爱因斯坦场方程- 维基百科，自由的百科全书

愛因斯坦場方程是一組含有若干4階對稱張量的張量方程。

每一個張量都有10個獨立的分量。

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刻上真空場方程式的紀念硬幣。

愛因斯坦場方程式（英語：Einsteinfieldequations）是由愛因斯坦於1915年[1]在廣義相對論中提出。

場方程式定義重力為一種幾何效應,而時空的曲率則是取決於物質的能量動量張量。

[2]也就是說，如同牛頓的萬有引力定律中質量作為重力的來源，亦即有質量就可以產生吸引力,但牛頓的萬有引力定律將重力描述瞬時傳播的力,而愛因斯坦認為並不存在所謂的"重力",他從諧和座標的弱場近似得出弱力場的傳遞速度為光速,而且場方程式只要通過近似手段,如弱場,靜態,空間緩變,就能推出牛頓近似。

愛因斯坦重力場方程式是用來計算動量與能量所造成的時空曲率，再搭配測地線方程式，就可以求出物體在重力場中的運動軌跡。

這個想法與電磁學的想法是類似的：當我們知道了空間中的電荷與電流(電磁場的來源)是如何分布的，藉由馬克士威方程組，我們可以計算出電場與磁場，再藉由勞倫茲力方程式，即可求出帶電粒子在電磁場中的軌跡。

僅在一些簡化的假設下，例如：假設時空是球對稱，此方程組才具有精確解。

這些精確解常常被用來模擬許多宇宙中的重力現象，像是黑洞、膨脹宇宙、重力波。

如著名的史瓦西解 目次 1數學形式 1.1愛因斯坦重力場方程式 1.2等價形式 2愛因斯坦場方程式的性質 2.1能量與動量守恆 2.2場方程式為非線性的 2.3對應原理 3添加宇宙常數項 4真空場方程式 4.1宇宙常數為零 4.2宇宙常數不為零 5愛因斯坦-麥克斯韋方程 6參見 7參考文獻 數學形式[編輯] 愛因斯坦重力場方程式[編輯] G μ ν = R μ ν − 1 2 g μ ν R = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyleG_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-{\frac{1}{2}}g_{\mu\nu}R={8\piG\overc^{4}}T_{\mu\nu}} 其中 G μ ν {\displaystyleG_{\mu\nu}\,} 稱為愛因斯坦張量， R μ ν {\displaystyleR_{\mu\nu}\,} 是從黎曼張量縮併而成的里奇張量，代表曲率項； R {\displaystyleR\,} 是從里奇張量縮併而成的純量曲率(或曲率標量)； g μ ν {\displaystyleg_{\mu\nu}\,} 是從(3+1)維時空的度規張量； T μ ν {\displaystyleT_{\mu\nu}\,} 是能量-動量-應力張量， G {\displaystyleG\,} 是牛頓重力常數， c {\displaystylec\,} 是真空中光速。

愛因斯坦場方程式是一組含有若干4階對稱張量的張量方程式。

每一個張量都有10個獨立的分量。

由於4個畢安基恆等式，我們可以將10個愛因斯坦場方程式減少至6個獨立的方程組。

這導致了度規張量gμν有4個自由度，與座標選取的4個自由度是對應的。

雖然愛因斯坦場方程式一開始是一個應用在四維時空的理論，但是一些理論學家嘗試將它應用在探索n維時空上。

真空中的場方程式(當方程式右邊的T張量等於零)定義了愛因斯坦流形。

儘管愛因斯坦方程式的形式看起來很簡單，實際上他們是一組複雜的二階非線性微分方程式。

只要給定一個質量與能量分布，亦即能量-動量張量，愛因斯坦場方程式就變成一個度規張量gμν的微分方程式。

一般我們藉由定義愛因斯坦張量(一個對稱的與度規gμν有關的二階張量) ： G μ ν = R μ ν − 1 2 R g μ ν , {\displaystyleG_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-{\tfrac{1}{2}}R\,g_{\mu\nu},} 來將愛因斯坦場方程式寫成一個更加簡單的形式： G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν . {\displaystyleG_{\mu\nu}={8\piG\overc^{4}}T_{\mu\nu}.} 。

若使用幾何化單位制或稱自然單位制，則G=c=1，場方程式因此簡化為： G μ ν = 8 π T μ ν . {\displaystyleG_{\mu\nu}=8\piT_{\mu\nu}\,.} 如果是使用相對論中的幾何化單位制（有理化的幾何化單位制），則場方程式為： G μ ν = 2 T μ ν . {\displaystyleG_{\mu\nu}=2T_{\mu\nu}\,.} 等價形式[編輯] 經愛因斯坦方程組兩邊同乘以gμν： R − D 2 R + D Λ = 8 π G c 4 T {\displaystyleR-{\frac{D}{2}}R+D\Lambda={8\piG\overc^{4}}T\,} 其中D是時空維度。

