动能- 维基百科，自由的百科全书

动能是物质运动时所得到的能量。

它通常被定义成使某物体从静止状态至运动状态所做的功。

由于运动是相对的，动能也是相对于某参照系而言。

同一物体在不同的参照系会有 ... 动能 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 車子在斜坡上的位置不同，其動能與势能（位能）亦不相同。

动能是物质运动时所得到的能量。

它通常被定义成使某物体从静止状态至运动状态所做的功。

由于运动是相对的，动能也是相对于某参照系而言。

同一物体在不同的参照系会有不同的速率，也就是有不同的动能。

动能的国际单位是焦耳（J），以基本单位表示是千克米平方每秒平方（kg·m2·s-2）[1]。

一个物体的动能只有在速率改变时才会改变。

目录 1经典力学 1.1推导与定义 1.2自转的物体 2相对论 2.1極限 3参考文献 4參見 经典力学[编辑] 在经典力学，一个质点（一个很小的物体，它的大小基本可以忽略）或者一个没有自转的刚体的动能、速率与质量的关系是： E k = 1 2 m v 2 {\displaystyleE_{k}={\frac{1}{2}}mv^{2}} 其中 E k {\displaystyleE_{k}} 代表动能， m {\displaystylem} 代表质量及 v {\displaystylev} 代表速率。

[1] 而当一个物体的质量不变，一个物体平移的动能、速率与质量的关系亦同上 一个物体的动能与動量的关系为： E k = p 2 2 m {\displaystyleE_{k}={\frac{p^{2}}{2m}}} 其中 E k {\displaystyleE_{k}} 代表动能， p {\displaystylep} 代表动量的数值及 m {\displaystylem} 代表质量。

推导与定义[编辑] 我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。

一个物体原来静止，在受到作用力之后便加速。

它所得到的动能是总共的作用力对它所做的功。

W = ∫ F → ⋅ d s → {\displaystyleW=\int{\vec{F}}\cdotd{\vec{s}}} 其中 W {\displaystyleW} 代表功， F → {\displaystyle{\vec{F}}} 代表物体所受到的总共的作用力， s → {\displaystyle{\vec{s}}} 代表物体的位移。

根据牛顿第二定律， F → = d p → d t {\displaystyle{\vec{F}}={\frac{d{\vec{p}}}{dt}}} 其中 F → {\displaystyle{\vec{F}}} 代表力， p → {\displaystyle{\vec{p}}} 代表动量和 t {\displaystylet} 代表时间。

动量、速度与质量的关系为： p → = m v → {\displaystyle{\vec{p}}=m{\vec{v}}} 其中 p → {\displaystyle{\vec{p}}} 代表动量， m {\displaystylem} 代表质量及 v → {\displaystyle{\vec{v}}} 代表速率。

在牛顿力学中，一个物体的质量不随速率的改变而改变。

W = ∫ d p → d t ⋅ d s → = ∫ m d v → d t ⋅ d s → = ∫ m v → ⋅ d v → = 1 2 ∫ m d ( v → ⋅ v → ) = 1 2 m v 2 + C 0 {\displaystyleW=\int{\frac{d{\vec{p}}}{dt}}\cdotd{\vec{s}}=\intm{\frac{d{\vec{v}}}{dt}}\cdotd{\vec{s}}=\intm{\vec{v}}\cdotd{\vec{v}}={\frac{1}{2}}\intmd({\vec{v}}\cdot{\vec{v}})={\frac{1}{2}}mv^{2}+C_{0}} 其中 W {\displaystyleW} 代表功， p → {\displaystyle{\vec{p}}} 代表动量， t {\displaystylet} 代表时间， v → {\displaystyle{\vec{v}}} 代表速度， v {\displaystylev} 代表速率， m {\displaystylem} 代表质量， C 0 {\displaystyleC_{0}} 代表不定常数。

当物体的速率为零时，其动能亦为零。

因此， E k = 1 2 m v 2 {\displaystyleE_{k}={\frac{1}{2}}mv^{2}} 其中 E k {\displaystyleE_{k}} 代表动能， m {\displaystylem} 代表质量及 v {\displaystylev} 代表速率。

自转的物体[编辑] 如果一个物体自转，它便有自转动能。

自转动能是它的每一质点的平移动能的和。

E r = 1 2 ∫ v 2 d m = 1 2 ∫ r 2 ω 2 d m = 1 2 ω 2 ∫ r 2 d m = 1 2 I ω 2 {\displaystyleE_{r}={\frac{1}{2}}\intv^{2}dm={\frac{1}{2}}\intr^{2}\omega^{2}dm={\frac{1}{2}}\omega^{2}\intr^{2}dm={\frac{1}{2}}I\omega^{2}} 其中 E r {\displaystyleE_{r}} 代表自转动能， v {\displaystylev} 代表速率， ω {\displaystyle\omega} 代表角速度， m {\displaystylem} 代表质量及 r {\displaystyler} 代表质点到旋转轴间的距离。

