多項式方程式根與係數的關係，應用例題 - Math Pro 數學補給站

x^3-3x-4=0之三根為a,b,c ，由根與係數關係(Viète's formulas)可得 a+b+c = 0 ... 另外還有的關係式有 ... 小弟來個延伸反思，所以這個題目這樣下去， 三個方法解決所有問題的方法：接受，改變，放開。

　　　不能接受，那就改變，不能改變，那就放開。

註冊 登入 會員 幫助 MathPro數學補給站»高中的數學»I：數與函數»例題：多項式方程式根與係數的關係，應用例題 ‹‹上一主題|下一主題››  15 12›› 發新話題 發佈投票 發佈商品 發佈懸賞 發佈活動 發佈辯論 發佈影片 打印 例題：多項式方程式根與係數的關係，應用例題 weiye 瑋岳 發私訊 加為好友 目前離線 1# 大 中 小 發表於2007-1-2500:44  只看該作者 推到噗浪 推到臉書 例題：多項式方程式根與係數的關係，應用例題 引用:x^3-3x-4=0之三根為a,b,c,求(a-b)(b-c)(c-a)之值?我下面的過程，原理很簡單，可是手續很繁雜，僅供參考，拋磚引玉，期待其他人更短的解答！ x^3-3x-4=0之三根為a,b,c，由根與係數關係(Viète'sformulas)可得 a+b+c=0 ab+bc+ca=-3 abc=4 另外還有的關係式有 (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3x-4 以及 a^3-3a-4=0 b^3-3b-4=0 c^3-3b-4=0 ((((下面進入主題)))) 第一區塊 由於a+b+c=0， 所以-a=b+c,-b=a+c,-c=a+b 因此 本題所求= (a-b)(b-c)(c-a)=(a+(a+c))(b+(a+b))(c+(b+c)) 　　　　　　=(2a+c)(2b+a)(2c+b)....................* 第二區塊 本題所求= (a-b)(b-c)(c-a)=(a+b+c-(2b+c))(a+b+c-(2c+a))(a+b+c-(2a+b)) 　　　　　　=(0-(2b+c))(0-(2c+a))(0-(2a+b)) 　　　　　　=－(2b+c)(2c+a)(2a+b)....................** 由*跟**的相乘，可得 (本題所求)^2= （(a-b)(b-c)(c-a)）^2=－(2a+c)(2b+a)(2c+b)(2b+c)(2c+a)(2a+b) 　　　　　　　　　　..............................................*** 第三區塊 利用(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3x-4 將x以－2a帶入可得－3a(2a+b)(2a+c)=(-2a)^3-3(-2a)-4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　=－8a^3+6a-4 (利用a^3-3a-4=0將a^3=3a+4帶入)　　=18(-2-a) 將上式左右同除－3a 可得(2a+b)(2a+c)=18(-2-a)/(-3a) 同理，將以上步驟改成將x以－2b帶入，可得 =18(-2-b)/(-3b) 同理，將以上步驟改成將x以－2c帶入，可得 (2c+a)(2c+b)=18(-2-c)/(-3c) 將以上三式相乘，可得 (2a+b)(2a+c)(2b+a)(2b+c)(2c+a)(2c+b)=(18^3)*(-2-a)(-2-b)(-2-c)/(-27abc) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　=(18^3)*((-2)^3-3(-2)-4)/(-27*4) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　=18^2 上式帶入***，可得 (本題所求)^2= （(a-b)(b-c)(c-a)）^2=－(2a+c)(2b+a)(2c+b)(2b+c)(2c+a)(2a+b) 　　　　　　　　　=－18^2 所以，本題所求=(a-b)(b-c)(c-a)=±18i (你沒看錯，有i～是虛數～) 再補充一下正負兩個都是答案的原因 設x^3-3x-4=0實際解出之後的三根為x1,x2,x3， 若取a=x1,b=x2,c=x3，則 (a-b)(b-c)(c-a)=(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1) 若取a=x1,b=x3,c=x2，則 (a-b)(b-c)(c-a)=(x1-x3)(x3-x2)(x2-x1) 　　　　　　=－(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1) a,b,c取值不同可能剛好導致有負號差異(剛好對調奇數次)， 所以18i與－18i都是答案。

原討論串在：http://www.student.tw/db/showthread.php?t=96491 另一種解法：http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13822 　　　　　　（推廣：『設p,q是實數，且a,b,c是x^3+px+q=0的三根，則判別式=[(a-b)(b-c)(c-a)]^2=-4p^3-27q^2』） 多喝水。

