第0章連桿之位置分析

在機構解析過程中，尤其連桿機構，常用向量迴路法。

這種方法可應用於簡單機構，亦可應用於複雜機構，但實際之解題過程中，仍然必須依照向量的法則及 ... skiptomain| skiptosidebar 1/27/06 第0章連桿之位置分析 分析四連桿分析方式有圖解法及閉路型分析法，故其可能得到的解常是相當直接的，而且容易得到一對一的答案。

這對於電腦軟體之使用，有時也會造成相當大的困擾，因為不同型式之機構存在有不同的解法，因此也需要建立不同的程式。

所以許多以疊代法的技巧建立的軟體開始被使用。

疊代法是利用電腦反覆運算的能力，使其答案能趨近於固定的值。

故計算的次數到底需要多少次，並無法預知，甚至是否能得到正確答案，也難有定論。

這也是利用電腦疊代運算時必須特別留意的。

代數分析法要瞭解四連桿組之位置，有多種解析法可以應用，諸如三角函數法、複數法、向量法或矩陣法等等，大部份需依賴電腦程式輔助分析。

茲就三角函數解析法之過程作一介紹。

圖3.1所示為一四連桿之各項參數，設四桿之度長度為r1、r2、r3、r4，其中r1與地平行，且為固定桿，而其餘各桿與水平x軸之夾角分別為θ2、θ3、θ4。

第一桿之夾角θ1為零，為簡化起見故不在此表示。

另D點為插植爪的端點，BCD為插稙植機構之活動部位，是一個整體的元件。

1-6.3.1相關公式由座標的關係，B結之座標可以表示如下：(1.50)圖1.16四連桿各結構參數由B與C結之座標與桿3及桿4長度間具有如下之關係：(1.51)(1.52)將公式1.51與1.52相減，可以得到C結之座標值，即：(1.53)設前項中之值為m，後面屬於Cy之係數為p，即：(1.54)則公式1.53可化簡為：(1.55)將式1.55代入式1.51，可以得到Cy之一元二次方程式，解之得：(1.56)由Cy可以經由式1.55求得Cx，並得到桿3及桿4之夾角θ3與θ4。

(1.57)1-6.3.2MATLAB函數的計算上述過程中為直接解出各角度，須注意公式1.56中應有兩值，而且應確定根號內須為正實數，若為負值表示所提供的連桿長度無法組成四連桿。

利用MATLAB求解上述過程下面之程式。

其呼叫函式為four_link1()：function[theta3,theta4,Cx,Cy]=four_link1(theta2,r,mode)其中輸入參數：theta2:桿2之輸入角度，可為矩陣資料。

r:列矩陣，各桿之長度，如：[r1r2r3r4]。

mode:+1或-1，選擇連桿組上下之方位。

輸出參數：theta3,theta4：桿3及桿4之輸出角度。

Cx,Cy：第四桿C結之座標，若為虛數值表示該位置不存在，其輸出角度不能採用。

程式4.5function[theta3,theta4,Cx,Cy]=four_link1(theta2,r,mode)%%P4.4function[theta]=four_link1(theta2,r)%Findtheanglesoflink3andlink,giventheta2and[r]%Example:%[theta3,theta4,Cx,Cy]=four_link1(80,[424.22.6],1)%DesignedbyD.S.Fon,BIME,NTU,Date:February8,2003.%rr=r.*r;d2g=pi/180;theta=theta2'*d2g;Bx=r(2)*cos(theta);By=r(2)*sin(theta);m=(rr(4)-rr(3)-rr(1)+rr(2))./(Bx-r(1))/2;mm=(m-r(1)).^2;p=By./(Bx-r(1));pp=p.*p;rootin=mm.*pp-(pp+1).*(mm-rr(4));arg=sqrt(rootin);Cy=((m-r(1)).*p+mode*arg)./(pp+1);Cx=m-p.*Cy;theta3=atan2(Cy-By,Cx-Bx)/d2g;theta4=atan2(Cy,Cx-r(1))/d2g;figure(1);axisequal;gridon;fori=1:length(theta)x=[0r(2)*cos(theta(i))Cx(i)r(1)0];y=[0r(2)*sin(theta(i))Cy(i)00];line(x,y);end執行例：>>[theta3,theta4,Cx,Cy]=four_link1([0:30:360],[424.22.6],1)theta3=27.6611.3578.15938.14739.881813.85621.5433.64848.09561.27768.15958.94527.66theta4=48.58344.64663.56586.525109.37129.51143.62149.31147.58139.65123.5692.23448.583Cx=5.725.84985.15754.15763.13772.34571.90671.76431.80522.01842.56253.89875.72Cy=1.94981.82712.32812.59522.45282.00581.54211.32721.39381.68322.16652.5981.9498圖17代數法求得四連桿之軌跡3.7.1向量迴路法利用解析法解位置關係有許多方法，如三角幾何法、複數法、向量法或矩陣法等。

