角速度、轉動慣量（慣量矩）

角位移（及其他角相關量，如角速度）是向量嗎？ ... 與速度一次方有關的動量可以由質心動量來等同代表；然而，動能是速度的平方，因此質心動能無法代表系統總動能。

轉動(I)：圓周運動 角速度、向心力、轉動慣量（慣量矩）、   圓周運動與轉動（章節區分之方式） 圓周運動偏重（質點）系統的運動方式 轉動更注重物體本身 以下混用     轉動現象裏有沒有慣性？（再次從慣性談起） 無外力下，怎樣的轉動會發生，怎樣的不會發生。

想想看例子、忽轉忽停？越轉越快？瞬間停止轉動？ 再思考：無重力下轉棒球棒，它如何轉？ 轉法一、以垂直於棒子的線作為軸心轉動 轉法二、以棒子作為軸心轉動 合著轉？ 觀察結果：轉動似乎有其自然的中心（在那裏？）   歸納要點 一個物件的自然轉軸有好幾種方向 有轉動的那個軸不喜歡被改變方向（除非施力）   茶餘飯後討論 如果你要開發動畫遊戲，如何讓動作有真實感？（例：如何避免超不像的吊鋼絲） 另類教科書：遊戲物理學   課本話題：飛機在天上飛沒有路，它如何轉彎？   總之，我們要描述物體的運動，轉動是很重要的一部分。

    如何描述轉動現象？ 轉動的變數（參數）：角度 一個剛性物體（即它的各組成元素之間相對位置永遠不變） 需要軸心 角位置、角位移、角速度 ω=dθ/dt 以右手定則來定角速度的方向（即反時鐘方向是負的） 角位移（及其他角相關量，如角速度）是向量嗎？ 又來了一個有大小、有方向的東西。

對角位移而言，答案是否定的 ω=dθ/dt 不是向量 示範（或見課文說明），主要是交換律不成立 回顧：何謂向量（大學版） 不是向量，那又怎樣？ 角位移不適用向量加法，不能直接合成。

若不是向量，那為何要定"方向"？ 稍後會看見，它定義了角動量 無限小角度轉動才是（可證明） 為什麼要證這個奇怪的東西？就算它是對的。

  對於角速度而言 可視為向量，其方向定為平行於轉軸方向 http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity     角加速度 α=dω/dt 特例：等角加速度 它與等加速度運動的公式形式一模一樣（因為數學公式形式相同）     向心加速度與向心力   牛頓力學的描述有沒有包含轉動現象 絕對有   如何用套用在轉動(圓周運動)上？ 從質點（沒外形故無轉動上的問題）的觀點切入，建立質點移動與繞某軸心轉動的對照公式。

如下： v=(dθ/dt)×r=ω×r 其中v是速度向量（為保留r來作軸心到質點的向量，故本單元中避免用r作位置向量），ω是角速度 注意這是通式，細節會在後面再更具體定義。

  向心力 dv/dt=d(rω)/dt=(dr/dt)ω+r(dω/dt) 若等角速運動dω/dt=0，則dv/dt=a=vω 見課本9.4節的分析，方向是指向圓心   線性運動與轉動的關係 角位置、角位移（角位置差） 繞著質心轉的點，其角位移可由孤長s及質點與軸心距離r s=θr（孤長等於角度乘上半徑）   質點之速度與角速度間的關係 ds/dt=rdθ/dt v=ωr 值得注意的是，速度是向量，檢視我們定義角相關量的方向，歸納出以下的關係式 v=ω×r 題外話：v是向量，而ω卻不是   動量與角動量？ p=mv=mωr 動量與角動量並不是可以直接對等的東西，自轉中 （本小節為進階議題，在下一章一起討論） P=Sigmapi=Sigmamivi=Sigmamiomegari 想像一個旋轉中剛體互為軸心兩側的質點，動量互相抵消，但仍轉動得十分劇烈（或，質心動能為零），電風扇總動量是零，但我們還是不敢把手伸進去。