兩邊再同除以 D 2 − 1 {\displaystyle{\frac{D}{2}}-1} ： − R + D Λ ( D 2 − 1 ) = 8 π G c 4 T D 2 − 1 . {\displaystyle-R+{\frac{D\Lambda}{({\tfrac{D}{2}}-1)}}={8\piG\overc^{4}}{\frac{T}{{\tfrac{D}{2}}-1}}\,.} 兩邊再同乘−1/2gμν： R μ ν − Λ g μ ν D 2 − 1 = 8 π G c 4 ( T μ ν − 1 D − 2 T g μ ν ) . {\displaystyleR_{\mu\nu}-{\frac{\Lambdag_{\mu\nu}}{{\tfrac{D}{2}}-1}}={8\piG\overc^{4}}\left(T_{\mu\nu}-{1\over{D-2}}T\,g_{\mu\nu}\right).\,} 一般情況下，D=4： R μ ν − Λ g μ ν = 8 π G c 4 ( T μ ν − 1 2 T g μ ν ) . {\displaystyleR_{\mu\nu}-\Lambdag_{\mu\nu}={8\piG\overc^{4}}\left(T_{\mu\nu}-{\tfrac{1}{2}}T\,g_{\mu\nu}\right).\,} 愛因斯坦場方程式的性質[編輯] 能量與動量守恆[編輯] 場方程式的一個重要結果是遵守局域的（local）能量與動量守恆，透過應力-能量張量（代表能量密度、動量密度以及應力）可寫出： ∇ ν T μ ν = T μ ν ; ν = 0 {\displaystyle\nabla_{\nu}T^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}{}_{;\nu}=0} 場方程式左邊（彎曲幾何部份）因為和場方程式右邊（物質狀態部份）僅成比例關係，物質狀態部份所遵守的守恆律因而要求彎曲幾何部份也有相似的數學結果。

透過微分比安基恆等式，以描述時空曲率的里奇張量 R μ ν {\displaystyleR^{\mu\nu}\,} （以及張量縮併後的里奇純量 R ≡ R μ μ {\displaystyleR\equivR_{\mu}^{\mu}\,} ）之代數關係所設計出來的愛因斯坦張量 G μ ν ≡ R μ ν − 1 2 g μ ν R {\displaystyleG^{\mu\nu}\equivR^{\mu\nu}-{1\over2}g^{\mu\nu}R} 可以滿足這項要求： ∇ ν G μ ν = G μ ν ; ν = 0 {\displaystyle\nabla_{\nu}G^{\mu\nu}=G^{\mu\nu}{}_{;\nu}=0} 場方程式為非線性的[編輯] 愛因斯坦場方程式的非線性特質使得廣義相對論與其他物理學理論迥異。

舉例來說，電磁學的馬克士威方程組跟電場、磁場以及電荷、電流的分佈是呈線性關係（亦即兩個解的線性疊加仍然是一個解）。

另個例子是量子力學中的薛丁格方程式，對於機率波函數也是線性的。

對應原理[編輯] 透過弱場近似以及慢速近似，可以從愛因斯坦場方程式退化為牛頓重力定律。

事實上，場方程式中的比例常數是經過這兩個近似，以跟牛頓重力理論做連結後所得出。

[3] 添加宇宙常數項[編輯] 愛因斯坦為了使宇宙能呈現為靜態宇宙（不動態變化的宇宙，既不膨脹也不收縮），在後來又嘗試加入了一個常數 Λ {\displaystyle\Lambda\,} 相關的項 Λ g μ ν {\displaystyle\Lambdag_{\mu\nu}\,} 於場方程式中，使得場方程式形式變為： R μ ν − 1 2 g μ ν R + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyleR_{\mu\nu}-{\frac{1}{2}}g_{\mu\nu}R+\Lambdag_{\mu\nu}={8\piG\overc^{4}}T_{\mu\nu}} 可以注意到 Λ g μ ν {\displaystyle\Lambdag_{\mu\nu}\,} 這一項正比於度規張量，而維持住守恆律： ∇ ν ( Λ g μ ν ) = Λ ∇ ν ( g μ ν ) = 0 {\displaystyle\nabla_{\nu}(\Lambdag_{\mu\nu})=\Lambda\nabla_{\nu}(g_{\mu\nu})=0} 此一常數 Λ {\displaystyle\Lambda} 被稱為宇宙常數。