在機構解析過程中，尤其連桿機構，常用向量迴路法。

這種方法可應用於簡單機構，亦可應用於複雜機構，但實際之解題過程中，仍然必須依照向量的法則及相關的數學運算。

利用向量迴路法可以配合數值分析法或電腦程式進行計算，因此可以分析位置、速度及加速度等機構上常見到的問題。

除平面機構外，向量迴路法亦可應用於空間機構，但由於計算過程複雜，有時需配合矩陣法。

向量迴路法係依機構之方位及座標系，若給予適當的向量，使之成為一個迴路，則每一迴路可以產生對應之迴路方程式，以進行求解。

對於簡單機構而言，僅能形成一個獨立向量迴路方程式，但對於複合機構則需要更多組聯立方程式才得以求解。

通常依尤拉定理(Euler)可以判斷所需之迴路數，即：Ｌ＝Ｊ－Ｎ＋１　　　(3.1)其中J為連結度為1之接頭數；N為連桿數。

當L大於一時，即需要等數之聯立方程式才能求解。

3.7.2任意向量的表示法連桿之結構因連接之桿數及活動結之位置條件不同，其活動範圍亦異。

開放式的連桿系，其運動的自由度較高。

兩桿加一活動結又稱為dyad結構。

任何幾何的機構均可利用位移向量、速度及加速之封閉方程式說明。

圖3.1任意向量之分析位置向量的表示法常用者有向量法，將其分成三個方向之座標。

如Rop，可以用下次表示：rp=r1+r2+r3r1=r1(cosθ1i+sinθ1j)r2=r2(cosθ2i+sinθ2j)r3=r3(cosθ3i+sinθ3j)----------------------------------(3.2)或以通式表示，位置向量可以改寫如下：rk=rk(cosθki+sinθkj)k=1,2,3-----------------------------------(3.3)以往分析速度及加速度等有圖解法及一般閉路型分析法，故其可能得到的解常是相當直接的，而且也可以得到一對一的答案。

這對於電腦軟體之使用，有時也會造成相當大的困擾，因為不同型式之機構存在有不同的解法，因此也需要建立不同的程式。

所以許多以疊代法的技巧建立的軟體開始被使用。

疊代法是利用電腦反覆運算的能力，使其答案能趨近於固定的值。

故計算的次數到底需要多少次，並無法預知，甚至是否能得到正確答案，也難有定論。

這也是利用電腦疊代運算時必須特別留意的。

四連桿之結構首先以四連桿之機構為例。

通常第一連桿為固定，第二連桿作為驅動桿，則依幾何關係可以作如下的陳述：圖1.四連桿之位置分析就垂直座標之x與y分向量，四連桿形成一個閉路，由△OQR及△PQR之餘弦函數可得下列兩式：Z²=r1²+r2²–2r1r2cosθ2Z²=r3²+r4²–2r3r4cosγ合併上兩式，Z²=r1²+r2²–2r1r2cosθ2　　=r3²+r4²–2r3r4cosγ由此等式可以獲得傳遞角(Transmissionangle)，γ為γ=cos-1{[r1²+r2²-r3²-r4²-2r1r2cosθ2]/[-2r3r4]}=cos-1{[Z2-r3²-r4²]/[–2r3r4]}=f(θ2)此處Z值可由第一式得知，只要θ2為已知即可，故γ值可以由以上兩式求得。

