條件機率(1)：定義（Conditional Probability (1)：Definition）

條件機率(Conditional Probability)，如同字面意義，是在假設某事件發生的條件下，考慮原本事件發生的機率。

例如，投擲公正硬幣兩次，出現兩次正面的 ... Friday22ndJuly2022 22-Jul-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 條件機率(1)：定義（ConditionalProbability(1)：Definition） 臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師 條件機率(ConditionalProbability)，如同字面意義，是在假設某事件發生的條件下，考慮原本事件發生的機率。

例如，投擲公正硬幣兩次，出現兩次正面的機率為\(\frac{1}{4}\)。

若我們加上「已知第一次擲出正面」的條件的話，那麼出現兩正面的機率將變成\(\frac{1}{2}\)。

事實上，若是掌握條件機率的定義，倒也不難理解箇中變化： 設\(A,B\) 為兩事件且\(P(A)>0\)。

在事件\(A\) 發生的情況下，事件\(B\) 發生的機率的條件機率，以\(P(B|A)\) 表示， 且定義\(\frac{P(A\capB)}{P(A)}\)。

設第一次擲出正面的事件為\(A\)，出現兩正面的事件為\(B\)。

那麼，投擲公正硬幣兩次的樣本空間\(S=\{\)正正，正反，反正，反反\(\}\)，\(A=\{\)正正，正反\(\}\)，\(B=\{\)正正\(\}\)，\(A\capB=\{\)正正\(\}\)。

因此，\(P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)，\(P(B)=\frac{1}{4}\)，\(P(A\capB)=\frac{1}{4}\)， 故\(P(B|A)=\frac{{P\left({A\capB}\right)}}{{P\left(A\right)}}=\frac{{{\textstyle{1\over4}}}}{{{\textstyle{1\over2}}}}=\frac{1}{2}\)。

讓我們改變上述問題的條件，再來練習條件機率： 投擲公正硬幣兩次。

在已知擲出一次正面的情形下，求投擲兩次皆為正面的機率。

延續上述的符號，並且設擲出一次正面的事件為\(C\)，則\(C=\{\)正正，正反，反正\(\}\)，\(A\capC=\{\)正正\(\}\)。

因此，\(P(B|C)=\frac{{{\textstyle{1\over4}}}}{{{\textstyle{3\over4}}}}=\frac{1}{3}\)。

換言之，在條件的影響下，事件的機率通常會產生變化。

並且，不同的條件常常造成機率的改變，這使得原本懼怕機率的同學常覺得條件機率更是「難以掌握」。

進一步，依據古典機率的定義，我們可以推得 \(\displaystyleP\left({B|A}\right)=\frac{{P\left({A\capB}\right)}}{{P\left(A\right)}}=\frac{{\frac{{n\left({A\capB}\right)}}{{n\left(S\right)}}}}{{\frac{{n\left(A\right)}}{{n\left(S\right)}}}}=\frac{{n\left({A\capB}\right)}}{{n\left(A\right)}}\) 式中\(\frac{{n\left({A\capB}\right)}}{{n\left(A\right)}}\)比值的意義是： 將樣本空間「限縮」在事件\(A\) 上，考慮事件\(B\) 發生的機率， 此一詮釋符合條件機率的意涵，也呼應古典機率的定義。

不妨再回頭檢視上述提及的問題，更能確定此一詮釋的正確性： \(A=\{\)正正，正反\(\}\)，\(A\capB=\{\)正正\(\}\)，所以\(P\left({B|A}\right)=\frac{{n\left({A\capB}\right)}}{{n\left(A\right)}}=\frac{1}{2}\)；\(C=\{\)正正，正反，反正\(\}\)，\(A\capC=\{\)正正\(\}\)，因此 \(P\left({B|C}\right)=\frac{{n\left({A\capC}\right)}}{{n\left(C\right)}}=\frac{1}{3}\)。

事實上，「限縮樣本空間」的看法，常能幫忙我們解決情況較為複雜的條件機率問題，例如99年數甲的問題： 一個抽獎活動依排隊順序抽獎，輪到抽獎的人有一次抽獎機會，抽獎方式為丟擲一枚公正銅板，正面為中獎，反面為沒中獎。

獎品有三份，活動直到三份獎品都被抽中為止，則在排第四位的人可以抽獎的情況下，排第五位的人可以抽獎的條件機率為何？ 解法一： 令第四位可抽獎的事件為\(A\)，第五位可抽獎的事件為\(B\)， 由於第四位可抽獎，表示前三位的丟擲情形有下列三種 情形(1)：二正面一反面，機率為\(C_1^3{(\frac{1}{2})^3}=\frac{3}{8}\)； 情形(2)：一正面二反面，機率為 \(C_2^3{(\frac{1}{2})^3}=\frac{3}{8}\)； 情形(3)：三個反面，機率為 \(C_3^3{(\frac{1}{2})^3}=\frac{1}{8}\)； 機率\(P(A)=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\)。

接下來，第五位可以抽獎的狀況：若是情形(1)，第四位需丟擲反面；情形(2)(3)，第四位任意丟擲皆可。

因此，\(P(A\capB)=\frac{3}{8}\times\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times1+\frac{1}{8}\times1=\frac{{11}}{{16}}\)， 故\(P\left({B|A}\right)=\frac{{P\left({A\capB}\right)}}{{P\left(A\right)}}=\frac{{\frac{{11}}{{16}}}}{{\frac{7}{8}}}=\frac{{11}}{{14}}\)。

解法二：如下圖，我們將前面四位的各種抽獎情形列出，為了便於表示，丟擲正面以\(+\)表示；丟擲反面以\(-\)表示。

由圖易知，藍色和黃色部份表示第四位能抽獎的情形，共有\(14\)種。

其中，藍色為第五位能繼續抽獎的情形，有\(11\)種。

因此，\(P\left({B|A}\right)=\frac{{n\left({A\capB}\right)}}{{n\left(A\right)}}=\frac{{11}}{{14}}\)。

你看解法二是不是比解法一來得直接易懂呢！ 不過，是否從此就能踏上解決條件機率問題的坦途？那倒也未必，請看102年學測的問題： 袋子裡有\(3\)顆白球，\(2\)顆黑球。

由甲、乙、丙三人依序各抽取顆球，抽取後不放回。

若每顆球被取出的機會相等，請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下，丙抽到白球之條件機率為何？(1)\(\frac{1}{3}\) (2)\(\frac{5}{12}\) (3) \(\frac{1}{2}\) (4) \(\frac{3}{5}\) (5) \(\frac{2}{3}\) 或許你是這麼想的：由於抽球的情形不是白就是黑，因此，甲乙兩人抽出同色球的事件集合為\(\{\)白白白，白白黑，黑黑白\(\}\)。

因此，在甲和乙抽到相同顏色球的條件下﹐丙抽到白球的條件機率為\(\frac{2}{3}\)，答案為(5)。

可惜的是，這題的正確解答為(3)，為什麼？若你是依循上述思路的話，請試著想想失落的環節是什麼，在下一篇文章〈條件機率(2)：乘法定律〉中將會提出說明。

連結：條件機率(2)：乘法定律 Tags:條件機率 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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