這個嘗試後來因為兩個原因而顯得不正確且多此一舉： 此一理論所描述的靜態宇宙是不穩定的。

十年後，由愛德溫·哈伯對於遠處星系所作觀測的結果證實我們的宇宙正在膨脹，而非靜態。

因此， Λ {\displaystyle\Lambda} 項在之後被捨棄掉，且愛因斯坦稱之為「一生中最大的錯誤」("biggestblunder[he]evermade")[4]。

之後許多年，學界普遍設宇宙常數為0。

儘管最初愛因斯坦引入宇宙常數項的動機有誤，將這樣的項放入場方程式中並不會導致任何的不一致性。

事實上，近年來天文學研究技術上的進步發現，要是存在不為零的 Λ {\displaystyle\Lambda} 確實可以解釋一些觀測結果。

[5] [6] 愛因斯坦當初將宇宙常數視為一個獨立參數，不過宇宙常數項可以透過代數運算移動到場方程式的另一邊，而將這一項寫成應力-能量張量的一部分： R μ ν − 1 2 g μ ν R = 8 π G c 4 ( T μ ν − c 4 Λ g μ ν 8 π G ) {\displaystyleR_{\mu\nu}-{\frac{1}{2}}g_{\mu\nu}R={8\piG\overc^{4}}\left(T_{\mu\nu}-{\frac{c^{4}\Lambdag_{\mu\nu}}{8\piG}}\right)} 剛才提到的項即可定義為： T μ ν ( v a c ) ≡ − c 4 Λ g μ ν 8 π G {\displaystyleT_{\mu\nu}^{\mathrm{(vac)}}\equiv-{\frac{c^{4}\Lambdag_{\mu\nu}}{8\piG}}} 而另外又可以定義常數 ρ v a c ≡ c 2 Λ 8 π G {\displaystyle\rho_{\mathrm{vac}}\equiv{\frac{c^{2}\Lambda}{8\piG}}} 為「真空能量」密度。

宇宙常數的存在等同於非零真空能量的存在；這些名詞前在廣義相對論中常交替使用。

也就是說可以將 T μ ν ( v a c ) ≡ − c 4 Λ g μ ν 8 π G {\displaystyleT_{\mu\nu}^{\mathrm{(vac)}}\equiv-{\frac{c^{4}\Lambdag_{\mu\nu}}{8\piG}}} 看成和 T μ ν {\displaystyleT_{\mu\nu}\,} 是一樣類型的量，只是 T μ ν {\displaystyleT_{\mu\nu}\,} 的來源是物質與輻射，而 − c 4 Λ g μ ν 8 π G {\displaystyle-{\frac{c^{4}\Lambdag_{\mu\nu}}{8\piG}}} 的來源則是真空能量。

物質、輻射與真空能量三者在物理宇宙學中扮演要角。

真空場方程式[編輯] 宇宙常數為零[編輯] 若能量-動量張量 T μ ν {\displaystyleT_{\mu\nu}} 在所關注的區域中為零，則場方程式被稱作真空場方程式。

在完整的場方程式中設定 T μ ν = 0 {\displaystyleT_{\mu\nu}=0} ，則真空場方程式可寫為： R μ ν = 1 2 g μ ν R   {\displaystyleR_{\mu\nu}={1\over2}g_{\mu\nu}R\} 對此式做張量縮併，亦即使指標μ跟ν相同： R ≡ R μ μ = g μ ν R μ ν = g μ ν 1 2 g μ ν R {\displaystyleR\equivR_{\mu}^{\mu}=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}{1\over2}g_{\mu\nu}R} 由於 g μ ν g μ ν = δ μ μ {\displaystyleg^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=\delta_{\mu}^{\mu}} ，整理可得： R = δ μ μ 1 2 R {\displaystyleR=\delta_{\mu}^{\mu}{1\over2}R} 而克羅內克爾δ在四維空間（時空）下取跡數為4，所以式子可寫作： R = 4 ⋅ 1 2 R = 2 R {\displaystyleR=4\cdot{1\over2}R=2R} 是故 R = 0 {\displaystyleR=0\,} 。

