相對論

試想f = ma，a 是加速度，為位置對時間的二次微分，座標系之間無相對加速度（僅相對速度）者，應該會看到同樣的f = ma 公式，這可以從x'(t) = x(t) + v t 的轉換，會給 ... 相對論   對物理定律的期待 時時適用（古今） 現在學的定律，以後不能用？   處處適用（中外） 出國留學學的，回國竟不能用？   在運動中也對？ 一定不對，不然剎車為什麼會跌倒（不是靜者恆靜嗎？）（平移運動） 甩水桶轉，水不落下（離心力）；蘋果會掉下來（萬有引力），月球為什麼不會？（旋轉、轉動）   退一步，接受沒有運動（即靜止）時適用的規則作物理定律？ 那，什麼叫做"靜止"？ 如果沒法定出那一個絕對靜止的座標系，則退而求其次，希望(1)了解同一物理定律適用（物理現象的表現可以不同）的一系列參考座標。

並且(2)不同參考座標之間的現象，我們也可以精確轉換，也就是說，知道一的座標系中的現象大小，可以預測同一事件在另一個座標系被觀察到的大小。

  怎樣關係的兩個不互相靜止的座標系，最符合同一物理定律的要求？ 試想f=ma，a是加速度，為位置對時間的二次微分，座標系之間無相對加速度（僅相對速度）者，應該會看到同樣的f=ma公式，這可以從x'(t)=x(t)+vt的轉換，會給出一樣的a來了解。

  慣性座標 慣性座標系：意指未加速的座標，等速移動的座標系都算是。

一個有用的物理定律，是具有在慣性座標系間轉換的不變性(invariance)的。

例如牛頓運動定律之的f=ma，不管要用x的座標系還是x'的座標系來表示，只要它們都是無加速度的慣性座標系，也就是說x與x'之間的關係是用x=x'+vt，則f=ma及f'=ma'這樣的形式在任何慣性座標都是一樣的（大家可以自己代代看）。

（Maxwell方程比牛頓定律晚了200年，比伽利略晚300年。

） 伽利略與牛頓的時間與空間 那麼，在慣性座標系之間，與時間、空間有關的物理量如何轉換？以速度以例： 火車行駛時速五十公里、車上乘客靜在車廂內活動位置x'，則乘客對地面速度時速v，其對於地面的位置x可被表示為 x_ground=x_train+v_train*t   火車行駛時速五十公里、車上乘客向前以球速二十公里投擲棒球，則對於地面而言球速是時速七十公里。

速度會相加的這回事，若從寫公式的角度而言，推導過程如下： x_ball_ground=x_ball_train+v_train*t 其中 x_ball_train=x_ball_train_0+v_ball_train*t 上式代入上上式得 x_ball_ground=x_ball_train_0+v_ball_train*t+v_train*t 速率是位置隨時間變化 v_ball_ground=dx_ball_ground/dt=0+v_ball_train+v_train =v_ball_train+v_train 也就是說 70=50+20 這有什麼好其怪的？   問題是，以上算法是根據x=x'+vt公式，而不是實驗的結果。

（我們將會看到，即使進行實驗，只要v夠小(什麼叫夠小待會說明)，這個公式也是對的，人類不太有高速移動的經驗。

）       電、磁與馬克斯威爾方程式 電磁學從最早有庫倫定律（靜止電荷量、力、距離的關係）、到高斯定律（電荷如何在空間中建立電場）、以及安培定律（固定電流產生固定磁場）、法拉第定律（變化的磁場導致電流產生），最後再由馬克斯威爾引入位移電流而整合成美麗的四條一組方程式， 從數學形式上告訴我們電與磁隨時間的變化會形成波動，且波速是固定的常數值，原因如下： 上面這個對時間偏微分兩次、這個空間也偏微分兩次的方程式，具有波動方程式的特徵。

波速平方直接出現在係數中，但且慢，速度相加公式剛才才確認無誤，怎麼電磁波會不遵守？ 馬克斯威爾方程式難到在不同慣座標系間並不具不變性？若如此要用這個公式還得先說明是要用在那一個參考座標系，不太可能吧？但是，若它具不變性，則電磁波在任何慣性座標系都是固定值，真是不可思議。

會不會因為是波而不是粒子，速度在不同慣性座標系之間的轉換轉就不是用加的？其實不會，基於古典物理，不同觀察者，對波之特性的描述可由都卜勒公式得到。

    都卜勒聲學公式與Maxwell公式中的光速 靠近中的火車嗚笛音頻變高，遠離中的變低，這是因為聲源對傳聲媒介空氣作相對運動的結果。

頻率公式如下： 其中v、s、c分別是聽者、聲源，及波的速度。

      找尋以太（電磁波的傳播媒介） 馬克斯威爾一直認為有一種傳播電磁波的媒介，如同空氣之於聲音以及水面之於水波一樣。

但最大的問題是，觀察不到其應有的效應。

  補充：光速量測的歷史   Fizeau實驗 光速在介質中是慢下來的c/n，Fresnel認為流動介質會進一步部分地影響通過它的光束之光速。

他認為同方向移動介質（如流體）中的光速會是 而不是V=c/n+v，這樣他才能解釋為何地表周圍的以太似乎是靜止的，換言之，是因為上式括號裏的1-1/n2（即所謂的Fresnel拖曳係數(dragcoefficient)）很小，本該加上的流速v之效應才沒有突顯到介質中光速c/n上。

