課綱精神,強烈要求大考中心命題要有一定的信 ...
- 2學測數A頂標恐創新低!補教老師怒批「難寫到爆」 - 風傳媒
台北市補習教育事業協會今天邀集多名教師及優秀學生一同分析題目,解題教師柯文定接受媒體聯訪時無奈地說,去年學測數學已經是「史上最難」,但今年數A考 ...
- 3111年大學學測-數學A詳解 - 朱式幸福
111年大學學測-數學A詳解. 111學年度學科能力測驗試題-數學A考科. 一、單選題(占30 分). 解答:$$C^n_2 \gt 100 \Rightarrow {n(n-1)\over 2...
- 4數學好難救救我學測攻略看這邊!
對很多同學來說,數學可能是最讓人頭痛的科目,在段考或大考中卻也常常是決定勝負的關鍵,這裡跟大家分享幾個學測數學的重點準備要訣:1.
- 5數學考科
雖然在學測前,大考中心釋出的參考試卷及試辦考試試卷可供師生參考,但大家仍對. 此次學測數學A 考科是否別於以往學測及指考的難度有各自的看法。以下筆者先利用表.