运动积分 - 小时百科
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一个系统如果有尽可能多的运动积分，将对问题的求解带来极大的方便． 1. 可遗坐标与广义动量积分. 若拉格朗日函数L ...
运动积分
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
贡献者：addis;FFjet
预备知识 拉格朗日方程，齐次函数的欧拉定理
我们知道拉格朗日方程是关于广义坐标$q_i(i=1,2,\cdots,s)$的二阶微分方程．在一些情况下，在系统运动过程中，存在$q_i$和$\dot{q}_i$的某些函数，它们不随时间而变，这些函数称为系统的运动积分（integralofmotion）．运动积分是通常的守恒律，如动量守恒定律、角动量守恒定律、机械能守恒定律的概念的推广．可以看出，运动积分相对于拉格朗日方程而言降了一阶，是一阶的微分方程，所以运动积分有时也称为第一次积分．力学中的对称性是十分重要的，而运动积分的存在与否，与系统的对称性有密切的关系．一个系统如果有尽可能多的运动积分，将对问题的求解带来极大的方便．
1.可遗坐标与广义动量积分
若拉格朗日函数$L$不含某个广义坐标$q_\beta$，即$\dfrac{\partialL}{\partialq_\beta}=0$，则这种广义坐标叫做可遗坐标（ignorablecoordinates），也称为循环坐标（cycliccoordinates）．于是，拉格朗日方程写为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}_{\beta}}\right)=0
\end{equation}
这是说，广义动量$p_\beta=\dfrac{\partialL}{\partial\dot{q_\beta}}$是守恒的，
\begin{equation}
p_\beta=\text{常数（如$L$不含有$q_\beta$）}
\end{equation}
这叫做广义动量积分．
我们知道，若循环坐标$q_\beta$是系统的整体平移坐标，即拉格朗日函数$L$对于整体平移是不变的，可知广义动量积分归结为动量守恒定律．若拉格朗日函数不包含整体转动坐标，即拉格朗日函数$L$对于整体转动是不变的（各向同性），则广义动量积分归结为角动量守恒定律．
在矢量力学中，动量守恒定律和角动量守恒定律是以牛顿第三定律为先决条件，即内力的矢量和为零、内力的力矩和为零，而广义动量积分则并不以牛顿第三定律为先决条件．这点在后续讨论电磁场时十分明显，很难根据电磁场与粒子的相互作用来谈牛顿第三定律．
例1 两个楔子的加速度
未完成：整合到“滑块和运动斜面问题（blkSlp.tex）”中
质量为$M$的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上，质量为$m$的光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下，如图1所示．求这两个楔子的加速度．
图1：两个楔子
解：大楔子可在水平方向运动，小楔子在大楔子斜边上运动系统有两个自由度．
取桌面上的固定点$O$，把大楔子的质心相对于$O$点的水平坐标记作$X$．把小楔子的质心相对于大楔子斜边底端、沿着斜边计算的坐标记作$q$（其实取的时候不需要一定是质心，物体上的任一点都可以）．这个系统的广义坐标就是$X$和$q$．
主动力是两个楔子所受的重力，它们都是势力．大楔子的势能在运动过程中不变，不需要考虑，只需要讨论小楔子的势能．计算动能需注意，小楔子的速度不仅仅是沿斜边的$\dotq$，而且还有随着大楔子在水平方向运动的速度$\dotX$．可得：
\begin{equation}
\begin{aligned}T&=\frac{1}{2}M\dot{X}^{2}+\frac{1}{2}m\left[v_{\text{水平}}^{2}+v_{\text{竖直}}^{2}\right]\\&=\frac{1}{2}M\dot{X}^{2}+\frac{1}{2}m\left[(\dot{X}+\dot{q}\cos\theta)^{2}+\dot{q}^{2}\sin^{2}\theta\right]\\V&=mgq\sin\theta\\L&=T-V=\frac{1}{2}(M+m)\dot{X}^{2}+\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}+m\dot{X}\dot{q}\cos\theta-mgq\sin\theta\end{aligned}
\end{equation}
由拉格朗日方程
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[M\dot{X}+m(\dot{X}+\dot{q}\cos\theta)]=0\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[m(\dot{X}\cos\theta+\dot{q})]+mg\sin\theta=0
\end{cases}
\end{equation}
第一个方程指出，这个系统在水平方向的动量守恒．事实上，$X$是可遗坐标，所以相应的广义动量守恒．
由运动方程解得大楔子的加速度
\begin{equation}
\ddot{X}=\frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^{2}\theta}
\end{equation}
以及小楔子相对于大楔子的加速度
\begin{equation}
\ddot{q}=-\frac{(M+m)g\sin\theta}{M+m\sin^{2}\theta}
\end{equation}
从此例题可以再次看出用拉格朗日方法解题的优越性．
2.广义能量积分
把拉格朗日量$L(q,\dot{q},t)$对$t$求全导数得
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{L}}{\mathrm{d}{t}}=\sum_{i}\frac{\partialL}{\partialq_i}\dot{q}_i+\sum_{i}\frac{\partialL}{\partial\dot{q}_i}\frac{\mathrm{d}{\dot{q}_i}}{\mathrm{d}{t}}+\frac{\partialL}{\partialt}
\end{equation}
对右边第一项的偏微分使用拉格朗日方程（式1），得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}&=\sum_{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}_{i}}\right)\dot{q}_{i}+\sum_{i}\frac{\partialL}{\partial\dot{q}_{i}}\frac{\mathrm{d}\dot{q}_{i}}{\mathrm{d}t}+\frac{\partialL}{\partialt}\\
