條件收斂- 維基百科，自由的百科全書

1 詳細定義. 1.1 條件收斂的級數; 1.2 條件收斂的廣義積分 · 2 例子. 2.1 無窮級數; 2.2 廣義積分 · 3 相關定理 · 4 參見 · 5 參考來源 ... 條件收斂 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 條件收斂是數學中無窮級數和廣義積分的一種性質。

收斂但不絕對收斂的無窮級數或廣義積分稱為條件收斂的。

一個積分條件收斂的函數也稱為條件可積函數。

目次 1詳細定義 1.1條件收斂的級數 1.2條件收斂的廣義積分 2例子 2.1無窮級數 2.2廣義積分 3相關定理 4參見 5參考來源 詳細定義[編輯] 條件收斂的級數[編輯] 給定一個實數項無窮級數 A = ∑ n a n {\displaystyleA=\sum_{n}a_{n}} ，如果它自身收斂於一個定值 C ∈ R {\displaystyleC\in\mathbb{R}} ： ∑ n = 1 ∞ a n = C , {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=C,} 但由每一項的絕對值構成的正項級數： A s = ∑ n | a n | {\displaystyleA_{s}=\sum_{n}|a_{n}|} 不收斂： ∑ n = 1 ∞ | a n | = ∞ , {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|=\infty,} 那麼就稱這個無窮級數 A = ∑ n a n {\displaystyleA=\sum_{n}a_{n}} 是一個條件收斂的無窮級數。

[1]:149 條件收斂的廣義積分[編輯] 給定一個在區間 [ a , ∞ ) {\displaystyle[a,\infty)} 上有定義的函數 f ( x ) {\displaystylef(x)} ，如果 f ( x ) {\displaystylef(x)} 在任意的閉區間 [ a , b ] {\displaystyle[a,b]} 上都可積，並且廣義積分： ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim b → + ∞ ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x} 收斂，而函數絕對值的廣義積分： ∫ a + ∞ | f ( x ) | d x = lim b → + ∞ ∫ a b | f ( x ) | d x {\displaystyle\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\mathrm{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}|f(x)|\mathrm{d}x} 發散，那麼就稱廣義積分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x {\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x} 條件收斂。

[2]:104 例子[編輯] 無窮級數[編輯] 常見的條件收斂的無窮級數包括交錯調和級數： A h = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ = ∑ n ( − 1 ) n + 1 n {\displaystyleA_{h}=1-{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{3}}-{\frac{1}{4}}+\cdots=\sum_{n}{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}} 它收斂到定值： ln ⁡ 2 {\displaystyle\ln2} ，而對應的由每項的絕對值構成的正項函數： H = ∑ n | ( − 1 ) n + 1 n | = ∑ n 1 n {\displaystyleH=\sum_{n}{\bigg|}{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg|}=\sum_{n}{\frac{1}{n}}} 叫做調和級數，是發散的。

∑ n = 1 ∞ 1 n = ∞ . {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}=\infty.} 廣義積分[編輯] 條件收斂的廣義積分的一個例子是函數： sin ⁡ x x {\displaystyle{\frac{\sinx}{x}}} 在正實數軸上的積分： I = ∫ 1 + ∞ sin ⁡ x x d x {\displaystyleI=\int_{1}^{+\infty}{\frac{\sinx}{x}}\mathrm{d}x} 任取實數 a > 1 {\displaystylea>1} ，運用分部積分法可以得到： ∫ 1 a sin ⁡ x x d x = cos ⁡ 1 − cos ⁡ a a − ∫ 1 a cos ⁡ x x 2 d x {\displaystyle\int_{1}^{a}{\frac{\sinx}{x}}\mathrm{d}x=\cos1-{\frac{\cosa}{a}}-\int_{1}^{a}{\frac{\cosx}{x^{2}}}\mathrm{d}x} 而對任意的正實數 A , B > 1 {\displaystyleA,B>1} ： | ∫ A B cos ⁡ x x 2 d x | ⩽ ∫ A B | cos ⁡ x | x 2 d x ⩽ ∫ A B 1 x 2 d x ⩽ 1 A {\displaystyle{\Bigg|}\int_{A}^{B}{\frac{\cosx}{x^{2}}}\mathrm{d}x{\Bigg|}\leqslant\int_{A}^{B}{\frac{|\cosx|}{x^{2}}}\mathrm{d}x\leqslant\int_{A}^{B}{\frac{1}{x^{2}}}\mathrm{d}x\leqslant{\frac{1}{A}}} 由柯西收斂原理可知廣義積分 ∫ 1 + ∞ cos ⁡ x x 2 d x {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}{\frac{\cosx}{x^{2}}}\mathrm{d}x} 收斂，所以 ∫ 1 + ∞ sin ⁡ x x d x = lim a → + ∞ ∫ 1 a sin ⁡ x x d x = cos ⁡ 1 − lim a → + ∞ cos ⁡ a a − lim a → + ∞ ∫ 1 a cos ⁡ x x 2 d x = cos ⁡ 1 − ∫ 1 + ∞ cos ⁡ x x 2 d x {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}{\frac{\sinx}{x}}\mathrm{d}x=\lim_{a\to+\infty}\int_{1}^{a}{\frac{\sinx}{x}}\mathrm{d}x=\cos1-\lim_{a\to+\infty}{\frac{\cosa}{a}}-\lim_{a\to+\infty}\int_{1}^{a}{\frac{\cosx}{x^{2}}}\mathrm{d}x=\cos1-\int_{1}^{+\infty}{\frac{\cosx}{x^{2}}}\mathrm{d}x} 即積分： I = ∫ 1 + ∞ sin ⁡ x x d x {\displaystyleI=\int_{1}^{+\infty}{\frac{\sinx}{x}}\mathrm{d}x} 收斂。