因此，實際上，Z值應為θ2之函數。

由於反餘弦應有兩個對應角度，故在實際運作上，四連桿亦應因角度大於或小於90度而有兩種安排，其情如下圖所示，或為密合型(Closure)或分支型(Branch)。

圖2.密合型與分支型之變化比較在正常的四連桿運作範圍，連桿3與連桿4間之夾角，或為傳遞角γ，其最佳的角度應趨近於直角，若運轉中傳遞角偏離90度或-90度超過45度時，則會因摩擦力增加，容易造成連桿打結。

四連桿之輸出桿與輸入桿角度之變化關係則仍可由圖1獲得。

根據餘弦定理得知：α=cos-1[(Z²+r4²–r3²)/(2Zr4)]β=cos-1[(Z²+r1²–r2²)/(2Zr1)]而第四連桿之輸出角θ4與上述之二角度α與β則如下之關係：θ4=180–(α+β)在這裡因為α與β之角度可能為負值。

以閉合型而言，上述兩角度均為正值，但分支型之角度β仍然維持正值，而α為負值，因為方向已經與閉合型相反。

為取得符號一致性，通常是當0°≦θ2＜180°時，β之值應在0°≦β＜180°之區間；而當180°≦θ2＜360°時，β之值應選在180°≦β＜360°之間，而讓α值分成正負來調適θ4實際之需要情況。

這種由輸入角求輸出角的過程，通常稱為位置分析。

本例中僅舉實際三角函數法作為分析的基本，其亦有向量法或極座標法可以做同樣的分析工作。

而連桿若超過四個時，其分析的過程將更為複雜。

例2.1一四連桿組如圖1所示，各桿之尺寸分別為r1=21cm、r2=9cm、r3=24cm、r4=18cm。

當輸入角θ2為60°時，試求其傳遞角γ及輸出角θ4。

解：以MATLAB程式撰寫如下：r=[2192418]’;tograd=pi/180;theta2=60*tograd;zz=rr(1)+rr(2)–2*r(1)*r(2)*cos(theta2);z=sqrt(zz);rr=r*.r;gama=arcos((rr(1)+rr(2)-rr(3)-rr(4)-2*r(1)*r(2)*cos(theta2))/(-2*r(3)*r(4)));alpha=arcos((zz+rr(4)–rr(3))/(2*z*r(4))beta=arcos((zz+rr(1)-rr(2))/(2*z*r(1))theta4=(pi-gama-alpha)/tograd;疊代法之應用前面所用的方法為閉合型之運算法，這種方法是直接以理論的公式計算其答案。

在簡單的結構中，通常這種運算可以輕易進行，雖然也可以藉助電腦程式之運算，但仍然不容易以相同的軟體結構應付所有的狀況。

這也是疊代法仍然在電腦程式中廣被應用的原因。

疊代法是重覆作同樣的運算，使其能收斂在答案的附近，而獲得所有其他角度之數值(包括桿3之夾角θ3)。

由於電腦運作速度相當快，對於一般之解題並不需要多少時間，而且答案的準確性亦能符合實際的需要。

我們同樣以圖1所示之四連桿機構為討論之基礎，則其在水平與垂直座標方向之分向量亦會形成一個閉路，即所有連桿之位置向量在各座標上之投影和應為零：X-方向：r1cos0+r4cos(θ4)–r2cos(θ2)–r3cos(θ3)=0Y-方向：r1sin0+r4sin(θ4)–r2sin(θ2)–r3sin(θ3)=0在本例中，連桿一設為水平，故其夾角為零，且連桿之各長度及輸入角度θ2為已知，故未知變為θ3及θ4。