相对论[编辑] 在狭义相对论中，我们必须改变线性动量的表达式。

使用 m {\displaystylem} 表示静止质量， v {\displaystyle\mathbf{v}} 和 v {\displaystylev} 分别表示物体的速度和速率， 而 c {\displaystylec} 表示真空中的光速，我们假设线性动量 p = m γ v {\displaystyle\mathbf{p}=m\gamma\mathbf{v}} ，其中 γ = 1 / 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle\gamma=1/{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}} 分部积分得到 E k = ∫ v ⋅ d p = ∫ v ⋅ d ( m γ v ) = m γ v ⋅ v − ∫ m γ v ⋅ d v = m γ v 2 − m 2 ∫ γ d ( v 2 ) {\displaystyleE_{\text{k}}=\int\mathbf{v}\cdotd\mathbf{p}=\int\mathbf{v}\cdotd(m\gamma\mathbf{v})=m\gamma\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}-\intm\gamma\mathbf{v}\cdotd\mathbf{v}=m\gammav^{2}-{\frac{m}{2}}\int\gammad(v^{2})} 回忆 γ = ( 1 − v 2 / c 2 ) − 1 / 2 {\displaystyle\gamma=(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\!} ，我们得到： E k = m γ v 2 − − m c 2 2 ∫ γ d ( 1 − v 2 / c 2 ) = m γ v 2 + m c 2 ( 1 − v 2 / c 2 ) 1 / 2 − E 0 {\displaystyle{\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gammav^{2}-{\frac{-mc^{2}}{2}}\int\gammad(1-v^{2}/c^{2})\\&=m\gammav^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}-E_{0}\end{aligned}}} 其中 E 0 {\displaystyleE_{0}} 作为积分常数。

于是: E k = m γ ( v 2 + c 2 ( 1 − v 2 / c 2 ) ) − E 0 = m γ ( v 2 + c 2 − v 2 ) − E 0 = m γ c 2 − E 0 {\displaystyle{\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma(v^{2}+c^{2}(1-v^{2}/c^{2}))-E_{0}\\&=m\gamma(v^{2}+c^{2}-v^{2})-E_{0}\\&=m\gammac^{2}-E_{0}\end{aligned}}} 通过观察 v = 0 ,   γ = 1 {\displaystyle\mathbf{v}=0,\\gamma=1\!} 且 E k = 0 {\displaystyleE_{\text{k}}=0\!} ，得到积分常数 E 0 {\displaystyleE_{0}} 应为 E 0 = m c 2 {\displaystyleE_{0}=mc^{2}\,} 并给出通常的公式 E k = m γ c 2 − m c 2 = m c 2 1 − v 2 / c 2 − m c 2 {\displaystyleE_{\text{k}}=m\gammac^{2}-mc^{2}={\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}} 極限[编辑] lim v → c E k = ∞ {\displaystyle\lim_{v\rightarrowc}E_{\text{k}}=\infty} 當速度趋向光速，動能趋向無限，因此限制了速度的上限為光速，體現了相對論的自恰性。

利用泰勒公式： E k = m c 2 1 − ( v / c ) 2 − m c 2 = m c 2 ( 1 + 1 2 v 2 / c 2 + 3 8 v 4 / c 4 + ⋯ ) − m c 2 = m c 2 + m v 2 2 + 3 8 m v 4 / c 2 + ⋯ − m c 2 ≈ 1 2 m v 2 {\displaystyle{\begin{aligned}E_{\text{k}}&={\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}\\&=mc^{2}(1+{\frac{1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac{3}{8}}v^{4}/c^{4}+\cdots)-mc^{2}\\&=mc^{2}+{\frac{mv^{2}}{2}}+{\frac{3}{8}}{mv^{4}/c^{2}}+\cdots-mc^{2}\\&\approx{\frac{1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}} 低速情況下，相對論中的表達式趨向於經典力學中的表達式。

参考文献[编辑] ^1.01.1赵志敏.高中物理竞赛教程.基础篇.复旦大学出版社.2011年10月:P139.ISBN 978-7-309-08251-7.  參見[编辑] 势能（又称“位能”） 机械能 能量 相对论 牛顿运动定律 查论编经典力学表述形式 矢量力学 分析力学（拉格朗日力学 哈密頓力學） 基础概念 空间 时间 速度 加速度 质量 引力 力矩 參考系 力 力偶 冲量 动量 刚体 角动量 慣性 轉動慣量 能量 动能 位能 虛功 作用量 拉格朗日量 哈密頓量 功 重要理论 牛顿运动定律 胡克定律 牛顿万有引力定律 簡諧運動 達朗貝爾原理 歐拉方程式 哈密頓原理 拉格朗日方程式 最小作用量原理 应用 简单机械 斜面 杠杆 滑轮 螺旋 楔子 輪軸 科学史 发展史 开普勒 牛頓 歐拉 達朗貝爾 哈密頓 赫茲 拉格朗日 拉普拉斯 伽利略 雅可比 諾特 分支 静力学 動力學 運動學 工程力學 天體力學 連續介質力學 統計力學 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=动能&oldid=68684906” 分类：​動力學能量基本物理概念 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 在其他项目中 维基共享资源 其他语言 Afrikaansالعربيةঅসমীয়াAsturianuAzərbaycancaBikolCentralБеларускаяБеларуская(тарашкевіца)БългарскиবাংলাBosanskiCatalàČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisFryskGaeilgeKriyòlgwiyannenGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiKreyòlayisyenMagyarՀայերենBahasaIndonesiaIdoÍslenskaItaliano日本語PatoisJawaქართულიҚазақшаಕನ್ನಡ한국어LatinaLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംमराठीBahasaMelayuनेपालीNederlandsNorsknynorskNorskbokmålOccitanਪੰਜਾਬੀPolskiPiemontèisپنجابیPortuguêsRomânăРусскийScotsSrpskohrvatski/српскохрватскиසිංහලSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaChiShonaSoomaaligaShqipСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்తెలుగుไทยTürkçeТатарча/tatarçaУкраїнськаاردوOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệtWinarayWolof吴语ייִדיש文言粵語 编辑链接