但是，絕對值函數的積分： I s = ∫ 1 + ∞ | sin ⁡ x x | d x {\displaystyleI_{s}=\int_{1}^{+\infty}{\bigg|}{\frac{\sinx}{x}}{\bigg|}\mathrm{d}x} 不收斂。

這是因為對任意自然數 k {\displaystylek} ，積分： I k = ∫ k π ( k + 1 ) π | sin ⁡ x x | d x ⩾ ∫ k π ( k + 1 ) π | sin ⁡ x | ( k + 1 ) π d x = 2 ( k + 1 ) π = 2 π ⋅ 1 k + 1 {\displaystyleI_{k}=\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}{\bigg|}{\frac{\sinx}{x}}{\bigg|}\mathrm{d}x\geqslant\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}{\frac{|\sinx|}{(k+1)\pi}}\mathrm{d}x={\frac{2}{(k+1)\pi}}={\frac{2}{\pi}}\cdot{\frac{1}{k+1}}} 所以 I s = ∫ 1 + ∞ | sin ⁡ x x | d x ⩾ ∑ k = 1 + ∞ I k ⩾ 2 π ⋅ ∑ k = 1 + ∞ 1 k + 1 = + ∞ {\displaystyleI_{s}=\int_{1}^{+\infty}{\bigg|}{\frac{\sinx}{x}}{\bigg|}\mathrm{d}x\geqslant\sum_{k=1}^{+\infty}I_{k}\geqslant{\frac{2}{\pi}}\cdot\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{1}{k+1}}=+\infty} 因此，積分 I = ∫ 1 + ∞ sin ⁡ x x d x {\displaystyleI=\int_{1}^{+\infty}{\frac{\sinx}{x}}\mathrm{d}x} 是條件收斂的。

[2]:104-106 相關定理[編輯] 黎曼級數定理：假設 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}} 是一個條件收斂的無窮級數。

對任意的一個實數 C {\displaystyleC} ，都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列 σ : n ↦ σ ( n ) {\displaystyle\sigma:\,\,n\mapsto\sigma(n)} ，使得 ∑ n = 1 ∞ a σ ( n ) = C . {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)}=C.} 此外，也存在另一種排列 σ ′ : n ↦ σ ′ ( n ) {\displaystyle\sigma':\,\,n\mapsto\sigma'(n)} ，使得 ∑ n = 1 ∞ a σ ′ ( n ) = ∞ . {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{\sigma'(n)}=\infty.} 類似地，也可以有辦法使它的部分和趨於 − ∞ {\displaystyle-\infty} ，或沒有任何極限。

[3]:192 反之，如果級數是絕對收斂的，那麼無論怎樣重排，它仍然會收斂到同一個值，也就是級數的和。

[3]:193 參見[編輯] 無條件收斂 絕對收斂 參考來源[編輯] ^J.A.Fridy.Introductoryanalysis:thetheoryofcalculus.GulfProfessionalPublishing.2000.ISBN 9780122676550.  ^2.02.1清華大學數學科學系.《微积分》.北京:清華大學出版社有限公司.2003.ISBN 9787302069171.  ^3.03.1S.Ponnusamy.Foundationsofmathematicalanalysis.Springer.2012.ISBN 9780817682927.  取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=条件收敛&oldid=26976511」 分類：級數極限 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 BosanskiCatalàEnglishفارسیעברית日本語NederlandsРусскийSvenskaУкраїнська 編輯連結