尺規作圖一元二次方程式的解 - 昌爸工作坊

尺規作圖一元二次方程式的解. 十七世紀，法國數學家笛卡兒提出以代數方程式表示幾何圖形的方法，在他創立的坐標系統中，只要知道相異兩點的坐標，便可以寫出通過這兩點 ... 尺規作圖一元二次方程式的解 十七世紀，法國數學家笛卡兒提出以代數方程式表示幾何圖形的方法，在他創立的坐標系統中，只要知道相異兩點的坐標，便可以寫出通過這兩點的直線有理係數方程式。

如果直線和圓有交點，而且已知其方程式，那麼交點的有理數坐標就可以確定。

事實上，要判斷一個幾何量是否可以尺規作圖，只需看這幾何量是否能重複有限次的運用加減乘除或平方根作圖。

以尺規作圖解一元二次方程式 x2-6x+5=0 在直角坐標平面取A( 6，5)，6是方程式的二根和，5是方程式的兩根乘積。

在Y軸上取E點，使得 OE=1。

連接AE，再以AE為直徑作圓，分別交X軸於 B、C兩點，其B點和C點的x坐標即方程式的兩根。

(為什麼?) 過A點作X軸的垂直線，交X軸於 G點，並和圓交於D點。

再連接DE和AF。

因為四邊形EOGD是矩形，所以DE//BC，因此，弧BE=弧CD，即BE =CD，又OE =GD。

知直角△EOB ≌ △DGC (RHS)。

所以，OB=GC。

假設OB=a，OC =b，則a+b=OB+OC =GC+OC=6 。

根據切割線性質知OB×OC= OE×OF，所以a×b=1×5=5。

因為a+b=6，ab=5。

a=6-b，(6-b)b=5，b2-6b+5=0，所以b是 x2-6x+5=0的根， 同理a也是x2-6x+5=0的根。

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