定积分 - 数学乐

积分面积. 我们可以把曲线下面的面积切成一片片，当这些片的宽度趋近零时，它们面积的和便是曲线下面的 ... 例子：. 2x dx 从1 到2 的定积分：. 定积分2x dx 从1 到 2. 定积分 你也许想先阅读积分入门！ 积分 积分可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。

我们时常用积分来求函数曲线下面的面积。

像这样：   我们可以把曲线下面的面积切成一片片，当这些片的宽度趋近零时，它们面积的和便是曲线下面的面积： 也有积分法则来帮我们求答案。

  记法 "积分"的符号像英语字母"S" （源自英语"Sum"（总和））：   把要求积分的函数（叫被积函数）放在积分符号后面， 最后放dx来代表积分的方向是x（片沿x的宽度趋近零）。

定积分 定积分有起点和终点：有从a到b的区间。

起点和终点的值放在"S"符号的下面和上面，像这样：   不定积分 （没有指定值）   定积分 （从a到b） 定积分是不定积分在a和b的值的差： 例子： 2x dx从1到2的定积分：   不定积分是：∫2xdx=x2+C 在x=1：∫2xdx=12+C 在x=2：∫2xdx=22+C 减： (22+C)−(12+C) 22+C−12−C 4−1+C−C=3 "C"被消去……所以求定积分时我们可以不理C。

答案可以直接写为：   我们可以求那个图形（梯形）的面积来检验答案： 对了，面积是3. （不赖！） 再看一个例子： 例子： cos(x)dx从0.5到1.0的定积分： （注意：x的单位一定要是弧度）   不定积分是：∫cos(x)dx=sin(x)+C C可以不理（如上）：   =sin(1)−sin(0.5)     =0.841……−0.479……     =0.362…… 现在我们用以下的例子来表明一个论点： 例子： sin(x)dx从0到1的定积分：   不定积分是：∫sin(x)dx=−cos(x)+C 起点是0，那么我们可不可以求x=1的值为面积？ −cos(1)=−0.540…… 什么？在x=1的面积是负数？不，我们一定要减去积分在x=0的值，我们不可以假设它是零。

正确的做法是求两个值的差（C会消去，所以不用写下来）：   =−cos(1)−(−cos(0))     =−0.540……−(−1)     =0.460…… 像样多了！ 但若曲线是在轴的下面，便真的可以有负的面积： 例子： cos(x)dx从1到3的定积分： 注意曲线有正的部分，也有负的部分。

定积分是净面积的值。

  不定积分是：∫cos(x)dx=sin(x)+C 计算：   =sin(3)−sin(1)     =0.141……−0.841……     =−0.700…… 试试用不同的起点和终点来求cos(x)的定积分，来更加了解有正值和负值的函数的定积分。

可是，有时我们需要实际面积（不减去负的部分）： 例子：从x=1到x=3，y=cos(x)和x轴之间的面积是多少？ 这和上面的例子差不多，不过面积是个正数（想象你需要为它涂色）。

我们要把两个部分分开来做： 一部分是x轴上面的面积 一部分是x轴下面的面积 曲线在x=π/2经过x轴，所以：   π/2 ∫ 1 cos(x)dx=sin(π/2)−sin(1)    =1−0.841…… =0.159……   3 ∫ π/2 cos(x)dx=sin(3)−sin(π/2)    =0.141...−1  =−0.859…… 最后一个是负值，但我们要正值，所以： 总面积=0.159……+0.859……=1.018…… 答案和上面的例子相差很大。

连续 求积分的函数在a和b之间一定要是连续的：没有缺口、间隙或垂直渐近线（函数向上或下趋向无穷大）。

例子： 在a和b之间的垂直渐近线对定积分有影响。

属性 倒转区间 把区间倒转后，定积分是原来定积分的负值。

  零长度的区间 若起点等于终点，定积分的值是零：   区间相加 我们也可以把两个区间的定积分相加： 总结 从a到b的定积分是用在b的不定积分减去在a的不定积分。

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