我猜牛頓是這樣得到第三運動定律

第三定律規範了兩個物體相互作用時，作用力和反作用力的關係，可是兩個物體的相互作用可以是接觸的，也可以是非接觸的，必須分別討論。

現在我試圖推論FM(m)= ... 物理  2018年05月08日2018年07月29日 CASEPRESS 牛頓,第三運動定律 撰文｜趙光安教授 ●前言 我在高雄中學高中三年級的物理課是從力學開始：牛頓萬有引力定律，牛頓的三個運動定律，虎克定律，…等等。

我曾經自創一個“表面粗糙模型”，應用牛頓第二運動定律，推導出來虎克定律，於是更想知道牛頓是如何發現這些重要定律。

雖然我是茫無頭緒，我的物理老師胡宇平也不能給我答案，他卻鼓勵我不要放棄。

過去幾十年中，斷斷續續的偶爾想到這回事。

來到歐洲以後，得利於天時、地利、人和，終於摸索出一些頭緒。

不久前整理了一篇演講稿，敘述（我認為）牛頓發現萬有引力定律的思維過程，得到了以下的結果。

令太陽的質量為M，地球的質量為m，太陽與地球的距離為R。

我推論出：太陽對地球的引力是FM(m)∞C(M)m/R2,此處的C(M)只和太陽的質量M有關。

當然，地球對太陽的引力是Fm(M)∞C(m)M/R2,此處的C(m)只和地球的質量m有關。

但是我不明白牛頓是如何得到萬有引力定律 FM(m)=Fm(M)=CMm/R2，此處的C只是一個常數。

後來我又寫了一篇手稿，敘述（我認為）牛頓如何得到第二運動定律，但是我始終搞不懂牛頓如何得到第三運動定律。

第三定律規範了兩個物體相互作用時，作用力和反作用力的關係，可是兩個物體的相互作用可以是接觸的，也可以是非接觸的，必須分別討論。

現在我試圖推論FM(m)=Fm(M)=CMm/R2，然後和牛頓第二運動定律結合起來，得到牛頓第三運動定律。

●兩個物體之間的「非接觸」相互作用 牛頓的萬有引力定律是建立在一個「質點模型」上的。

太陽和地球都各佔有很大的空間，如何決定太陽與地球的距離R？太陽和地球雖然很大，可是和R比起來，卻是微不足道。

因此，牛頓把太陽和地球看成兩個質點，在太陽裡面取一點（S 點），這就是太陽的位置，它的總質量M被壓縮在 S 點，在地球裡面取一點（E 點），這就是地球的位置，它的總質量m被壓縮在 E 點。

S 點和 E 點的距離是R。

我們可以做一個想像，用很多假想的平面把太陽分成很多塊：A、B、C、D…等等，每一塊對地球都有引力，是組成太陽的總引力的一個分力。

用牛頓的「質點模型」來計算每一塊的分力，我們得先把這一塊的質量壓縮成一點，然後把它放在 S 點上。

如果原來的A塊產生的分力，和原來的B塊產生的分力，之間有任何關聯，當它們個別的質量被壓縮成一點，移放在 S 點上之後，A塊和B塊產生的這兩項分力，之間就不會再有任何關聯了。

把這些分項引力加在一起，就是太陽對地球的總引力。

因此，我相信以下這個合理的結論。

牛頓用「質點模型」，知道在任何兩個質點之間都存在著「引力」。

太陽是由無數多的質點所組成的，每一個質點對地球都有引力，把這些引力加在一起，就是太陽對地球的總引力，因此，總引力的大小和質量的關係是「線性的」。

先知先覺的牛頓，能洞悉真理真像，得到了正確的數學表達式FM(m)=Fm(M)=CMm/R2。

過了幾年之後，牛頓發明了「微積分」，再用「質點模型」來精確的計算總引力時，就不需要把位於太陽中任何一點的質量移動到 S 點了！ 後知後覺的我還是想更深入的知道FM(m)=Fm(M)=CMm/R2 是如何被推導出來的。

我的弟弟趙榮安（台大物理系1964年畢業）提醒我兩個重點，第一個重點是，如果太陽的質量是零M=0，太陽對地球的引力就消失了FM(m)=0。

這個條件，給了我一個重要的啟發，可以用在牛頓時代就已經有的“線性代數學”，解“多元一次聯立方程式”，推導出「萬有引力定律」的完整數學式。

我應該先解說一件事。

「線性代數」由來已早，「雞兔同籠」就是古代的一個線性代數的「二元一次方程式」的數學題目。

現代意義的線性代數出現於牛頓時代的十七世纪。

經過一百多年的演進，直到十九世纪時，才完成了從三維線性空間到 n維線性空間的過渡。

同時，由於行列式和矩陣的產生，為處理線性問題提供了有力的工具。

於是進一步的發展出函數理論，和我們現在的討論有關的，f(x+y)=f(x)+f(y)這一類的「線性函數」，它的「解」都有那幾類，以及他們分別都有什麼數學性質，也是一時的重要研究主題。

如果我們用現在知道的「線性函數」的理論，立刻就得到FM(m)=Fm(M)=CMm/R2。

不過，這些「我們現在知道」的數學結論，都是牛頓身後發生的事。

我們就用牛頓時已有的數學知識，從FM(m)∞C(M)m/R2 開始來考慮問題。

為了方便表述，我把比例常數包含在C(M)中，寫成FM(m)=C(M)m/R2。

因為當M=0時，C(0)=0，我們可以用一個「一般解」的形式把C(M)表達成 此處的X2，X3，X4，．．．皆為待定的係數，a2，a3，a4，．．．可以有不等於1的任何正數值。

