一元二次方程- 维基百科，自由的百科全书

一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

... 等都是一元二次方程。

... 也可以省略不写。

當然，一元二次方程式有時會出現虛數根。

一元二次方程 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

例如， x 2 − 3 x + 2 = 2 {\displaystylex^{2}-3x+2=2} ， ( 3 − 2 i ) x 2 + 23 − 6 i π x − sin ⁡ 2 = 0 {\displaystyle\left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi}]{23-6i}}x-\sin2=0} ， t 2 − 3 = 0 {\displaystylet^{2}-3=0} 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是： a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\qquad\left(a\neq0\right)} 其中， a x 2 {\displaystyleax^{2}} 是二次项， b x {\displaystylebx} 是一次项， c {\displaystylec} 是常数项。

a ≠ 0 {\displaystylea\neq0} 是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。

当然，在强调了是一元二次方程之后， a ≠ 0 {\displaystylea\neq0} 也可以省略不写。

當然，一元二次方程式有時會出現虛數根。

目录 1歷史 2解法 2.1因式分解法 2.2公式解法 2.2.1公式解的證明 2.2.2一般化 2.2.3根的判别式 2.3非實係數一元二次方程 2.4根與係數 2.5图像解法 2.6计算机法 3相關連結 4外部連結 歷史[编辑] 古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。

在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。

公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。

亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liberembadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。

但这一点在他的时代存在着争议。

这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）： 在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。

将其转化为数学语言：解关于 x {\displaystylex} 的方程 a x 2 + b x = − c {\displaystyleax^{2}+bx=-c} 　　在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即 4 a {\displaystyle4a} ，得 4 a 2 x 2 + 4 a b x = − 4 a c {\displaystyle4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac} 　　在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即 b 2 {\displaystyleb^{2}} ，得 4 a 2 x 2 + 4 a b x + b 2 = − 4 a c + b 2 {\displaystyle4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}} 　　然后在方程的两边同时开二次方根，得 2 a x + b = ± − 4 a c + b 2 2 {\displaystyle2ax+b=\pm{\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}} [1] 解法[编辑] 阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据 a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 、 c {\displaystylec} 三个系数，通过初等代数运算来求解。

求得的解也被称为方程的根。

一般來說，一元二次方程有兩個解，答案需提供兩個不同的數值，只要符合 a ≠ 0 {\displaystylea\neq0} 的原則就可以了。

因式分解法[编辑] 把一个一元二次方程变形成一般形式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 後，如果 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。

解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 存在两个实根 x 1 , x 2 {\displaystylex_{1},x_{2}} ，那么它可以因式分解为 a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0 {\displaystylea(x-x_{1})(x-x_{2})=0} 。

例如，解一元二次方程 x 2 − 3 x + 2 = 0 {\displaystylex^{2}-3x+2=0} 时，可将原方程左边分解成 ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 {\displaystyle\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0} 所以 x − 1 = 0 x − 2 = 0 {\displaystylex-1=0\quadx-2=0} 可解得 x 1 = 1 x 2 = 2 {\displaystylex_{1}=1\quadx_{2}=2} 公式解法[编辑] 對於 a x 2 + b x + c = 0   ( a ≠ 0 ) {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\(a\neq0)} ，它的根可以表示為： x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystylex_{1,2}={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}} 當 c ≠ 0 {\displaystylec\neq0} 時也寫成 x 1 , 2 = 2 c − b ± b 2 − 4 a c   {\displaystylex_{1,2}={\frac{2c}{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}}} 公式解的證明[编辑] 公式解可以由配法得出。

首先先將一元二次方程的一般形式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 除以 a {\displaystylea} （ a {\displaystylea} 在一元二次方程中不為零），將會得到 x 2 + b a x + c a = 0 {\displaystylex^{2}+{\frac{b}{a}}x+{\frac{c}{a}}=0} 即 x 2 + b a x = − c a {\displaystylex^{2}+{\frac{b}{a}}x=-{\frac{c}{a}}} 現在可以開始配方了。

為了配方，必須要加上一個常數（在這個例子裡，它是指一個不隨 x {\displaystylex} 而變的量）到等式的左邊，使等式左邊有完全平方 x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystylex^{2}+2xy+y^{2}} 的樣子。

當 2 x y = b a x {\displaystyle2xy={\frac{b}{a}}x} 時得到 y = b 2 a {\displaystyley={\frac{b}{2a}}} 亦即當式子的兩邊加上 y 2 = b 2 4 a 2 {\displaystyley^{2}={\frac{b^{2}}{4a^{2}}}} 將得到： x 2 + b a x + b 2 4 a 2 = − c a + b 2 4 a 2 {\displaystylex^{2}+{\frac{b}{a}}x+{\frac{b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac{c}{a}}+{\frac{b^{2}}{4a^{2}}}} 式子的左邊變成了一個完全平方了。