UID1 帖子2167 閱讀權限200 上線時間7959小時 註冊時間2006-3-5 最後登入2022-9-20  查看詳細資料 TOP Ellipse 發私訊 加為好友 目前離線 2# 大 中 小 發表於2014-5-3015:41  只看該作者 剛好搜尋到這個主題 假設x=a,b,c為x^3+px+q=0的三根 證明:  (a-b)²(b-c)²(c-a)²=-4p^3-27q² 應該會有比較精簡的證法 您們想看嗎? [本帖最後由Ellipse於2014-5-3003:42PM編輯] UID329 帖子760 閱讀權限10 上線時間1193小時 註冊時間2009-8-4 最後登入2022-9-6  查看詳細資料 TOP tsusy 寸絲 發私訊 加為好友 目前離線 3# 大 中 小 發表於2014-5-3016:58  只看該作者 回復2#Ellipse的帖子 看到橢圓兄說有個精簡的證法，不禁想起我上次做的真是慘不忍堵 再想想，我也想一個好方法，哈~今日之我，已非昨日，我用做其它教甄題的方法 98師大附中：設\(f(x)=x^{12}+7x^{11}+1\),\(x_{1},x_{2},\ldots,x_{12}\)為\(f(x)=0\)的12個相異根，則\(\prod\limits_{i=1}^{12}(x_{i}^{2}-x_{i}+1)=\underline{\qquad\qquad}\)。

令\(f(x)=x^3+px+q\),\(a,b,c\)為\(f(x)=0\)之三根，以上題的方法計算\(f'(a)f'(b)f'(c)=-(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\)的值 (原本想說，要和橢圓兄一樣走神秘路線，但還是補點東西，以免看不懂) [本帖最後由tsusy於2014-5-3102:01PM編輯] 網頁方程式編輯imatheq UID981 帖子1045 閱讀權限10 來自方寸之地 上線時間2978小時 註冊時間2011-10-10 最後登入2022-9-4  查看個人網站 查看詳細資料 TOP Ellipse 發私訊 加為好友 目前離線 4# 大 中 小 發表於2014-5-3017:16  只看該作者 寸絲的寫法越來越高深 小弟有時都要看許久~ 的確這題若放在教甄證明題,一定慘不忍睹 還記得往年有一陣子很愛考這題計算題(給數據) 後來這考題就慢慢消失了 剛看原發文是在2007年weiye兄po的 距今也7年了~ UID329 帖子760 閱讀權限10 上線時間1193小時 註冊時間2009-8-4 最後登入2022-9-6  查看詳細資料 TOP Ellipse 發私訊 加為好友 目前離線 5# 大 中 小 發表於2014-5-3018:14  只看該作者 寸絲利用微分這個想法不錯~ 那小弟也給點提示好了~不要弄得太神祕~ 小弟用的方法是"凡得爾夢行列式" UID329 帖子760 閱讀權限10 上線時間1193小時 註冊時間2009-8-4 最後登入2022-9-6  查看詳細資料 TOP hua0127 發私訊 加為好友 目前離線 6# 大 中 小 發表於2014-5-3018:25  只看該作者 回復4#Ellipse的帖子 其實小弟還挺喜歡思考各位高手們的一些想法~ 剛看到寸絲兄PO的神想法就馬上拿筆算了一下， 只能說怎麼會想到要這樣去做(思索中)XD~~又學了一招~ 小弟來個延伸反思，所以這個題目這樣下去， \({{\left(a-b\right)}^{n}}{{\left(b-c\right)}^{n}}{{\left(c-a\right)}^{n}}\)都可以透過\({{\left(a-b\right)}^{2}}{{\left(b-c\right)}^{2}}{{\left(c-a\right)}^{2}}\)的值反求 若\(n\)為奇數，如weive老師所說，答案應該有兩個並且都合， 若\(n\)為偶數，直接用\({{\left(a-b\right)}^{2}}{{\left(b-c\right)}^{2}}{{\left(c-a\right)}^{2}}\)的值做運算即可， 這樣的結論不知有沒有什麼遺漏？ UID1133 帖子204 閱讀權限10 上線時間274小時 註冊時間2012-4-26 最後登入2014-8-18  查看詳細資料 TOP whzzthr 發私訊 加為好友 目前離線 7# 大 中 小 發表於2015-6-1412:44  只看該作者 可以跟橢圓老師請教你的證明嗎 謝謝 UID1817 帖子55 閱讀權限10 上線時間43小時 註冊時間2014-8-29 最後登入2022-9-14  查看詳細資料 TOP cefepime 發私訊 加為好友 目前離線 8# 大 中 小 發表於2015-6-1723:57  只看該作者 x³-3x-4=0之三根為a,b,c,求(a-b)(b-c)(c-a)之值。