理論上兩個方程式有兩個未知數應可以得解，但由於上述二方程式之未知數屬於三角函數，故不能立即解其聯立方程式，因此必須引入疊代的觀念。

將上兩式方程式改寫成函數形式：r1+r4cos(θ4)–r3cos(θ3)–r2cos(θ2)=f1(θ3,θ4)=f1(θ)r4sin(θ4)–r3sin(θ3)–r2sin(θ2)=f2(θ3,θ4)=f2(θ)函數f1(θ)、f2(θ)所代表為兩方程式計算後之值，亦即設法找到使此兩函數值均為零之解即為最終答案，故此兩函數僅屬暫時性之代表值。

而因變數所代表者θ=[θ3,θ4]。

疊代法在此之主要目的是求得θ3,θ4之兩個根，以符合f1(θ)=f2(θ)=0的條件。

開始時，我們可以先任意假設θ3,θ4之值作為上述函數之初根，通常第一次假設絕對不會有那麼幸運，與實際根一定會有誤差，設其誤差分別為△θ3,△θ4，則兩函數可以表示如下：　　fi(θ3+△θ3,θ4+△θ4)　　　　=fi(θ+△θ)=0i=1,2利用泰勃展開式將上式展開，並僅取其前兩項：　　fi(θ+△θ)=fi(θ)+dfi/d(θ3)△θ3+dfi/d(θ4)△θ4=0i=1,2換言之，我們可以將上兩次讓它等於零，然後進行趨近法疊代的方式：[df1/d(θ3)△θ3]+[df1/d(θ4)△θ4]=-f1(θ)[df2/d(θ3)△θ3]+[df2/d(θ4)△θ4]=-f2(θ)利用原來座標公式，將偏微分部分各取代之，即：(df1/d(θ3)=r3sinθ3(df1/d(θ4)=-r4sinθ4(df2/d(θ3)=-r3cosθ3(df2/d(θ4)=r4cosθ4將此四式分別代入上述兩式，即可獲得以△θ3及△θ4為未知數之線性之聯立方程式，由於f1(θ)及f2(θ)均為已知，故可立即得解。

[r3sin(θ3)]△θ3–[r4sin(θ4)]△θ4=-f1(θ3,θ4)[-r3cos(θ3)]△θ3+[r4cos(θ4)]△θ4=-f1(θ3,θ4)設[A]、[△θ]、[F]分別代表上述方程式之元素，其內容如下：[A]=r3sinθ3-r4sinθ4-r3cosθ3r4cosθ4[△θ]=△θ3△θ4[F]=-f1(θ3,θ4)-f1(θ3,θ4)配合這些矩陣，可以將上式簡化為矩陣方程式，並得到矩陣解[△θ]：[A][△θ]=[F][△θ]=[A]\[F]得到[△θ]後，即可求得△θ3與△θ4新的θ3及θ4值則可如下計算作為下次計算時之初值。

θ3(新)=θ3(舊)+△θ3θ4(新)=θ4(舊)+△θ4其流程如下所示：例2:同例1之四連桿，試進行位置分析 Postedby 不留白老人 at 3:50PM Labels: 四連桿 Nocomments: PostaComment NewerPost Home Subscribeto: PostComments(Atom) Home 本月熱門章節 第六章四連桿機構基本解析 3.4極座標轉換指令 第0章連桿之位置分析 第十章10.7擺動從動件之畫圖 第十二章齒列(1) 1.1.1平移(Translation) 1.1.2原點放大縮小(scaling) 1.1.5迴轉(Rotating) 3.2複數之運算 第四章機構之自由度 教學網站 機動學教學平台 機動學作業平台 MATLAB之工程應用 機動論壇 分類 傳力角 (1) 傳遞機構 (1) 凸輪 (4) 動畫 (7) 向量 (15) 四連桿 (17) 死點角 (1) 滑塊 (11) 滾動 (1) 瞬時中心 (1) 簡介 (1) 自由度 (3) 葛拉索準則 (1) 齒列 (1) 齒輪 (17) 存檔 ►  2009 (1) ►  May2009 (1) ►  2007 (64) ►  May2007 (11) ►  February2007 (27) ►  January2007 (26) ▼  2006 (16) ►  November2006 (15) ▼  January2006 (1) 第0章連桿之位置分析 流量統計