Coordinates with Respect to a Basis | 數學（星空圖）

影片：Linear Algebra: Coordinates with Respect to a Basis，數學（星空圖） > 線性代數。

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x 載入中... 相關課程 Back LinearAlgebra:CoordinateswithRespecttoaBasis 登入觀看 ⇐Usethismenutoviewandhelpcreatesubtitlesforthisvideoinmanydifferentlanguages. You'llprobablywanttohideYouTube'scaptionsifusingthesesubtitles. LinearAlgebra:CoordinateswithRespecttoaBasis : Understandingalternatecoordinatesystems 上傳學習單 下載學習單 相關課程 0/750 已知Rn中的一個次空間 假設V是Rn的一個次空間 假設集合B――我用藍色的來寫―― 假設B是V的一組基底 其中含有一些向量 假設它們是v1,v2,...,vk 也就是有k個向量 所以V是一個k維次空間 這表明如果有某個向量a―― 假設已知某個向量a 它在次空間中―― 這表明可以將a表成 這些向量的線性組合 所以可以將a寫成 某個常數乘以第一個基向量 加上某個常數 乘以第二個基向量 然後一直做下去 直到第k個常數乘以第k個基向量 我們過去對“坐標”這個術語的使用 是很寬松的 我們現在要給它一個更精確的定義 我稱這些常數爲c1c2 直到ck 稱它們爲―― 我換種顏色―― a在基底B下的坐標 是關於基底B的 我們也可以這樣寫 已知向量a 已知向量a 如果我要將向量a的坐標 在基底B下表示出來 我就應該這樣寫 給它加上括號 把基底標注在這裡 這表示我寫的是 在這個基底下的坐標 我一會就這樣寫 我把權重寫在這 也就是常數項 它是線性組合中的常數項 常數項與基向量相乘就得到向量a 這是c1c2直到ck 有一個有意思的事情 我要指出來 V是Rn的基 所以V中的任何向量都在Rn中 但是V有k個基向量 它的維數是k k可以大到與n相等 的也有可能小一些 也許有R3中的兩個基向量 這樣的話V就是R3中的平面 我們可以將它抽象到高維空間中 但是當具體指水輪發電機定次空間的某個向量時 將它用基向量來表示 注意你需要有―― 次空間的維數―― 它可以有很多種坐標 盡管a屬於Rn 我只需要給出k個坐標 因爲本質上你已經給出其位置…… 假如這是一個平面 選取的次空間在平面中 我們說的具體一些 我來舉個例子 假設有一個次空間 我來說清楚 假設有兩個向量 假設v1=[2,1] 並且v2=[1,2] 你馬上能夠看出 v1和v2是R2的一組基 這意味著R2中的任何向量 都可以表示成二者的線性組合 我們也可以從圖像上看出來 我們還知道R2是一個二維空間 並且已知這兩個基向量 它們是線性獨立的 你可以證明出來 事實上最簡單的證明方式是 取[2,1;1,2] 然後將它化成行簡化階梯形 就會得到一個2階單位方陣 即[1,0;0,1] 這表明 這兩個向量都是基向量 以上都是複習 我們之前學過 我們從直觀上來考慮 我們從圖像上來看 如果用通常的方式 來畫出這些向量 [2,1]是什麽樣的呢？ 我畫出坐標軸 我畫出來 我換一種顏色 假設這是豎直的坐標軸 這是水平坐標軸 向量[2,1]就像這樣 向右2個單位 向上1個單位 這就是第一個向量 即向量[2,1] 而向量[1,2]就像這樣 它就像這樣 如果把它畫在標準位置 向量兩個單位 就像這樣 但我們討論 在這組基底下的坐標時 我取R2中的某個向量 我自己設定一個向量 從而能輕易地求出其線性組合 取3v1+2v2 它等於多少？ 它就等於一個向量 即32=6加上21 第一個分量就是8 然後是 3v1加上2v2 就得到[8,7] 3+22就等於7 如果用通常的方式畫出[8,7] 向右8個單位 向上7個單位 從而就得到向量 我不畫出來 但這個向量是指向這個點的 就是這個點 如果把它看成坐標 它就是點(8,7) 我寫成這樣 就是點(8,7) 如果把向量畫在標準位置 那麽這個向量的終點就在這裡 我們已知基底B 它包含兩個向量 即v1和v2 我們要做的是表示出這個向量 稱這個向量爲―― 稱之爲a―― 向量a就是[8,7] 我們知道如果要將a表成 基向量的線性組合 則有3v1+2v2 根據前期的課程中 我們所學到的知識 我們可以將向量a 用基底B中的向量來表示―― 我用與基底相同的顏色―― 這是關於基底B的 首先是這些基向量的權重 就是[3,2] 我們看看它從直觀上講 有什麽意義 我講過在新的座標係統中 這個向量可以表示成[3,2]―― 你考慮新的座標係統的方式是 在舊的座標係統中 我們將橫坐標以1爲單位分割 這是第一個坐標 並且將縱坐標也以1爲單位分割 這是第二個坐標 在新的座標係統中第一個坐標是多少呢？ 