簡諧運動- 維基百科，自由的百科全書

簡諧運動，或稱簡諧振動、諧振、SHM（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最 ... 當某物體進行簡諧運動時，物體所受的力（或物體的加速度）的大小與位移的大小成 ... 簡諧運動 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 簡諧運動，或稱簡諧振動、諧振、SHM（SimpleHarmonicMotion），即是最基本也是最簡單的一種機械振動。

當某物體進行簡諧運動時，物體所受的力（或物體的加速度）的大小與位移的大小成正比，並且力（或物體的加速度）總是指向平衡位置。

如果用F表示物體受到的回復力，用x表示物體對於平衡位置的位移，根據虎克定律，F和x成正比，它們之間的關係可用下式來表示： F = − k x {\displaystyleF=-kx} [1] 式中的k是回復力與位移成正比的比例係數；負號的意思是：回復力的方向總跟物體位移的方向相反。

根據牛頓第二定律「 F = m a {\displaystyleF=ma} 」當物體質量一定時，運動物體的加速度總跟物體所受淨力的大小成正比，跟淨力的方向相同，且系統的機械能守恆。

目次 1動力學方程 2線性回復力 3彈簧子 4振幅、週期和頻率 5簡諧振動的判定 6例子 6.1彈簧 6.2等速率圓周運動 6.3單擺 7參閱 8參考資料 9外部連結 動力學方程式[編輯] 同一簡諧運動在實空間和相空間的不同顯示。

軌道（英語：Orbit(dynamics)）是週期性的。

（為使兩圖一致，這裡的速度軸和位置軸與標準慣例相反） 對於一維的簡諧振動，其動力學方程式是二階微分方程式，可由牛頓第二運動定律得到 F = m a = m d 2 x d t 2 = m x ¨ {\displaystyleF=ma=m{\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}}=m{\ddot{x}}} 回復力又可表示為 F = − k x {\displaystyleF=-kx} 所以有 x ¨ + k m x = 0 {\displaystyle{\ddot{x}}+{\frac{k}{m}}x=0} 求解上述方程式，得到的的解含有正弦函數 x ( t ) = c 1 cos ⁡ ( ω t ) + c 2 sin ⁡ ( ω t ) = A cos ⁡ ( ω t − φ ) {\displaystylex(t)=c_{1}\cos\left(\omegat\right)+c_{2}\sin\left(\omegat\right)=A\cos\left(\omegat-\varphi\right)} ，其中 ω = k m , {\displaystyle\omega={\sqrt{\frac{k}{m}}},} A = c 1 2 + c 2 2 , {\displaystyleA={\sqrt{{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},} tan ⁡ φ = ( c 2 c 1 ) , {\displaystyle\tan\varphi=\left({\frac{c_{2}}{c_{1}}}\right),} c 1 {\displaystylec_{1}} ， c 2 {\displaystylec_{2}} 是由初始條件決定的常數。

取平衡位置為原點，每項都有物理意義： A {\displaystyleA} 是振幅， ω = 2 π f {\displaystyle\omega=2\pif} 是角頻率， 加速度可以作為時間的函數得到 v ( t ) = d x d t = − A ω sin ⁡ ( ω t − φ ) {\displaystylev(t)={\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=-A\omega\sin(\omegat-\varphi)} v m a x = ω A {\displaystylev_{max}=\omegaA} （在平衡位置） a ( t ) = d 2 x d t 2 = − A ω 2 cos ⁡ ( ω t − φ ) {\displaystylea(t)={\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}}=-A\omega^{2}\cos(\omegat-\varphi)} a m a x = ω 2 A {\displaystylea_{max}=\omega^{2}A} （在最大位移處） 加速度也可以通過位移的函數得到 a ( x ) = − ω 2 x {\displaystylea(x)=-\omega^{2}x\!} 。

因為 ω = 2 π f {\displaystyle\omega=2\pif} ， f = 1 2 π k m {\displaystylef={\frac{1}{2\pi}}{\sqrt{\frac{k}{m}}}} ， 又因為週期 T = 1 f {\displaystyleT={\frac{1}{f}}} ，所以： T = 2 π m k {\displaystyleT=2\pi{\sqrt{\frac{m}{k}}}} 。

