數學之旅：三角形面積公式(III) - 科學Online

99學年度學科能力測驗數學考科選填題A題即根據此觀念解題：. A. 坐標平面上有一個平行四邊形ABCD，其中點A的坐標為(2,1)，點B的坐標為( ... Friday23rdSeptember2022 23-Sep-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 數學之旅：三角形面積公式(III) (MathematicalJourneythroughtheFormulasofTriangleArea) 國立蘭陽女中陳敏晧教師 連結：數學之旅：三角形面積公式(II)  當數學旅程來到向量(vector)，我們想要了解如何從向量幾何觀點來導出三角形面積公式， 亦即當\(A(x_1,~y_1),B(x_2,~y_2),C(x_3,~y_3),\)時， 首先我們定義向量\(\vec{AB}=B-A=(x_2,~y_2)-(x_1,~y_1)=(x_2-x_1,~y_2-y_1)\)， 並且定義\(|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\overline{AB}\)的長度， 另一先備知識為\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)，其中\(\theta\)為兩向量\(\vec{a},\vec{b}\)之夾角， 此時，如圖一所示，三角形面積公式為\(a\triangleABC=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}\)。

證明：根據數學之旅：三角形面積公式(I)中所述\(a\triangleABC=\displaystyle\frac{1}{2}bc\sinA\)， 所以，\(a\triangleABC=\displaystyle\frac{1}{2}|\vec{AB}||\vec{AC}|\sinA=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2\sin^2A}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2(1-\cos^2A)}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2-(|\vec{AB}||\vec{AC}|\cosA)^2}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}\)，這個面積公式可以適用於平面幾何與空間幾何。

圖一作者陳敏晧繪 進一步延伸，若在座標平面上，令\(\vec{AB}=(a,~b)\)、\(\vec{AC}=(c,~d)\)，則三角形面積公式轉換成 \(a\triangleABC=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(a^2+b^2)\cdot(c^2+d^2)-(ac+bd)^2}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2)-(a^2c^2+2acbd+b^2d^2)}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{a^2d^2-2adbc+b^2c^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(ad-bc)^2}=\displaystyle\frac{1}{2}|ad-bc|\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}a&b\\c&d\end{Vmatrix}\)。

其中行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)。

99學年度學科能力測驗數學考科選填題A題即根據此觀念解題： A.   坐標平面上有一個平行四邊形ABCD，其中點A的坐標為(2,1)，點B的坐標為(8,2)，點C在第一象限且知其x坐標為12。

若平行四邊形ABCD的面積等於38平方單位，則點D的坐標為____。

解法： 假設頂點\(C(12,~t)\)，如圖二所示，因為平行四邊形的對角線將平行四邊形分成兩個全等三角形， 即\(a\unicode{x25B1}ABCD=2a\triangleABC\)，所以，\(38=2a\triangleABC\)，得\(a\triangleABC=19\)， 根據向量座標化的定義，\(\vec{AB}=B-A=(8,~2)-(2,~1)=(6,~1)\)，\(\vec{AC}=C-A=(12,~t)-(2,~1)=(10,~t-1)\)， 利用三角形面積公式\(19=\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}6&1\\10&t-1\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}3&1\\5&t-1\end{Vmatrix}=|3(t-1)-5|=|3t-8|\)， 去絕對值得\(3t-8=19~or~-19\)，即\(t=9\)(合)or\(\displaystyle-\frac{11}{3}\)(不合)，得\(C(12,~9)\)， 最後利用平行四邊形對邊平行且相等的性質，也就是\(\vec{AB}=\vec{DC}\)，所以\(B-A=C-D\)， 最後得\(D=A+C-B=(2,~1)+(12,~9)-(8,~2)=(6,~8)\)。

圖二作者陳敏晧繪 透過平面三角形面積公式及利用行列式的性質，我們可以進一步將平面三點面積轉換： 若\(A(x_1,~y_1),~B(x_2,~y_2),~C(x_3,~y_3)\)，則\(a\triangleABC=\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}x_1&x_2&x_3&x_1\\y_1&y_2&y_3&y_1\end{Vmatrix}\)， 我們不仿來檢驗一下上題的數據，將\(A(2,~1),~B(8,~2),~C(12,~9)\)代入 \(a\triangleABC=\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}2&8&12&2\\1&2&9&1\end{Vmatrix}=\displaystyle\frac{1}{2}\left|(2\times2–1\times8)+(8\times9–2\times12)+(12\times1–9\times2)\right|=\displaystyle\frac{1}{2}\times38=19\) ，正確無誤。

這個神奇的公式可以推廣到n多邊形， 若其點座標分別為\(A_1(x_1,~y_1),~A_2(x_2,~y_2),~A_3(x_3,~y_3),~A_4(x_4,~y_4),……,~A_n(x_n,~y_n)\)， 此時，n多邊形的面積為 \(\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&…&x_1\\y_1&y_2&y_3&y_4&y_5&…&y_1\end{Vmatrix}\)， 如圖三所示， 讀者可以想像將n多邊形的圖形從頂點A出發， 畫出對角線\(\overline{A_1A_3},~\overline{A_1A_4},~\overline{A_1A_5},…,~\overline{A_1A_{n-1}}\)， 因此，n多邊形的面積為\(\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&…&x_1\\y_1&y_2&y_3&y_4&y_5&…&y_1\end{Vmatrix}\)。

圖三作者陳敏晧繪 連結：數學之旅：三角形面積公式(Ⅳ)  參考文獻 99學年度學科能力測驗數學考科試題(2010)。

財團法人大學入學考試中心。

台北。

Tags:三角形面積公式,向量幾何,行列式 前一篇文章下一篇文章 Thereare3commentsforthisarticle 這一篇用MathJax呈現數學算式,版面看來好看許多,只是以前寫的要改,看來是工程浩大… DearJoe 是的，工程仍在進行中XD 感謝您的支持跟鼓勵！ 管理員敬上 一開始的向量AB定義有誤喔！是Y2-Y1才對。

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