因此可以得到此一更常見、等價的跡數反轉（trace-reversed）式： R μ ν = 0   {\displaystyleR_{\mu\nu}=0\} 宇宙常數不為零[編輯] 若宇宙常數不為零，則方程式為 R μ ν = 1 2 g μ ν R − Λ g μ ν ,   {\displaystyleR_{\mu\nu}={1\over2}g_{\mu\nu}R-\Lambdag_{\mu\nu},\} 若同上面宇宙常數為零的例子，其跡數反轉（trace-reversed）形式為 R μ ν = Λ g μ ν   {\displaystyleR_{\mu\nu}=\Lambdag_{\mu\nu}\} 真空場方程式的解顧名思義稱作真空解。

平直閔可夫斯基時空是最簡單的真空解範例。

不尋常的真空解範例包括了史瓦西解與克爾解。

附帶一提的是：微分幾何中，里奇張量為零（即： R μ ν = 0 {\displaystyleR_{\mu\nu}=0} ）的流形稱作里奇平坦流形，另外里奇張量與度規成比例關係的流形，稱為愛因斯坦流形（Einsteinmanifold）。

愛因斯坦-馬克士威方程式[編輯] 參見：彎曲時空中的馬克士威方程組 如果方程組右邊的能量-動量張量等於電磁學中的能量-動量張量，也就是 T α β = − 1 μ 0 ( F α ψ F ψ β + 1 4 g α β F ψ τ F ψ τ ) {\displaystyleT^{\alpha\beta}=\,-{\frac{1}{\mu_{0}}}\left(F^{\alpha}{}^{\psi}F_{\psi}{}^{\beta}+{1\over4}g^{\alpha\beta}F_{\psi\tau}F^{\psi\tau}\right)} 則此方程組稱為「愛因斯坦-馬克士威方程式」： R α β − 1 2 R g α β + Λ g α β = 8 π G c 4 μ 0 ( F α ψ F ψ β + 1 4 g α β F ψ τ F ψ τ ) . {\displaystyleR^{\alpha\beta}-{1\over2}Rg^{\alpha\beta}+\Lambdag^{\alpha\beta}={\frac{8\piG}{c^{4}\mu_{0}}}\left(F^{\alpha}{}^{\psi}F_{\psi}{}^{\beta}+{1\over4}g^{\alpha\beta}F_{\psi\tau}F^{\psi\tau}\right).} 其中 F α β {\displaystyleF_{\alpha\beta}} 稱為電磁張量，定義如下： F α β = A α ; β − A β ; α = A α , β − A β , α {\displaystyleF_{\alpha\beta}=A_{\alpha;\beta}-A_{\beta;\alpha}=A_{\alpha,\beta}-A_{\beta,\alpha}\!} 其中 A α {\displaystyleA_{\alpha}} 是4-向量勢，分號代表協變微分，逗號代表偏微分。