（另外，真空的折射率n=1，一般氣壓下空氣的折射率n=1.0003。

）   1851年Fizeau用干涉儀與鍍銀半透片進行了以下實驗(詳見維基百科,2)，並"印證"（僅10%誤差，見參考資料）了Fresnel的假想，他真的量到了上式 觀念示意圖   裝置示意圖 在當時，此結果支持了以太的存在。

（請注意，實驗並沒有量錯。

事實上後有Lorentz(1895)提出更精密的公式，由Zeeman(1914)證實。

從後世眼光看來，今天我們完全可以由相對論來理解這個現象。

）       邁可森－莫利(Michelson-Morley)之導致確定的光速恆定實驗（有人說這最有名的失敗實驗） 1887年， 可見光光波的波長非常短（3000埃到7000埃），光速也很快，因此差一點點距離就可以在干涉條紋上看出來。

地球有自轉及公轉，若以太在宇宙中是靜止，則地球對之有相對運動。

當然還是有人懷疑地球周圍的以太可能被地球帶著走，像大氣一樣。

但這想法並沒能提供有進一步證明或是反證的機會（然後相對論被實驗證實後，以太的不存在也就定案了）。

技術上，邁可森需要同一批光子（同調光）走互相垂直的兩個不同路徑。

Michelson-Morley實驗裝置如下： 兩臂各長11公尺，以大理石為底座，裝置浮在水銀上以減振，同時也可以轉動。

此實驗的分析 其分析如下：p1,p2,p3 結論是：而，它們是不一樣的。

    "沒有勞倫玆，就沒有相對論"--愛因斯坦 為了解釋上述以太實驗似乎地球對其無相對速度增加的疑點，勞倫玆首先提出以太會讓長度縮短的機制 如果它是真的，則套用在上述M-M實驗的結果上時，就會有 則兩臂的結果就真的一樣了。

  你可以想像，當時也有人認為這作法太人為了、不自然，應是權宜的作法。

    愛因斯坦提出的相對論公設 慣性座標中物理定律形式不變 所有慣性座標中光速恆定   預告重要的新觀念：「同時性」是相對而不是絕對的 與牛頓、伽利略時空觀很不同的結果是，在相對論之下沒有"同步時間流"這一回事，因此兩個事件是否"同時"發生是取決於觀察者的相對速度狀態，而非絕對的。

（以下，我們要開始允許定義t與t'為不同）   從愛因斯坦相對論導出勞倫玆轉換 （以下我們來看看，怎樣從愛因斯坦的相對論公設，來導出勞倫玆轉換） (a)圖顯示的是一個閃光偵檢器組，以及垂直於運動方向固定距離的鏡子。

整組裝置放在車上，車向右以u的速率移動。

在不喪失一般性的情況下，令地面歡察者的位置（也就是出發點處）是在x=0。

同樣一個"閃光、反射、偵測"的過程，隨車觀察者看到的是(a)標為primed(S')system；而地面觀察者看到的則是(b)標為un-primed(S)system 現在，隨車觀察者量得到過程時間t'，他要怎樣換算出地面觀察者量得到過程時間t？ 利用兩個系統的光速是一樣的（相對論公設） c'=2D/t' c=2√[D2+(ut/2)2]/t c'=c 即得到 2D/t'=2D√[1+(ut/(2D))2]/t t'=t/√[1+(ut/(2D))2] 這裏還有D，不過沒關係，D2=(ct/2)2-(ut/2)2，即(2D)2=(ct)2-(ut)2 因此上式中(ut/(2D))2=u2t2/(c2t2-u2t2)=u2/(c2-u2)，即 1+(ut/(2D))2= 1+u2/(c2-u2) =(c2-u2+u2)/(c2-u2)=c2/(c2-u2)=1/[1-(u/c)2]   t=t'/√[1-(u/c)2]   t=t0/√[1-(u/c)2]   還有，也可以這樣推 2(ct'/2)=2D =>ct'=2D 2(ct/2)=2√[D2+u2(t/2)2] =>c2t2=4D2+u2t2 =>(c2-u2)t2 =4D2 =>√[c2-u2] *t=2D 故 ct'=2D=t* √[c2-u2] =>t'=t*√[1-(u/c)2] =>t=t'/√[1-(u/c)2]   （又另一種推導法） 對於靜止座標系中的觀察者看起來，光走的路徑是斜邊，它的長度若是與平移的部分來比，基於光速固定原則，是c:u的比例，也就是說，（基於畢氏定理）與垂直邊的長度比例是c:sqrt(c2-u2)。