&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sum_{i}\frac{\partialL}{\partial\dotq_i}\dot{q}_{i}\right)+\frac{\partialL}{\partialt}
\end{aligned}
\end{equation}
即
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sum_{i}\frac{\partialL}{\partial\dotq_i}\dot{q}_{i}-L\right)=-\frac{\partialL}{\partialt}
\end{equation}
当拉格朗日量不显含时间时，即$\partialL/\partialt=0$，我们发现括号中的量是一个守恒量，叫做能量函数（energyfunction）1
\begin{equation}
h=\sum_{i}\frac{\partialL}{\partial\dot{q}_{i}}\dot{q}_{i}-L
\end{equation}
该过程也叫做雅可比积分（Jacobianintegral）．在一定条件下这个量是系统的总能量，详见“哈密顿正则方程”．
未完成：下面的部分需要整（删）合（掉）
我们需要清楚广义能量函数的意义．首先，势能$V$是与广义速度无关的，因此$H$的定义式10中的$\dfrac{\partialL}{\partial\dotq_i}$．可代之以$\dfrac{\partialT}{\partial\dotq_i}$．
设变换式$\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}=\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}(q)$不显含时间，即$\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}/\partialt=0$，则
\begin{equation}
\dot{\boldsymbol{\mathbf{r}}}_{i}=\sum_{i=1}^{s}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{i}}\dot{q}_{i}
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\begin{aligned}T&=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\dot{\boldsymbol{\mathbf{r}}}_{i}\cdot\dot{\boldsymbol{\mathbf{r}}}_{i}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\sum_{i=1}^{s}\dot{q}_{i}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{i}}\cdot\sum_{\beta=1}^{s}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{\beta}}\dot{q}_{\beta}\\&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{s}\sum_{\beta=1}^{s}\frac{1}{2}m_{i}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{i}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{\beta}}\dot{q}_{i}\dot{q}_{\beta}\end{aligned}
\end{equation}
这是广义速度的二次齐次多项式．根据齐次函数的欧拉定理，有
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{s}\frac{\partialT}{\partial\dot{q}_{i}}\dot{q}_{i}=2T
\end{equation}
其实这也可以直接验证：
\begin{equation}
\begin{aligned}\frac{\partialT}{\partial\dot{q}_{\gamma}}&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{s}\frac{1}{2}m_{i}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{i}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{\gamma}}\dot{q}_{i}+\sum_{i=1}^{n}\sum_{\beta=1}^{s}\frac{1}{2}m_{i}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{\gamma}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{\beta}}\dot{q}_{\beta}\\&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{s}m_{i}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{i}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{\gamma}}\dot{q}_{i}\end{aligned}
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\sum_{\gamma=1}^{s}\frac{\partialT}{\partial\dot{q}_{\gamma}}\dot{q}_{\gamma}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{s}\sum_{\gamma=1}^{s}m_{i}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{i}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{\gamma}}\dot{q}_{i}\dot{q}_{\gamma}=2T
\end{equation}
由此，广义能量函数
\begin{equation}
H=\sum_{i=1}^{s}p_{i}\dot{q}_{i}-L=2T-(T-V)=T+V
\end{equation}