以上方程式說明了簡諧振動具有等時性，即一個做簡諧振動的質點運動週期和振幅以及相位無關。

[1]:163 線性回復力[編輯] 在運動過程中，物體所受力的大小與它的位移的大小成正比，而力的方向與位移的方向相反。

具有這種性質的力稱為線性回復力。

彈簧子[編輯] 將一個有孔小球體與一個彈簧連在一在運動過程中，物體所受力的大小與它的位移的大小成正比，而力的方向與位移的方向相反。

具有這種性質的力稱為線性回復力。

平杆穿入小球體，使球體可以在水平杆上左右滑動，而球體與水平杆的摩擦力小得可以忽略不計。

將彈簧的一端固定住，彈簧的整體質量要比球體質量小得多，這樣彈簧本身質量也可以忽略不計。

這個系統便是一個彈簧振子。

彈簧振子系統在平衡狀態下，彈簧沒有形變，振子（小球體）在平衡位置保持靜止。

若把振子拉過平衡位置，到達最大幅度，再鬆開，彈簧則會將振子向平衡位置收回。

在收回的過程中，彈簧的位能轉換為振子的動能，位能在降低的同時，動能在增加。

當振子到達平衡位置時，振子所積累的動能又迫使振子越過平衡位置，繼續向同樣的方向移動。

但因已越過彈簧振子系統的平衡位置，所以這時彈簧開始對振子向相反方向施加力。

動能轉作位能，動能降低，位能上升，直至到達離平衡位置最大幅度的距離。

這時振子所有的動能被轉化為位能，振子速度為零，停止運動。

位能又迫使振子移回平衡位置，在移動過程中，位能轉為動能，因而再次越過平衡位置，重複這個過程。

在沒有任何其他力影響的完美的條件下，這個彈簧振子系統會在兩個最大幅度點間不停地做往返運動。

彈簧振子的固有週期和固有頻率與彈簧彈力係數和振子質量有關，與振幅大小無關。

振幅、週期和頻率[編輯] 1.振幅 振幅A代表質點偏離中心（平衡位置）的最大距離，它正比於 E {\displaystyle{\sqrt{E}}} ，即它的平方正比於系統的機械能E。

2.角頻率 角頻率： ω = 2 π f {\displaystyle\omega=2\pif} ,頻率f為週期T的倒數。

其中 ω = k m {\displaystyle\omega={\sqrt{\frac{k}{m}}}} 。

推導過程： x = A cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystylex=A\cos({\omegat+\phi})} 對於時間t求導， v = − A ω sin ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystylev=-A\omega\sin({\omegat+\phi})} 再關於時間t求導， a = − A ω 2 cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystylea=-A\omega^{2}\cos({\omegat+\phi})} 由牛頓第二定律得 a = F m = − k x m = − A cos ⁡ ( ω t + ϕ ) k m {\displaystylea={\frac{F}{m}}={\frac{-kx}{m}}={\frac{-A\cos({\omegat+\phi})k}{m}}} 兩式聯立得 ω = k m {\displaystyle\omega={\sqrt{\frac{k}{m}}}} 。

下圖為簡諧運動的圖像，表示的是振動物體的位移隨時間變化的規律。

是一條正弦或餘弦曲綫。

這個運動是假設在沒有能量損失引致阻尼的情況而發生。

振幅描繪了振動的強弱，是標量，大小為最大位移的大小，質點在一次全振動過程中通過的路程等於4倍振幅。

完成一次全振動的時間叫週期，單位時間內完成全振動的次數叫頻率，週期和頻率描繪了振動的快慢。

簡諧振動的判定[編輯] 如果一個質點在運動中所受的淨外力是一個簡諧力 F = − k x {\displaystyleF=-kx} 即淨外力的大小與位移成正比且方向相反，那麼我們稱這個質點的運動是簡諧振動。

在彈簧振子模型中，比例係數 k {\displaystylek} 即為彈簧係數，或稱倔強係數（勁度係數）。

如果一個質點的運動方程式有如下形式 x = A cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystylex=A\cos{(\omegat+\phi)}} 即，質點的位移隨時間的變化是一個簡諧函數，顯然此質點的運動為簡諧振動。

如果一個質點的動力學方程式可以寫成 a + ω 2 x = 0 {\displaystylea+\omega^{2}x=0} 其中 ω 2 {\displaystyle\omega^{2}} 為正的實數。

