费曼-海尔曼定理- 维基百科，自由的百科全书

量子力学中，费曼–海尔曼定理描述的是一个体系的能量对某个参量的导数与哈密顿量算符对同一参量的导数的期望值之间的关系。

根据这一定理，通过求解薛定谔方程得到电子 ... 费曼-海尔曼定理 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 量子力学中，费曼–海尔曼定理描述的是一个体系的能量对某个参量的导数与哈密顿量算符对同一参量的导数的期望值之间的关系。

根据这一定理，通过求解薛定谔方程得到电子密度的空间分布后，体系中的所有力都能通过经典静电学求出。

该理论分别被不同的物理学家独立地证明过，包括PaulGüttinger（1932）[1]、泡利（1933）[2]、海尔曼（1937）[3]以及费曼（1939）。

[4] 该定理的表达式如下： d E d λ = ∫ ψ ∗ ( λ ) d H ^ λ d λ ψ ( λ )   d τ , {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}E}{{\rm{d}}{\lambda}}}=\int{\psi^{*}(\lambda){\frac{{\rm{d}}{{\hat{H}}_{\lambda}}}{{\rm{d}}{\lambda}}}\psi(\lambda)\{\rm{d}}\tau},} 式中 H ^ λ {\displaystyle{\hat{H}}_{\lambda}} 表示依赖于连续变化的参变量 λ {\displaystyle\lambda} 的哈密顿量； ψ ( λ ) {\displaystyle\psi(\lambda)\,} 是该哈密顿量的本征函数，通过哈密顿量间接依赖于 λ {\displaystyle\lambda} ； E {\displaystyleE\,} 为能量，即哈密顿量的本征值； d τ {\displaystyle{\rm{d}}\tau} 为积分微元。

上述积分在全空间进行。

随时间变化的波函数的费曼–海尔曼定理[编辑] 因为一个一般的随时间变化的波函数满足含时薛定谔方程，所以费曼–海尔曼定理不再适用。

但是，该波函数满足以下关系： ⟨ Ψ λ ( t ) | ∂ H λ ∂ λ | Ψ λ ( t ) ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t ⟨ Ψ λ ( t ) | ∂ Ψ λ ( t ) ∂ λ ⟩ {\displaystyle{\bigg\langle}\Psi_{\lambda}(t){\bigg|}{\frac{\partialH_{\lambda}}{\partial\lambda}}{\bigg|}\Psi_{\lambda}(t){\bigg\rangle}=i\hbar{\frac{\partial}{\partialt}}{\bigg\langle}\Psi_{\lambda}(t){\bigg|}{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partial\lambda}}{\bigg\rangle}} 其中ψ满足： i ℏ ∂ Ψ λ ( t ) ∂ t = H λ Ψ λ ( t ) {\displaystylei\hbar{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partialt}}=H_{\lambda}\Psi_{\lambda}(t)} 证明[编辑] 以下证明只依赖于薛定谔方程，以及对于λ和t求偏导时，可以互换顺序的假设。

⟨ Ψ λ ( t ) | ∂ H λ ∂ λ | Ψ λ ( t ) ⟩ = ∂ ∂ λ ⟨ Ψ λ ( t ) | H λ | Ψ λ ( t ) ⟩ − ⟨ ∂ Ψ λ ( t ) ∂ λ | H λ | Ψ λ ( t ) ⟩ − ⟨ Ψ λ ( t ) | H λ | ∂ Ψ λ ( t ) ∂ λ ⟩ = i ℏ ∂ ∂ λ ⟨ Ψ λ ( t ) | ∂ Ψ λ ( t ) ∂ t ⟩ − i ℏ ⟨ ∂ Ψ λ ( t ) ∂ λ | ∂ Ψ λ ( t ) ∂ t ⟩ + i ℏ ⟨ ∂ Ψ λ ( t ) ∂ t | ∂ Ψ λ ( t ) ∂ λ ⟩ = i ℏ ⟨ Ψ λ ( t ) | ∂ 2 Ψ λ ( t ) ∂ λ ∂ t ⟩ + i ℏ ⟨ ∂ Ψ λ ( t ) ∂ t | ∂ Ψ λ ( t ) ∂ λ ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t ⟨ Ψ λ ( t ) | ∂ Ψ λ ( t ) ∂ λ ⟩ {\displaystyle{\begin{aligned}{\bigg\langle}\Psi_{\lambda}(t){\bigg|}{\frac{\partialH_{\lambda}}{\partial\lambda}}{\bigg|}\Psi_{\lambda}(t){\bigg\rangle}&={\frac{\partial}{\partial\lambda}}\langle\Psi_{\lambda}(t)|H_{\lambda}|\Psi_{\lambda}(t)\rangle-{\bigg\langle}{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partial\lambda}}{\bigg|}H_{\lambda}{\bigg|}\Psi_{\lambda}(t){\bigg\rangle}-{\bigg\langle}\Psi_{\lambda}(t){\bigg|}H_{\lambda}{\bigg|}{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partial\lambda}}{\bigg\rangle}\\&=i\hbar{\frac{\partial}{\partial\lambda}}{\bigg\langle}\Psi_{\lambda}(t){\bigg|}{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partialt}}{\bigg\rangle}-i\hbar{\bigg\langle}{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partial\lambda}}{\bigg|}{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partialt}}{\bigg\rangle}+i\hbar{\bigg\langle}{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partialt}}{\bigg|}{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partial\lambda}}{\bigg\rangle}\\&=i\hbar{\bigg\langle}\Psi_{\lambda}(t){\bigg|}{\frac{\partial^{2}\Psi_{\lambda}(t)}{\partial\lambda\partialt}}{\bigg\rangle}+i\hbar{\bigg\langle}{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partialt}}{\bigg|}{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partial\lambda}}{\bigg\rangle}\\&=i\hbar{\frac{\partial}{\partialt}}{\bigg\langle}\Psi_{\lambda}(t){\bigg|}{\frac{\partial\Psi_{\lambda}(t)}{\partial\lambda}}{\bigg\rangle}\end{aligned}}} 参考[编辑] ^Güttinger,P.DasVerhaltenvonAtomenimmagnetischenDrehfeld.Z.Phys.1932,73(3–4):169.Bibcode:1932ZPhy...73..169G.doi:10.1007/BF01351211.  ^Pauli,W.PrinciplesofWaveMechanics.HandbuchderPhysik24.Berlin:Springer.1933:162.  ^Hellmann,H.EinführungindieQuantenchemie.Leipzig:FranzDeuticke.1937:285.OL 21481721M.  ^Feynman,R.P.ForcesinMolecules.Phys.Rev.1939,56(4):340.Bibcode:1939PhRv...56..340F.doi:10.1103/PhysRev.56.340.  取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=费曼-海尔曼定理&oldid=64690946” 分类：​量子力学物理定理理查德·费曼 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 其他语言 DeutschEnglishEspañolFrançaisItaliano日本語한국어PolskiPortuguêsРусскийУкраїнська 编辑链接