2018-01-19：數學歸納法一題 - 宇宙數學教室

臉書好友Liu M. C.轉來一道題目徵詢我的意見，我專精中學數學，所以就獻了一回醜。

==題目== 對於任意正整數n，證明n√n!≤n+12。

==解答==. 日誌首頁 教室簡介、課表與收費 歷屆基測、會考數學試題詳解 非關數學、無關教育 稀罕書籍 2018年1月19日星期五 2018-01-19：數學歸納法一題 臉書好友LiuM.C.轉來一道題目徵詢我的意見，我專精中學數學，所以就獻了一回醜。

==題目== 對於任意正整數$n$，證明$\sqrt[n]{n!}\leq\frac{n+1}{2}$。

==解答== 首先，原來要求證的命題【$\sqrt[n]{n!}\leq\frac{n+1}{2}$】等價於【$n!\leq\left(\frac{n+1}{2}\right)^n$】。

因此我們逕直處理等價命題即可。

$n=1$時，左式$=1!=1$，右式$=\left(\frac{1+1}{2}\right)^1=1$，得左式$\leq$右式，命題成立。

設$n-1$時成立，即有 $$ (n-1)!\leq\left[\frac{(n-1)+1}{2}\right]^{n-1}. $$ 整理得 $$ (n-1)!\leq\left(\frac{n}{2}\right)^{n-1}. $$ (此即我們的「歸納假設(InductiveHypothesis)」) $n$時， \begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{2}\right)^n &=&\left(\frac{n}{2} +\frac{1}{2}\right)^n\\ &=&\sum_{k=0}^{n}{n\choosek}\left(\frac{n}{2}\right)^{n-k}\left(\frac{1}{2}\right)^k\\ &=&\left(\frac{n}{2}\right)^n +n\cdot\left(\frac{n}{2}\right)^{n-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right) +\ldots + \left(\frac{1}{2}\right)^n\\ &\geq&\left(\frac{n}{2}\right)^n +n\cdot\left(\frac{n}{2}\right)^{n-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)\\ &=&\left(\frac{n}{2}\right)^{n-1}\left[\left(\frac{n}{2}\right) +\frac{n}{2}\right]\\ &=&\left(\frac{n}{2}\right)^{n-1}\cdotn\\ &\geq&(n-1)!\cdotn\\ &=&n! \end{eqnarray*} 故由數學歸納法得證。

(解答結束) ==附註== 可能會有人批評我所用的數學歸納法證明格式不太合乎一般課本所教的方式，這裡我有兩點聲明： 1.我所用的格式，與中國、俄國的寫法是一致的。