第一個坐標是v1的倍數 這是v1這是v1這是v1的倍數 這是1倍的v1 如果用2乘以v1就得到…… 2倍的v1是多少呢？ 2倍的v1就是[4,2] 3倍的v1就是[6,3] 我來標明坐標值 這就是[6,3]就像這樣 4倍的v1就是[8,4] 你可以想象到我畫的是什麽 這是一種坐標軸 是由v1生成的第一分量的坐標軸 我可以畫出它―― 我用藍色來畫―― 你可以這麽考慮 這是一條直線像這樣 由坐標可以得知 有多少個v1 我將這個座標係統這樣來分割 我們不以1爲增量 而是以v1爲單位作爲增量 我這麽來寫 如果這裡到10個單位 那麽這裡就到5個單位 就像這樣 第二個分量的增量爲v2 這是v2的第一個增量 第二個增量就到了4 就是[4,2] 就像這樣 然後是[6,3] 就像這樣 這是[6,3] 就像這樣 如果你把它看成…… 你應當把它看做是一個座標係統 可以使用這個歪斜的坐標紙 其中的任何點 都可以由v1的方向 和v2方向的組合來指定 我畫在坐標紙上 我可以作出另一種v2就像這樣 就是v2的所有倍數 我可以將它們平移這樣過來 作出另一種v2 我可以在作一個 這個有些不夠簡潔 我可以這樣做 我可以――我想你已經有想法了 我做得簡潔一些 如果用其他工具這可能會很有用處 從而我就能作出所有v1的倍數 我在做的是一張坐標紙 它看起來像這樣 就像這樣 就像這樣 這樣你應該能想象出這個傾斜的坐標紙 如果我用綠色和藍色的直線 把空間填滿的話 在新的座標係統中 我們考慮[3,2] 這說明3是第一個方向 就是v1的方向 它不再是水平的 這是v1的方向 我們行進3個單位 然後沿著v2的方向行進2個單位 就是沿著v2的方向行進2個單位 最後得到的點就在這裡 這可以想象它是這麽走的 沿著v1的發現行進3個單位 然後沿著v2的方向行進2個單位 就得到這個點 也可以先沿著v2的方向走 再沿著v1的方向走 任意一種方式 都可以得到這個點 所以這個向量 或者說由向量[8,7]決定的位置 可以簡單地由 新座標係統中的[3,2]表示 因爲我講過 對於3v1 它是沿著這個方向的 沿著v1的方向行進3個單位 然後沿著v2方向行進2個單位 這就是稱之爲坐標的原因 逐個地數 沿著v1方向行進了多少單位 以及沿著v2方向行進了多少單位 這可能會使你 將問題理解得更透徹 爲什麽我們之前沒有使用這種座標係？ 正如我一直說的 我一直都在強調 假設有某個向量b 它等於 假設它等於―― 我在R2中處理 因爲直觀容易畫出來―― 假設它等於[3,-1] 如果將其畫出來 它就像這樣 向右3個單位向下1個單位 就像這樣 它確定了這一點 但是我們爲什麽稱其坐標爲[3,-1]？ 我什麽要稱其坐標爲[3,-1]？ 在學習線性代數之前 我們一直都是這麽做的 自從我們第一次學習作圖開始 我們就稱之爲坐標 我們爲什麽要這麽叫這些坐標呢？ 這些坐標又是如何 通過這組基於這些坐標聯係在一起的呢？ 這些是在這組基下的坐標 這些實際上是 在標準基下的坐標 你可以想象 R2中的標準基就像這樣 即e1=[1,0] 以及e2=[0,1] 這只是R2中的標準基的習慣寫法 我們令S是e1e2的集合 於是我們稱S是R2的標準基 它是一組標準基 因爲這兩個向量是正交的 這是水平方向上的1 這是豎直方向上的1 R2中的任何向量―― 假設有R2中的向量x和y 它等於xe1+ye2 從而如果要表示某個向量[x,y] 如果你要用 這個標準基來表示 由前面講的 關於基向量的定義 這就等於這個坐標 或者說是e1和e2的權重 所以這就等於 這項的權重是x這項的權重是y 這些坐標就是我們開始時所討論的 它們就是坐標 這與影片中 關於坐標的定義是一致的 我們可以做得更精確一些 我們可以稱之爲 在標準基下的坐標 或者稱其爲 我們可以稱其爲標準坐標 我想指明這一點 這相當簡單 但我還要說明 過去的關於“坐標”的說法 與這個新定義的坐標是一致的 它表示基向量的權重 因爲在舊的坐標中 以及我們使用的方式 它們都表示基向量的權重 × 初次見面 好像又更了解你一點了 要常常來找我玩喔！ (1/3) (2/3) (3/3) 我是均一小學的課程管家梨梨，會挑選最適合你的內容，讓梨梨更了解你吧！ 我是老師 我是學生 我是家長 目前主要教導 目前孩子就讀 目前就讀 請選擇年段 國小 國中 高中 請選擇年級 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 七年級 八年級 九年級 十年級 十一年級 十二年級 今天什麼原因來到均一呢？(最多選兩項) 想蒐集多元備課資料 想透過均一管理學生學習狀況 想透過均一培養學生自主學習 了解均一跟其他教育平台的差異 想找適合孩子學習的內容 想透過均一培養孩子自主學習 與孩子一起規劃學習進度 建立親師溝通的管道 了解均一平台的最大特色 其他 你對哪些內容感興趣呢？（可複選） 數學 自然 電腦 素養 英文 社會 梨梨會定期發送你感興趣的內容 請留下你的E-mail 註冊/登入儲存觀看紀錄 下一步 上一步 下一步 上一步 繼續觀看影片 登入/註冊使用