  前章己經建之過的性貨是：質心動量是系統的總動量，但卻沒有說質心的動能是系統的總動能。

質心的定義有位置的一次方，造成微分後的速度也是一次方，因此與速度一次方有關的動量可以由質心動量來等同代表；然而，動能是速度的平方，因此質心動能無法代表系統總動能。

（延伸問題：質心動能不是總動能，之外還有什麼動能嗎？）   角動量 另：專有名詞中並沒有一種叫作"角動能"的物理量，與動能有關的叫做"轉動動能"。

  角加速度與加速度 a=αr a=r×α（向量表示法） 常具特例：均勻圓周運動的向心加速度是a=v2/r（why?），套用v=ωr的公式，就得到a=ω2r 注意有兩個分量，徑向及切線方向，切線方向 at=αr 其中α是角加速度(α=dω/dt) 徑向 ar=ω2r   課本圖B9.14置轉盤越邊緣處之銅板越早被甩開     轉動(II) 轉動動能、轉動慣量（慣量矩）、力矩   轉動動能：動能（平移、移動）與轉動動能的表示轉換 K=Σ(1/2)mivi2 此時v=ωr K=Σ(1/2)mivi2=Σ(1/2)mi(ωri)2=(1/2)ω2[Σmiri2] 定義轉動慣量 I=Σmiri2 則 K=(1/2)Iω2 這是剛體的"轉動動能"，記得它完全可以由(1/2)mv2的基本形式得來。

    轉動慣量 轉動慣量重要性 轉動慣量是代表轉動慣性的重要物理量 轉動慣量的計算公式 I=Σmiri2 對於連續體，則為 I=∫r2dm 一些常見均勻物體的轉動慣量，見表H10-2,或B10-1 注意參考表中，"軸"的選取都通過質心，難到旋轉軸一定要通過質心？ 不是，外力造成的轉動可以選任何軸。

（若是無外力情況下呢？） 所幸，不必每次重新計算轉動慣量，我們有平行軸定理   平行軸定理（再次提醒：定理是可證明的） I=Icom+Mh2 習題：證明平行軸定理（見課本）   一個剛體即便無外力（矩）下，也可以有多個（通過質心）轉動軸，這將會在角動量守恆單元來說明     力與力矩 再次由質點系統出發，從F=ma有Ft=mat 定義力矩（及其等效表法） τ=(r)(Fsin(φ))=rFt=(rsin(φ))F 見課本圖H10-15的圖解     牛頓第二定律的力矩形式 τnet=Iα 上式可以再次透過質點系統證明（以下的力是合力） Ft=mat 同乘轉動半徑r，依力矩之定義 τ=rFt=rmat =rm(αr)=mr2α=Iα 得證     功與轉動動能 我們之前有功－動能定理，（課本複習式(10-49)~(10-51)）對於轉動而言（課本講"假設這是物體唯一改變的能量"， ΔK=Kf-Ki=W=∫τdθ 由此可見，轉動作功為： W=∫τdθ 習題：證明W=∫τdθ 式(10-52)~(10-55)的證明見(10-56)~(10-59)，大家要看習慣 等力矩特例下 W=τ(θf-θi)     角動量的量子化     平移與轉動的各相關公式對應 見課本表H10-3             例題 B9-4離心機 B9-5地球自轉造成的向心加速度與地球重力加速度比較 B9-6CDPlayer   10-1角位置與時間的關係 10-2由角加速度求角速度與角位置 10-3等角加速度的角度函數變化 10-4減速過程求等角加速度 10-5雲霄飛車頭痛症 10-6轉動慣量 10-7轉動慣量 10-8轉動動能 10-9滑輪 10-11轉動動能 10-12轉動運動方程式   習題 7 27 30 52 55 57 65 66     問題 待下一單元時一併討論