而我更喜歡這樣的寫法，因為不用再額外引進一個變數$k$。

2.數學歸納法就是個方法，不應在這種無關緊要的地方琢磨。

真要說嚴格，那是不是全部改成用集合的語言的那種寫法？神經病！ 張貼者： 周伯欣 於 下午1:03 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 高中數學, 階乘, 遞增數列, 數學歸納法, n次方根 沒有留言: 張貼留言 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 本教室臉書粉絲頁 搜尋此網誌 網誌存檔 ►  2022 (18) ►  七月 (1) ►  六月 (1) ►  五月 (9) ►  四月 (4) ►  三月 (1) ►  一月 (2) ►  2021 (25) ►  十一月 (2) ►  十月 (2) ►  九月 (2) ►  八月 (2) ►  七月 (1) ►  五月 (3) ►  四月 (2) ►  二月 (1) ►  一月 (10) ►  2020 (21) ►  十二月 (1) ►  十月 (1) ►  九月 (2) ►  七月 (1) ►  六月 (6) ►  五月 (2) ►  三月 (2) ►  二月 (3) ►  一月 (3) ►  2019 (47) ►  十月 (2) ►  九月 (1) ►  八月 (7) ►  六月 (2) ►  四月 (5) ►  三月 (10) ►  二月 (11) ►  一月 (9) ▼  2018 (97) ►  十二月 (1) ►  十一月 (2) ►  十月 (11) ►  五月 (4) ►  四月 (3) ►  三月 (65) ►  二月 (9) ▼  一月 (2) 2018-01-19：數學歸納法一題 2018-01-18：103學測，選填F，平面拼鋪問題 ►  2017 (14) ►  九月 (1) ►  八月 (2) ►  七月 (9) ►  六月 (1) ►  四月 (1) ►  2016 (16) ►  十一月 (6) ►  十月 (7) ►  九月 (2) ►  八月 (1) ►  2015 (51) ►  十月 (1) ►  九月 (1) ►  七月 (2) ►  六月 (2) ►  三月 (1) ►  二月 (2) ►  一月 (42) ►  2014 (18) ►  十二月 (18) ►  2013 (1) ►  十二月 (1) 標籤 高中數學 SergeLangGeometry 國中數學 線性代數 大學數學 三角形角度 三角形面積 103學年(上)新竹市立光華國中九年級數學期末考 排列組合 103國中教育會考 103學年(上)國立清華大學數學系線性代數一期末考詳解 三角函數 平行線性質 微積分 垂直 數學甲 矩陣 面積關係 三角形外心 三角形重心 二項式定理 平面向量 平面幾何 機率 算幾不等式 內錯角 因式分解 複數 AMemoirontheTheoryofMatrices ArthurCayley 三角形全等 印度理工學院 向量內積 和達三樹 數學史 數學歸納法 極限 理論物理基礎系列教程 矩陣理論紀要 翻譯 行列式 ApostolLinearAlgebra 三角形內心 三角形邊長關係 不等式 同位角 商高定理 排列 物理用數學 直角三角形 邊長比面積比 106數學甲 三角不等式 不定方程式 參數式 四邊形角度 導數 平行四邊形 有理數 比例 直線方程式 相似三角形 矩形面積 矩陣的逆 遞迴關係 n次方根 三角形內切圓半徑 偏導數 分類討論 北韓 反證法 向量加法 四邊形 四邊形切割 多項式 對數 排容原理 數論 法向量 無理數 矩陣轉置 絕對值 線性方程組 近似值 重複組合 鏈鎖律 集合 Cramer法則 field 三元三次輪換式 三角函數疊合 三角形 中垂線 乘法原理 代數 加法原理 可導 向量 向量長度 四則運算 因數與倍數 圓切線性質 圓方程式 域 對稱 平方恆等式 平方根的運算 平面方程式 弦 斜率 旋轉 梯度向量 梯形面積 橢圓 正三角形 正方形 正方形面積 特殊三角形邊長比 積分 立體幾何 統計 線性映射矩陣表示 角平分線定理 角度 質因數分解 配方法 非負整數解 餘弦定理 體 100學測 102學測 105數學甲 107學測 107數甲 110年學測試辦 2階矩陣 Cauchy不等式 Fibonacci數列 Hermite矩陣 JEEMain deMoivre定理 epsilon-delta論證法 n次方函數 一次函數 中線 中點 事件 二倍角公式 二元一次不等式 二元一次方程式 二次函數 二階偏導數 二階行列式 互補 估計 倒數函數 充分條件 共軛複數 共高三角形 分點公式 切線 割圓恆等式 同側內角 同餘 向量夾角 向量生成集 和的立方公式 單位圓 單墫 因數倍數 圓周角 圓盤 外接圓半徑 外積 子空間維度 完全相異組合 寒假作業 實數 對稱矩陣 常數函數 平均數 平方根 平方根函數 平方根的定義 幾何意義 座標平面 座標法 座標變換 弦心距 微分 微分方程 微積分基本定理 必要條件 指數 指考 教學 整數四則運算 整除關係 數值估計 數列 數列的極限 數學傳播 數學女孩 旋轉矩陣 最大值 松山高中 條件機率 梯形 極值 樣本空間 正整數 正整數解 求導 流程圖 熱力學 物理 特徵值 特徵空間 直徑 矩形 矩陣乘法 矩陣對角化 空間幾何 立方和公式 立方根 等比數列 等腰三角形 組合數 結合律 維度定理 線性組合 自然對數函數 自然數 華羅庚 角平分線 解集合 設未知數與列式 許志農講義 論文 變數變換 距離 速度 連續 連續自然數立方和求和公式 邏輯 量子力學 長除法 階乘 雙曲線 餘式定理 高職數學 101(上)士林高商高二第一次期中考 103(上)北一女高二第一次期中考 103學測 103學測模擬考 104國中教育會考 104學測 106學測 107國中教育會考 108學測 108數乙 108數甲 15度 1990中國高考數學全國卷 75度 95基測(I) 96基測(II) 99台北區公立高中數學甲模擬考第一次 99建中數資班入學考 AA相似 AI科技實做營 ASA全等 AnIntroductiontotheTheoryofNumbers DeMorgan定理 Dickson方程式論 E.M.Wright Fermat定理 Fermat小定理 Feynman G.H.Hardy Gauss記號 Gibbs自由能 H.B.Fine Helmholtz自由能 HigherAlgebrafortheUndergraduate I.Niven IIT JMO JeeAdvanced KennethBinmore Lagrange乘子法 Lagrange恆等式 Laplace算子 Laplacian Maxwell熱力學關係式 Newton-Leibniz公式 Newton商 Pascal三角形 Pauli矩陣 Perron Perron悖論 SSA問題 Shankar Taylor展開式 cos108度 cos18度 cos36度 cos42度 cos72度 disc norm normedvectorspace sin108度 sin18度 sin36度 sin42度 sin72度 sin75度 tan值 一元二次方程式 丁石孫 三倍角公式 三採陰 三次函數 三角函數的圖形 三角形中線 三角形內角和 三角形法則 三角方程式 不定積分 不連號 世界第一簡單實驗設計 世界第一簡單統計學 世茂出版社 中位數 中國1991年全國統一高考數學試卷（文科） 中垂線判別法 中垂線性質 乘冪 乘法 乘法公式 二位數 二元二次方程式 二次曲線 二項分佈 二項式係數 互不相關 互斥 互質 交換律 人民大學習堂 人民郵電出版社 人蔘 代數基本定理 代數數論 代數重數與幾何重數 休假 伸縮 位移 倍式 偏微分方程 偶函數 偽陰 偽陽 傅瑞琪 傳染病 入境 內能 全等三角形 共產黨 共線 共邊定理 典型伴隨矩陣 凱旋門 凸性 函數方程 函數極限 函數關係 分配律 切線方程式 初始條件 力學 加法 勘誤 包含 北京大學 區域 十進展開 印地安那瓊斯 反三角函數 反函數 反函數微商 可微 同界角 向量分析 向量分解 向量平行 和角公式 單位根 單維彰 單變數函數 四採陽 四邊形面積 四面體 國三模考 圓 圓心角 圓錐曲線 圖形交點個數 圖書館 圖靈出版 土地 垂線公設PERP1 基底 基本矩陣 基礎物理 堆疊 塗色問題 外角 多變數函數 多邊形內切圓 多邊形外心 大栗博司 大聖牌 大邊對大角 夾擠定理 奇偶性 女神降臨 學測 學習 完全平方數 定位板 實數完備性。

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