109年大學學測數學科詳解 - 朱式幸福

109年大學學測數學科詳解. 109學年度學科能力測驗試題. 數學考科. 第壹部分：選擇題（占6 0 分） 一、單選題. 解. $$\begin{cases}\sin \alpha=3/5 ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2020年2月12日星期三 109年大學學測數學科詳解 109學年度學科能力測驗試題 數學考科 第壹部分：選擇題（占60分） 一、單選題 解 $$\begin{cases}\sin\alpha=3/5=39/65\\\sin\beta=5/13=25/65\\\sin30^\circ=1/2=32.5/65\end{cases} \Rightarrow\sin\alpha>\sin30^\circ>\sin\beta，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$ 解 $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})=0\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot(-(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}))=0\\\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot(-(\overrightarrow{CD}))=0\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$ 解 $$(1)\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}\RightarrowP=D\\ (2)\overrightarrow{OP}={1\over4}\overrightarrow{OC}+{1\over2}\overrightarrow{OE}\RightarrowP在\triangleODE內\\(3)\overrightarrow{OP}=-{1\over4}\overrightarrow{OC}+{1\over2}\overrightarrow{OE}\RightarrowP在\triangleOEF內\\(4)\overrightarrow{OP}={1\over4}\overrightarrow{OC}-{1\over2}\overrightarrow{OE}\RightarrowP在\triangleOBC內\\(5)\overrightarrow{OP}=-{1\over4}\overrightarrow{OC}-{1\over2}\overrightarrow{OE}\RightarrowP在\triangleOAB內\\，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$ 解 $$A=\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix} \RightarrowA^{-1}=\begin{bmatrix}4&-1\\-3&1\end{bmatrix} \RightarrowB=I+A+A^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4&-1\\-3&1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6&0\\0&6\end{bmatrix}\RightarrowBA=\begin{bmatrix}6&0\\0&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&6\\18&24\end{bmatrix}，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$ 解 $$\begin{cases}|x-\sqrt{101}|<5 \\|x-\sqrt{38}|>3\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}-5+\sqrt{101}3+\sqrt{38}或x1 \Rightarrow\log(a^2b)>\log10\Rightarrowa^2b>10\\\Rightarrow(a,b)=(2,3-6),(3,2-6),(4,1-6),(5,1-6),(6,1-6)，共有4+5+6+6+6=27種\\\Rightarrow機率為27/36=3/4，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$ 解 $$f(x)=-\sqrt3x^3\Rightarrowf(-x)=\sqrt3x^3=-f(x)\Rightarrowf(x)為奇函數\\\Rightarrow(\cos\theta,\sin\theta)對稱原點的坐標為Q=(-\cos\theta,-\sin\theta)=(-\cos\theta,\sin(-\theta))，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$ 二、多選題 解 $$\begin{cases}滿足條件A \Rightarrow(1,3,1),(1,3,3),(1,3,5)\\滿足條件B\Rightarrow(1,3,2),(1,3,5)\end{cases} ,只能滿足條件A或條件B，不能都滿足\\\Rightarrow(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3)\Rightarrow未知點數可能為1,2,3，故選\bbox[red,2pt]{(1,2)}$$ 解 $$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|\cos\theta=2\times2\times\cos\theta=4\cos\theta=\begin{cases}2&\theta=60^\circ,如:\angleP_1OQ_1\\-2& \theta=120^\circ,如:\angleQ_1OQ_2\\-4& \theta=180^\circ,如:\angleP_1OQ_2\\-2& \theta=240^\circ,如:\angleP_1OP_2\end{cases}\\，故選\bbox[red,2pt]{(4,5)}$$ 解 $$(1)\bigcirc:f(0)=-4<0\\(2)\times:\begin{cases}f(x)=f(-x)\Rightarrow圖形對稱y軸\\00\end{cases} \Rightarrowf(1)\timesf(2)>0\Rightarrow無根介於1與2之間\\故選\bbox[red,2pt]{(1,4)}$$ 解  $$\begin{cases}\loga=1.1\\\logb=2.2\\\logc=3.3\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}a=10^{1.1}\\b=10^{2.2}\\c=10^{3.3}\end{cases} \\(A)\times:\begin{cases}a+c=10^{1.1}+10^{3.3} =10^{2.2}(10^{-1.1}+10^{1.1})\\2b=2\times10^{2.2}\end{cases}\Rightarrowa+c\ne2b\\(B)\times:a=10^{1.1}=10\times10^{0.1}=10\times\sqrt[10]{10}>10\\(C)\bigcirc:\begin{cases}\log2000=\log(2\times10^3)=\log2+\log10^3=0.301+3=3.301\\\log1000=3\end{cases}\\\qquad\Rightarrow3<3.3<3.301\Rightarrow1000\angleBOC\Rightarrow\overline{OC}>\overline{BC}\\(2)\bigcirc:理由同(1)\\(3)\times:\begin{cases}\triangleOAB面積={1\over2}\times\overline{OB}^2\times\sin\angleAOB\\\triangleOBC面積={1\over2}\times\overline{OB}^2\times\sin\angleBOC\end{cases},由於\angleAOB=60^\circ>\angleBOC=30^\circ\\\qquad\Rightarrow\triangleOBC面積小於\triangleOAB面積\\(4)\bigcirc: \begin{cases}\overline{OC}=\overline{AC}\\\overline{OB}=\overline{AB}\\\overline{OB}=\overline{OB}\end{cases} \Rightarrow\triangleCAB\cong\triangleCOB\Rightarrow\angleCAB=\angleCOB=30^\circ\\(5)\times:在\overline{OA}找一點P，使得\overline{BP}\bot\overline{OA};並令\overline{BC}=c,\overline{OC}=\overline{OB}=a,\overline{PB}=\overline{PC}=b,則a>b;\\  \Rightarrow\begin{cases}\cos\angleBOC={2a^2-c^2\over2a^2}=1-c^2/2a^2\\\cos\angleBPC={2b^2-c^2\over2b^2}=1-c^2/2b^2\end{cases} \Rightarrowc^2=(1-\cos\angleBOC)2a^2=(1-\cos\angleBPC)2b^2\\\Rightarrow(1-\cos\angleBOC)a^2=(1-\cos\angleBPC)b^2\Rightarrow1-\cos\angleBOC<1-\cos\angleBPC\\\Rightarrow\cos\angleBPC\angleBOC=30^\circ\Rightarrow兩平面夾角大於30^\circ\\故選\bbox[red,2pt]{(2,4)}$$ 第貳部分：選填題 解 $$原售價:200\times5=1000\Rightarrow利潤=1000-200=800\\第1次調降:利潤為800\times0.5=400；第2次調降:利潤為400\times0.5=200；\\第3次調降:利潤為200\times0.5=100\Rightarrow售價為200+100=\bbox[red,2pt]{300}元。

$$ 解 $$\begin{cases}黑黑黑:機率為{1\over2}\times{1\over3}\times{1\over3}={1\over18}\\白白白:機率為{1\over2}\times{1\over3}\times{1\over3}={1\over18}\end{cases} \Rightarrow按三次均同色的機率為{1\over18}+{1\over18}=\bbox[red,2pt]{{1\over9}}$$ 解  $$\begin{cases}2x+y=10與x-2y+15=0的交點為A=(1,8)\\2x+y=10與x-2y=0的交點為B=(4,2)\end{cases}\\令f(x,y)=3x-y\Rightarrow \begin{cases}f(A)=3-8=-5\\f(B)=12-2=10\end{cases} \Rightarrowc的最小值為\bbox[red,2pt]{-5}$$ 解 $$\cos\angleBAD={\overline{AD}^2+\overline{AB}^2-\overline{BD}^2\over2\times\overline{AD}\times\overline{AB}}\Rightarrow\cos135^\circ={4+2-\overline{BD}^2\over2\times2\times\sqrt2}\Rightarrow-{1\over\sqrt2}={6-\overline{BD}^2\over4\sqrt2}\\\Rightarrow\overline{BD}=\sqrt{10}\Rightarrow \begin{cases}\overline{OB}=m\\\overline{OD}=\sqrt{10}-m\end{cases}\Rightarrow \overline{AO}^2=\begin{cases}\overline{AB}^2-\overline{OB}^2=2-m^2\\\overline{AD}^2-\overline{OD}^2=4-(\sqrt{10}-m)^2\end{cases} \\ \Rightarrow2-m^2=4-(\sqrt{10}-m)^2\Rightarrowm={4\over\sqrt{10}} \Rightarrow\overline{AO}^2=\overline{AB}^2-m^2=2-{16\over10}={4\over10}\\ \Rightarrow\overline{AO}={2\over\sqrt{10}}\Rightarrow \overline{AC}={4\over\sqrt{10}}=\bbox[red,2pt]{2\sqrt{10}\over5}$$ 解  $$\begin{cases}A(1,7,2)\\B(2,-6,3)\\C(0,-4,1)\\交點P\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\overline{BC}直線方程式:{x-2\over-2}={y+6\over2}={z-3\over-2}\RightarrowP=(t+2,-t-6,t+3),t\inR\\\overrightarrow{BC}=(-2,2,-2)\\\overrightarrow{AP}=(t+1,-t-13,t+1)\end{cases}\\ \Rightarrow\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow(t+1,-t-13,t+1)\cdot(-2,2,-2)=0\Rightarrowt+1+t+13+t+1=0\\\Rightarrow3t+15=0\Rightarrowt=-5\RightarrowP=(-5+2,5-6,-5+3)=\bbox[red,2pt]{(-3,-1,-2)}$$ $$假設該等腰梯形ABCD(如上圖)在平面坐標上，其原點O為\overline{AB}之中點，\\則該梯形各頂點坐標為\begin{cases}A(2,0)\\B(-2,0)\\C(-3,-14)\\D(3,-14)\end{cases}\Rightarrow拋物線方程式為為y=a(x-2)(x+2)，\\將D代入可得-14=a\times1\times5\Rightarrowa=-{14\over5}\Rightarrowy=-{14\over5}(x^2-4)\Rightarrowx^2=-{5\over14}y+4\\\Rightarrowx^2=4\times-{5\over56}(y-{56\over5})\Rightarrow焦距為\left|-{5\over56}\right|=\bbox[red,2pt]{5\over56}$$ 解 $$\overline{QT}=2\sqrt3\Rightarrow\overline{OQ}=\sqrt3\\ \overline{PO}\bot\overline{OQ}\Rightarrow\overline{PO}=\sqrt{\overline{PQ}^2-\overline{QO}^2}=\sqrt{4-3}=1\Rightarrow\angleQPO=60^\circ \Rightarrow\angleQPT=120^\circ\\\Rightarrow\begin{cases}扇形PQST面積={120^\circ\over360^\circ}\times\overline{PQ}^2\times\pi={4\over3}\pi\\\trianglePQT面積=\overline{QT}\times\overline{PO}\div2=\sqrt3\\半圓QRT面積=\overline{QO}^2\times\pi\div2={3\over2}\pi\end{cases}\\ \Rightarrow灰色面積=半圓QRT面積-(扇形PQST面積-\trianglePQT面積)={3\over2}\pi-({4\over3}\pi-\sqrt3)\\={1\over6}\pi+\sqrt3\Rightarrow \bbox[red,2pt]{\begin{cases}a=1/6\\b=3\end{cases}}$$ --END-- 張貼者： C.-H.Chu 於 下午5:25 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 高中數學, 學測 沒有留言: 張貼留言 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 標籤 319鄉 (3) 工程數學 (70) 公費留考 (1) 心得 (3) 目次 (7) 身障升大學 (19) 身障升四技 (40) 指考 (43) 研討會 (45) 科學班 (6) 海外遊 (30) 特招 (26) 高中數學 (261) 高普考 (122) 高職數學 (186) 國小數學 (2) 國中數學 (103) 國內遊 (54) 基測 (24) 教甄 (92) 教檢 (2) 單車 (39) 統計 (50) 統測 (79) 微分方程 (9) 微積分 (35) 會考 (13) 路跑 (11) 運動績優 (16) 電腦管理 (22) 臺澎金馬 (6) 論文徵稿 (2) 學力鑑定 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C.-H.Chu 不用補習也可以把數學學好..... 檢視我的完整簡介 pline