參見[編輯] 愛因斯坦-希爾伯特作用量 廣義相對論資源 參考文獻[編輯] ^Einstein,Albert.DieFeldgleichungenderGravitation.SitzungsberichtederPreussischenAkademiederWissenschaftenzuBerlin.November25,1915:844–847[2006-09-12].（原始內容存檔於2016-10-27）.  ^Einstein,Albert.TheFoundationoftheGeneralTheoryofRelativity.AnnalenderPhysik.1916,354(7):769.Bibcode:1916AnP...354..769E.doi:10.1002/andp.19163540702.（原始內容(PDF)存檔於2012-02-06）.  ^西恩·卡羅爾（英語：SeanM.Carroll）.SpacetimeandGeometry–AnIntroductiontoGeneralRelativity.2004:151–159.ISBN 0-8053-8732-3（英語）.  ^Gamow,George.MyWorldLine:AnInformalAutobiography[我的世界線：一份非正式自傳].VikingAdult.1970-04-28[2007-03-14].ISBN 0670503762.（原始內容存檔於2019-05-16）（英語）.  ^Wahl,Nicolle.WasEinstein's'biggestblunder'astellarsuccess?.2005-11-22[2007-03-14].（原始內容存檔於2007-03-07）.  ^Turner,MichaelS.ASpacetimeOdyssey.Int.J.Mod.Phys.A17S1.May2001:180–196[2007-03-14].（原始內容存檔於2019-07-25）.  AmirD.Aczel.God'sEquation:Einstein,Relativity,andtheExpandingUniverse.DeltaScience.1999（英語）.  CharlesMisner;KipThorne;JohnWheeler.Gravitation[重力論（英語：Gravitation(book)）].W.H.Freeman.1973.  閱論編相對論狹義相對論背景 相對性原理 狹義相對論入門 基礎 相對運動 參考系 光速 馬克士威方程組 公式化 伽利略變換 勞侖茲變換 結果 時間膨脹 狹義相對論中的質量 質能等價 長度收縮 相對同時 相對論性都卜勒效應 湯馬斯進動 特勒爾旋轉 時空 閔可夫斯基時空 世界線 閔考斯基圖 光錐 廣義相對論背景 廣義相對論入門 廣義相對論中的數學 基本概念 狹義相對論 等效原理 馬赫原理 黎曼幾何 現象 廣義相對論中的克卜勒問題 重力透鏡 參考系拖曳 測地線效應 事件視界 重力奇異點 黑洞 方程式 線性化重力 參數化後牛頓重力形式 愛因斯坦場方程式 測地線方程式 弗里德曼方程式 ADM質量 BSSN形式（英語：BSSNformalism） 哈密頓-雅可比-愛因斯坦方程式 進階理論 卡魯扎-克萊因理論 特殊解（英語：Exactsolutionsingeneralrelativity） 史瓦西度規 凱斯納度規（英語：Kasnermetric） 萊斯納-諾德斯特洛姆度規 哥德爾度規（英語：Gödelmetric）克爾度規 克爾-紐曼度規 托布-NUT度規 米爾恩模型 弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規 pp時空波（英語：pp-wavespacetime） 凡斯塔格度規（英語：VanStockumdust） 科學家 阿爾伯特·愛因斯坦 亨德里克·勞侖茲 大衛·希爾伯特 儒勒·昂利·龐加萊 卡爾·史瓦西 威廉·德西特 漢斯·賴斯納 貢納爾·努德斯特倫 赫爾曼·魏爾 亞瑟·愛丁頓 亞歷山大·弗里德曼 愛德華·亞瑟·米爾恩 弗里茨·茲威基 喬治·勒梅特 庫爾特·哥德爾 約翰·惠勒 霍華德·P·羅伯遜 詹姆斯·麥克斯威·巴丁 阿瑟·傑弗裡·沃克（英語：ArthurGeoffreyWalker） 羅伊·克爾 蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡 于爾根·埃勒斯 羅傑·潘洛斯 史蒂芬·霍金 約瑟夫·泰勒 拉塞爾·赫爾斯 威廉·雅各·凡斯塔格（英語：WillemJacobvanStockum） 亞伯拉罕·哈斯克爾·托布（英語：AbrahamH.Taub） 以斯拉·T·紐曼（英語：EzraT.Newman） 丘成桐 基普·索恩 萊納·魏斯 赫爾曼·邦迪 唐·佩奇 其他（英語：Contributorstogeneralrelativity） 閱論編廣義相對論入門 ·數學表述 ·驗證基礎概念狹義相對論 ·等效原理 ·馬赫原理 ·廣義相對性原理 ·世界線 ·黎曼幾何現象重力時間膨脹 ·重力時間延遲 ·重力紅移 ·重力透鏡 ·克卜勒問題 ·重力磁性 ·參考系拖曳 ·測地線效應 ·冷澤-提爾苓進動 ·重力波 ·黑洞 ·重力奇異點 ·事件視界方程式線性化重力 ·後牛頓形式論 ·愛因斯坦場方程式 ·弗里德曼方程式 ·哈密頓-雅可比-愛因斯坦方程式 ·雷喬杜里方程式 ·厄恩斯特方程式進階理論卡魯扎-克萊因理論 ·量子重力精確解史瓦西度規 ·卡斯納度規（英語：Kasnermetric） ·克爾度規 ·克爾-紐曼度規 ·萊斯納-諾德斯特洛姆度規 ·弗里德曼－勒梅特－羅伯遜－沃爾克度規 ·米爾恩模型近似解與數值模擬數值相對論科學家 愛因斯坦 龐加萊 賴斯納 努德斯特倫 勒梅特 愛丁頓 史瓦西 閔考斯基 克爾 錢德拉塞卡 羅伯遜 弗里德曼 霍金 惠勒 米斯納 索恩 潘洛斯 林德勒 德塞爾 沃爾德 舒茨 哈妥 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=爱因斯坦场方程&oldid=70943190」 分類：​物理定律廣義相對論偏微分方程隱藏分類：​CS1英語來源(en)自2018年11月需補充來源的條目拒絕當選首頁新條目推薦欄目的條目含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةAzərbaycancaБеларускаяБългарскиবাংলাBrezhonegCatalàČeštinaЧӑвашлаDeutschEnglishEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենBahasaIndonesiaItaliano日本語한국어МакедонскиमराठीNederlandsNorskbokmålଓଡ଼ିଆਪੰਜਾਬੀPolskiپنجابیPortuguêsRomânăРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenščinaSvenskaТоҷикӣTagalogTürkçeУкраїнськаاردوTiếngViệt 編輯連結