現在靜止觀察者替移動觀察者想，這道光在移動座標系中走的不是c比例的長而是sqrt(c2-u2)比例的長，而光線發射到偵測一樣是要滿足dx2-c2t2=0的情況下，唯有(靜止觀察者認為移動觀察者的)時鐘變慢。

sqrt(c2-u2)t=ct' t=t'/sqrt[1-(u/c)2]   重要結論:不只空間座標要轉換，時間的也要。

  同時性是相對的 範例:車廂中間點向前後同時發球車上觀察者認為同時到達，地面觀察者認為不同時到達。

(其他類似的有趣例子還很多)   都學過R，知道設身處地，即可互通   全新的時空舞台:座標、長度、時間、速度相加、質能互換 在靜止的觀察者看來，在動的動體或系統會： 長度縮短 如何測量運動體的長度？ 標定頭尾，記錄時間差。

頭尾距離=栘動速率×頭尾時間差 長度縮約的推導 幾個狹義相對論關係量進一步的推導 羅勞倫玆轉換的推導與時空間距不變性的證明           時間膨脹(TimeDilation) 利用畢氏定理，並認定光在任何慣性座標都是同一個值c。

(註:上圖中之t即t0也就是上一節式子的t') 質量增加 （一些專家主張只談"靜止質量"與"相對運動下的動量"，避免談這種隨速度改變之談相對質量。

） 自動幫你試算的網頁http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/tdil.html   速度相加公式 愛因斯坦推導出 有別於伽利略的 其中c是光速。

  質能互換 E=mc2 此式的推導，要從動量-能量關係 考慮出發，詳請下： （一個幫助你想像能量與質量為何是等效、能互換的圖像，基於愛因斯坦早期講課時的思考式實驗推導，利用光子，見連結）   座標轉換 勞倫玆轉換(閔可夫斯基轉換) 如上述，荷蘭科學家勞倫玆在眾人想"修正"馬克斯威爾方程式不符合伽利略轉換時，發現了用下列方式組去轉換（轉換兩個不同的慣性座標系觀察者所描述的數據）的話，馬克斯威爾方程式可保持原來的形式：   其中β是v/c。

  新的動量與能量公式 動量 不再是p=mv，而是 p=γmu 其中u是某觀察者看到的速度，而m永遠指的是靜止質量。

這樣定才能滿足動量相關定律（如動量守恆）在相對論中對所有觀察者定律不變。

  Halliday課本教法如下：需重新定義動量，以使動量守恆定律適用於不同相對速度的觀察者： p=m×觀察者座標系中之距離/靜止座標系中之時間=mΔx/Δt0   力 力的正確公式是 F=dp/dt  （不能再用F=ma，即使有所謂的相對性質量mr，也不能直接把mr代入F=mra，Giancoli叮嚀） （為什麼一定要這樣定?重4-vector,4-velocity,4-momentum一路推廣就很清楚）   能量 先只考慮動能（位能在此無關），本來是1/2mv2，但在相對論下，動量定義已經不同，   能量公式的推導 W=∫Fdx=∫dp/dtdx 其中dp/dt=d(γmu)/dt=m/[(1-v2/c2)(3/2)]dv/dt （積分過程見維基百科連結，其中利用了四維動量的不變性） 功－動能定理繼續適用，即ΔK=W，則得 K=(γ-1)mc2 故 E =γmc2 上式E是相對論下之總能   動量－能量關係 非相對論下E=p2/2m，在相對論下 由於E=γmc2、p=γmv，而有 E2=p2c2+m2c4 請注意這個式子中沒有γ、β等相對速度有關的量，上式是一個滿足不變性的方程式。

其中 m2c4=E2-p2c2或m2=(E/c)2-p2是一個座標轉換不變量。

  最有名的物理公式 上式E2=p2c2+m2c4，在靜止的狀態（或座標系）v=0，故p=γmv=0 得E2=m2c4，即 E=mc2   E=mc2最早是怎麼得到的？ 愛因斯坦最早發現這關係的情況，是當他寫下相對論動能，而要求當速度遠遠小於光速時，應該要看到(1/2)mv2的牛頓力學形式。

他的確是有看到，但卻還多了一個與質量有關的常數項mc2。

物理中最有名的公式於是被發現。

以下展開公式， 套用在γ與β的關係式，在β很小的情況下，γ可以近似為   愛因斯坦在尋求獲得相對論之能量（動能）之時，藉由考慮低速下動能應該要重現1/2mv2的結果，發現必需減去一個常數項mc2才可得到， 說明如下： 動能K=(γ-1)mc2=mc2/√[1-(v/c)2] -mc2 當v<