我利用乘法公式來試解這題。

p³+q³+r³-3pqr=(p+q+r)(p+qω+rω²)(p+qω²+rω);ω=(-1+√3i)/2 由於本題根的排列順序不同，可得兩個等值異號的所求值，因此可任擇一順序，最後再掛"±"。

由上式，知x的三次方程:x³-3qrx+(q³+r³)=0之三根為-q-r，-qω-rω²，-qω²-rω; 在本題qr=1，q³+r³=-4，則q³-r³=±√[(-4)²-4]=±2√3   (a-b)(b-c)(c-a) =(qω-q+rω²-r)(qω²-qω+rω-rω²)(q-qω²+r-rω)  [以下三個"(...)"依序分別提出(ω-1)，ω(ω-1)，(ω-1)] =ω(ω-1)³(q+rω+r)(q-r)(-q-qω-r) =ω(ω-1)³(q-rω²)(q-r)(qω²-r)  [以下最後一個"(...)"提出ω²] =(ω-1)³(q-rω²)(q-r)(q-rω) =(ω-1)³(q³-r³)  [直接乘，或用公式:q³-r³=(q-r)(q-rω)(q-rω²)] =(ω-1)³*2√3(取一即可) =6√3*(-ω²+ω) =6√3*(√3i) =18i 故所求=±18i [本帖最後由cefepime於2015-6-1804:05PM編輯] UID1732 帖子337 閱讀權限10 上線時間364小時 註冊時間2014-6-4 最後登入2022-4-9  查看詳細資料 TOP 瓜農自足 發私訊 加為好友 目前離線 9# 大 中 小 發表於2015-6-1823:16  只看該作者 『設p,q是實數，且a,b,c是x^3+px+q=0的三根，則判別式=[(a-b)(b-c)(c-a)]^2=-4p^3-27q^2』 嘗試用凡德夢行列式，終於做出結論，要用到det(AB)=det(A)*det(B) \({{\left(a-b\right)}^{2}}{{\left(b-c\right)}^{2}}{{\left(c-a\right)}^{2}}\) =\(det \left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2 \end{array}\right)  * det \left(\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 1&b&b^2\\ 1&c&c^2 \end{array}\right) \) =\(det \left(\begin{array}{ccc} 3&s_1&s_2\\ s_1  &s_2&  s_3\\ s_2&  s_3&  s_4 \end{array}\right) \) =\(det \left(\begin{array}{ccc} 3&0&-2p\\ 0  &-2p&  -3q\\ -2p&  -3q&  2p^2 \end{array}\right)\) \(Hence,result.\) 其中\(s_1=a+b+c,\;s_2=a^2+b^2+c^2,\;s_3=a^3+b^3+c^3,\;s_4=a^4+b^4+c^4\) 橢圓兄的招都頗巧 [本帖最後由瓜農自足於2015-6-1811:34PM編輯] UID1708 帖子64 閱讀權限10 上線時間71小時 註冊時間2014-5-26 最後登入2016-7-20  查看詳細資料 TOP tzhau 發私訊 加為好友 目前離線 10# 大 中 小 發表於2015-6-1923:39  只看該作者 小弟拙見 小弟覺得根與係數比較和藹可親 附件 77589.PNG (39.38KB) 2015-6-1923:39 UID1663 帖子18 閱讀權限10 上線時間39小時 註冊時間2014-4-19 最後登入2021-5-9  查看詳細資料 TOP ‹‹上一主題|下一主題››  15 12››  控制面板首頁 編輯個人資料 積分交易 積分記錄 公眾用戶組 基本概況 版塊排行主題排行發帖排行積分排行 交易排行 上線時間 管理團隊 目前時區GMT+8,現在時間是2022-9-2008:24 清除Cookies -聯繫我們-MathPro數學補給站（數學論壇） -Archiver -TOP 論壇程式使用Discuz! ©2001-2022ComsenzInc. Processedin0.013305second(s),7queries,Gzipenabled.