並且可以看出是 ( x + b 2 a ) {\displaystyle\left(x+{\tfrac{b}{2a}}\right)} 的平方。

式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了： ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle\left(x+{\frac{b}{2a}}\right)^{2}={\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}} 接下來，對式子的兩邊開根號： | x + b 2 a | = b 2 − 4 a c   | 2 a | ⇔ x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle\left|x+{\frac{b}{2a}}\right|={\frac{\sqrt{b^{2}-4ac\}}{|2a|}}\Leftrightarrowx+{\frac{b}{2a}}=\pm{\frac{\sqrt{b^{2}-4ac\}}{2a}}} 最後，式子兩邊同時減去 b 2 a {\displaystyle{\frac{b}{2a}}} 公式解終於出現了： x = − b 2 a ± b 2 − 4 a c   2 a = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystylex=-{\frac{b}{2a}}\pm{\frac{\sqrt{b^{2}-4ac\}}{2a}}={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}} 一般化[编辑] 一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、複數或是任意数域中适用。

一元二次方程中的判别式 b 2 − 4 a c {\displaystyle{\sqrt{b^{2}-4ac}}} 應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為 b 2 − 4 a c {\displaystyleb^{2}-4ac} 的數當中任何一個」。

在某些数域中，有些數值没有平方根。

根的判别式[编辑] 对于實係数一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\left(a\neq0\right)} ， Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle\Delta=b^{2}-4ac} 称作一元二次方程根的判別式。

根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况： 如果 Δ > 0 {\displaystyle\Delta>0} ，则这个一元二次方程有兩个不同的实数根。

如果係數都為有理數，且 Δ {\displaystyle\Delta} 是一个完全平方数，則這兩個根都是有理数，否則這兩個根至少有一個是無理數。

如果 Δ = 0 {\displaystyle\Delta=0} ，则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。

而且這兩個根皆為 x = − b 2 a {\displaystylex=-{\frac{b}{2a}}} 如果 Δ < 0 {\displaystyle\Delta<0} ，则这个一元二次方程有兩個不同的複數根，兩根互为共轭复数。

這時根為 x = − b 2 a + i 4 a c − b 2 2 a x = − b 2 a − i 4 a c − b 2 2 a {\displaystyle{\begin{aligned}x&={\frac{-b}{2a}}+i{\frac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}}\\x&={\frac{-b}{2a}}-i{\frac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}}\\\end{aligned}}} 其中 i 2 = − 1 {\displaystyle{\begin{aligned}i^{2}&=-1\end{aligned}}} 非實係數一元二次方程[编辑] 即係數为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不適用於非實係數一元二次方程。

根與係數[编辑] 根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。

x 1 + x 2 = − b + b 2 − 4 a c   2 a + − b − b 2 − 4 a c   2 a = − 2 b 2 a = − b a {\displaystylex_{1}+x_{2}={\frac{-b+{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}+{\frac{-b-{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}={\frac{-2b}{2a}}=-{\frac{b}{a}}} x 1 ⋅ x 2 = − b + b 2 − 4 a c   2 a ⋅ − b − b 2 − 4 a c   2 a = b 2 − b 2 + 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a {\displaystylex_{1}\cdotx_{2}={\frac{-b+{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}\cdot{\frac{-b-{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}={\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac{4ac}{4a^{2}}}={\frac{c}{a}}} 图像解法[编辑] Δ > 0 {\displaystyle{\color{Red}{}\Delta>0}} ，则该函数与x轴相交（有两个交点） Δ = 0 {\displaystyle{\color{Blue}{}\Delta=0}} ，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点） Δ < 0 {\displaystyle{\color{Green}{}\Delta<0}} ，则该函数与x轴相离（没有交点） 一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 的根的几何意义是二次函数 y = a x 2 + b x + c {\displaystyley=ax^{2}+bx+c} 的图像（為一条抛物线）与 x {\displaystylex} 轴交点的x坐标。

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 的解是 y = x 2 {\displaystyley=x^{2}} 和 y = − b a x − c a {\displaystyley=-{\begin{matrix}{\frac{b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac{c}{a}}\end{matrix}}} 交點的X座標 另外一种解法是把一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 化为 x 2 = − b a x − c a {\displaystylex^{2}=-{\frac{b}{a}}x-{\frac{c}{a}}} 的形式。

则方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 的根，就是函数 y = x 2 {\displaystyley=x^{2}} 和 y = − b a x − c a {\displaystyley=-{\frac{b}{a}}x-{\frac{c}{a}}} 交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法[编辑] 在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据下面的公式去解 x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystylex_{1,2}={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac\}}}{2a}}} 可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。

而大部分程序则只会给出数值解。

(但亦有部分顯示平方根及虛數) 相關連結[编辑] 方程 三次方程 外部連結[编辑] 101usesofaquadraticequation:PartI（页面存档备份，存于互联网档案馆），PartII（页面存档备份，存于互联网档案馆） 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=一元二次方程&oldid=73629110” 分类：​方程初等代数 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 在其他项目中 维基共享资源 其他语言 AfrikaansالعربيةAsturianuAzərbaycancaتۆرکجهБашҡортсаБеларускаяБеларуская(тарашкевіца)БългарскиবাংলাBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschΕλληνικάEnglishEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFøroysktFrançaisGaeilgeGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiHornjoserbsceMagyarՀայերենBahasaIndonesiaIdoÍslenskaItaliano日本語ქართულიҚазақшаភាសាខ្មែរ한국어LatinaLinguaFrancaNovaLombardLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംBahasaMelayuNederlandsNorsknynorskNorskbokmålOccitanਪੰਜਾਬੀPolskiPortuguêsRomânăРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaShqipСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ТоҷикӣไทยTürkçeУкраїнськаاردوOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt吴语ייִדיש文言粵語 编辑链接