这样，在变换式$\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}=\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}(q)$不显含时间的条件下，动能是广义速度的二次齐次式，广义能量函数$H$就是机械能．如果约束是非定常的，则变换式$\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}=\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}(q,t)$难免显含时间．即使约束是稳定的，也可能由于选择了某些广义坐标（例如平移坐标系），变换式$\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}=\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}(q,t)$显含时间$t$．在变换式显含时间的情况下，
\begin{equation}
\dot{\boldsymbol{\mathbf{r}}}_{i}=\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialt}+\sum_{i=1}^{s}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{i}}\dot{q}_{i}
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\begin{aligned}T=&\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left(\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialt}+\sum_{i=1}^{s}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{i}}\dot{q}_{i}\right)\cdot\left(\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialt}+\sum_{\beta=1}^{s}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{\beta}}\dot{q}_{\beta}\right)\\=&\sum_{i=1}^{n}\left\{\frac{1}{2}m_{i}\left(\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialt}\right)^{2}+\sum_{i=1}^{s}m_{i}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialt}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{i}}\dot{q}_{i}\right.\\&\left.+\sum_{i=1}^{s}\sum_{\beta=1}^{s}\frac{1}{2}m_{i}\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{i}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\mathbf{r}}_{i}}{\partialq_{\beta}}\dot{q}_{i}\dot{q}_{\beta}\right\}\end{aligned}
\end{equation}
这包含三个部分，它们分别是广义速度的零次、一次、二次的齐次多项式，分别记作$T_0,T_1,T_2$，即$T=T_0+T_1+T_2$．根据齐次函数的欧拉定理，
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{s}\frac{\partialT}{\partial\dot{q}_{i}}\dot{q}_{i}=0T_{0}+1T_{1}+2T_{2}=T_{1}+2T_{2}
\end{equation}
由此，广义能量函数
\begin{equation}
H=\sum_{i=1}^{s}p_{i}\dot{q}_{i}-L=\left(T_{1}+2T_{2}\right)-\left(T_{0}+T_{1}+T_{2}-V\right)=T_{2}-T_{0}+V
\end{equation}
这样，在变换式显含时间的条件下，广义能量函数$H$并非机械能，但是具有机械能的量纲，故名之为广义能量．
例2 直线运动汽车里的谐振子
在匀速直线运动的汽车中，有一谐振子在光滑水平槽中往返振动．取沿振动方向的坐标为$q$，原点在谐振子的平衡点．选汽车为参考系，于是它是惯性系．谐振子的拉格朗日函数$L=T-V=m\dot{q}^{2}/2-kq^{2}/2$．易见$\partialL/\partialt=0$，所以$H$守恒．另一方面，由于动能$T=m\dot{q}^{2}/2$是广义速度$\dotq$的二次单项式，所以$H$就是机械能．诚然，$H=p\dotq-L=(\partialL/\partial\dot{q})\dot{q}-L=m\dot{q}^{2}/2+kq^{2}/2=T+V$．
改取地面为参考系，这也可认为是惯性系．如果谐振子的振动方向平行于汽车运动方向，则谐振子的$L=T-V=m\left(\dot{q}+v_{0}\right)^{2}/2-kq^{2}/2=m\dot{q}^{2}/2+mv_{0}\dot{q}+mv_{0}^{2}/2-kq^{2}/2$，其中$v_0$是汽车的速度．因$\partialL/\partialt=0$，所以$H$守恒．但动能$T$不是$\dotq$的二次齐次式，所以$H$并非机械能．实际上我们可以通过写出$H$的表达式来说明这一点：$H=p\dot{q}-L=m\left(\dot{q}+v_{0}\right)\dot{q}-L=m\dot{q}^{2}/2-mv_{0}^{2}/2+kq^{2}/2\neqT+V$．
如果汽车并非匀速，我们考察它的匀加速运动，即速度为$at$．仍以地面为参考系，则谐振子的$m(\dot{q}+at)^{2}/2-kq^{2}/2$，这时$\partialL/\partialt\neq0$,所以$H$不守恒．另一方面，$T$不是$\dotq$的二次齐次式，所以$H$也不是机械能．实际上，$H=m\dot{q}^{2}/2-ma^{2}t^{2}/2+kq^{2}/2\neqT+V$．
1.^$h$在数值上和以后要学的哈密顿量相等，但哈密顿量看作是$q$、广义动量$p$和$t$的函数，而能量函数看作是$q,\dotq,t$的函数．
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