則質點的運動是一個簡諧振動如果質點在運動過程中具有形式為 ( 1 2 k x 2 ) {\displaystyle({\frac{1}{2}}kx^{2})} 的彈力位能，且 1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 = E {\displaystyle{\frac{1}{2}}mv^{2}+{\frac{1}{2}}kx^{2}=E} 則質點的運動為簡諧振動 應該說明： 以上各判定方法是完全等價的； 以上各表達式中的 x {\displaystylex} 既可以是線量（線位移），又可以是角量（角位移），相應的，速度可以為線速度和角速度，對應的加速度是線加速度和角加速度。

例子[編輯] 彈簧[編輯] 把質量為M的物體懸掛在勁度係數為k的彈簧的底端，則物體將進行簡諧運動，其方程式為： ω = 2 π f = k M . {\displaystyle\omega=2\pif={\sqrt{\frac{k}{M}}}.\,} 如果要計算它的週期，可以用以下的公式： T = 1 f = 2 π M k {\displaystyleT={\frac{1}{f}}=2\pi{\sqrt{\frac{M}{k}}}} 。

總能量是常數，由方程式 E = k A 2 2 {\displaystyleE={\frac{kA^{2}}{2}}} 給出。

等速率圓周運動[編輯] 等速率圓周運動的一維投影是簡諧運動。

如果物體以 ω {\displaystyle\omega} 的角速率沿著半徑為 R {\displaystyleR} 的圓移動，則它在x軸、y軸或任意一條直徑上的投影會是簡諧運動，其振幅為 R {\displaystyleR} ，角速率為 ω {\displaystyle\omega} 。

單擺[編輯] 在偏角不太大的情況（一般認為小於5°）下，單擺的運動可以近似地視為簡諧運動。

如果單擺的長度為 ℓ {\displaystyle\ell} ，重力加速度為 g {\displaystyleg} ，則週期為： T = 2 π ℓ g {\displaystyleT=2\pi{\sqrt{\frac{\ell}{g}}}} 這個公式僅當偏角很小時才成立，因為角加速度的表達式是與位置的正弦成正比的： ℓ m g sin ⁡ ( θ ) = I α {\displaystyle\ellmg\sin(\theta)=I\alpha} 其中I是轉動慣量，在這種情況下 I = m ℓ 2 {\displaystyleI=m\ell^{2}} 。

當 θ {\displaystyle\theta} 很小時， sin ⁡ ( θ ) ≈ θ {\displaystyle\sin(\theta)\approx\theta} ，因此上式變為： ℓ m g θ = I α {\displaystyle\ellmg\theta=I\alpha} 這使得角加速度與 θ {\displaystyle\theta} 成正比，滿足了簡諧運動的定義。

單擺的回復力是擺球的重力沿運動方向的分力。

[1]:165 參閱[編輯] 物理主題 平移運動 等速運動 平拋運動 曲線運動 參考資料[編輯] ^1.01.11.2趙志敏.高中教程。

基础篇.復旦大學出版社.2011年10月.ISBN 978-7-309-08251-7（中文（中國大陸））.  外部連結[編輯] 彈簧震動Java模擬 閱論編古典力學表述形式 矢量力學 分析力學（拉格朗日力學 哈密頓力學） 基礎概念 空間 時間 速度 加速度 質量 重力 力矩 參考系 力 力偶 衝量 動量 剛體 角動量 慣性 轉動慣量 能量 動能 位能 虛功 作用量 拉格朗日量 哈密頓量 功 重要理論 牛頓運動定律 虎克定律 牛頓萬有引力定律 簡諧運動 達朗貝爾原理 歐拉方程式 哈密頓原理 拉格朗日方程式 最小作用量原理 應用 簡單機械 斜面 槓桿 滑輪 螺旋 楔子 輪軸 科學史 發展史 克卜勒 牛頓 歐拉 達朗貝爾 哈密頓 赫茲 拉格朗日 拉普拉斯 伽利略 雅可比 諾特 分支 靜力學 動力學 運動學 工程力學 天體力學 連續介質力學 統計力學 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=簡諧運動&oldid=72939574」 分類：​振動和波運動學 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةБеларускаяবাংলাCatalàCymraegDanskΕλληνικάEnglishEspañolEestiEuskaraفارسیFrançaisGaeilgeहिन्दीHrvatskiKreyòlayisyenMagyarՀայերենBahasaIndonesiaÍslenska日本語ҚазақшаКыргызчаPolskiPortuguêsРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishShqipSvenskaதமிழ்తెలుగుไทยTürkçeУкраїнськаاردوTiếngViệt吴语Bân-lâm-gú粵語 編輯連結