現在我們想像，太陽被分成很多塊，每一塊對地球都有引力，把這些引力加在一起，就是太陽對地球的引力。

讓我們考慮第一種分法，把太陽分成兩塊，一塊的質量是M/3，另一塊的質量是2M/3。

它們各別對地球的引力是FM/3(m)=C(M/3)m/R2，其中   如果把X2，X3，X4，．．．看成待解的未知元，以上的「多元一次方程式」可以寫成 假想把太陽分成很多塊，有幾乎無窮多種分法。

相對於每一種分法，就有一個類似的方程式，只是其中的係數不同。

我們把第“i”種分法的相對的那一組係數表達為 (Ci,2,Ci,3,Ci,4．．．)。

於是我們得到一組「多元一次聯立方程式」 在這個「多元聯立方程式」中，有幾乎無窮多元，也有幾乎無窮多個方程式。

除了所有的X2=X3=X4=．．．=0這個解之外，很難想像存在著Xi ≠0 的解。

即使存在著Xi ≠0的解，這一組答案也只是相對於太陽的質量M。

如果把M換成地球的質量m，來計算地球對月球的吸引力，因為所有的係數Ci,n的數值都變了，我們得到的是另外一組 Xi ≠0的解。

這種「違反自然現象」的數學答案，是物理界不能接受的「非物理答案」。

我們能接受的，合乎自然現象的「物理解」是X2=X3=X4=．．．=0。

我們從“式-(1)”中就得到C(M)=CM，進而得到太陽對地球的引力是FM(m)=CMm/R2。

按照同樣的道理，地球對太陽的引力也是Fm(M)=CMm/R2。

這就是牛頓的萬有引力定律 FM(m)=Fm(M)=CMm/R2 ●兩個物體之間的「接觸」相互作用 1666年牛頓發現萬有引力定律，二十一年後，1687年牛頓出版力他的三個運動定律。

第二運動定律，f(t)=d[m(t)v(t)]/dt，把“力”f(t)定義為動量[m(t)v(t)]隨時間t的改變率。

如果沒有力加在一個物體上，f(t)=0，它的動量就是一個不隨時間改變的定值。

現在我們考慮兩個物體互相碰撞。

第一個物體的動量在碰撞前是P1，在碰撞後是P2。

第二個物體的動量在碰撞前是Q1，在碰撞後是Q2。

因為沒有「外力」加在這兩個物體上，它們的總動量就不會因為互碰而改變，所以P1+Q1=P2+Q2，或者寫成P2-P1=-(Q2-Q1)。

我們用T表示互相碰撞所經歷的時間，用牛頓第二運動定律，我們就得到，第二個物體加在第一個物體上的力是F1=(P2-P1)/T，第一個物體加在第二個物體上的力是F2=(Q2-Q1)/T，亦即F2=-F1。

所以，兩個物體作「接觸力」的互相作用時，作用力和反作用力的大小相等，方向相反。

●牛頓第三運動定律 在1666年牛頓發現萬有引力定律時，「力」還只是一個觀念，到牛頓得到第二運動定律時，才確定了「力是一個能測出的物理量」。

我弟弟趙榮安提醒我的第二個重點是，根據 FM(m)=Fm(M)=CMm/R2 這個數學式，測太陽對地球的引力，和測地球對太陽的引力，會得到同一個數值。

因此，太陽對地球的引力，和地球對太陽的引力，並不是兩個獨立的力，而是一個力。

所以在牛頓推導出，「兩個物體作接觸力的互相作用時，作用力和反作用力的大小相等，方向相反」之後，一定是很快的就了解到，以上的數學表達式，所代表的物理作用，是一個「互相作用力」，是太陽和地球兩個非接觸物體之間的，大小相等，方向相反的「作用反作用力」。

到此時，牛頓就完整的建立了他的第三運動定律。

●後記：天文力學新紀元 太陽和地球之間的相互「作用反作用力」，不會改變「太陽和地球的總動量」。

如果在「單位時間」內，地球的速度改變是UE，太陽的速度改變就是Us=-(m/M)UE，Us的值比UE的值要小很多很多。

於是，當地球在一個大的橢圓軌道上運行時，太陽也在一個，相對於地球軌道的大小，非常非常小的橢圓軌道上，沿著相反的方向運行。

在牛頓的時代，地球上的人是無法測出太陽在運動，就認為太陽是永遠靜止的。

在他的多次演講中，RichardFeynman常說：「有了足夠的資訊以後，就能“猜”出正確的答案」。

我可以想像，牛頓“猜”出了以下的這個答案。

太陽和地球以相反的方向在各自的橢圓軌道上運動，在連結太陽和地球的直線上，就有一個點是相對不動的。

用「平面幾何」來計算，這一點和地球的距離，是和太陽的距離的M/m倍。

如果沒有「外力」加在「太陽-地球」這一個系統上，這一點是相對的永遠靜止，或作等速直線運動，而太陽和地球都繞著這一個定點運轉。

在兩千兩百多年前，阿基米德從在地面上所做的實驗，定義出「質量中心」。

牛頓分析出的這個「相對不動點」，就是阿基米德定義的「質量中心」，於是就把「質量中心」的觀念推廣到所有的天體運動中。

在很久之前，天主教會以神學為基礎的「天動理論」，認為地球是宇宙中「靜止的中心」，天空中的萬物都繞著地球轉。

波蘭天文學家哥伯尼認為地球是繞著太陽轉，可是他的「地動理論」被天主教會禁止了一段時期以後，才被公開接受。

牛頓的基本的運動定律，更進一步的推進到「天地互動理論」，替天文力學開創了一個新紀元。

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